Niestandardowe pozycyjne systemy liczbowe - Non-standard positional numeral systems

Niestandardowe pozycyjne systemy liczbowe oznaczają tutaj systemy liczbowe, które mogą być luźno opisane jako systemy pozycyjne , ale które nie są całkowicie zgodne z następującym opisem standardowych systemów pozycyjnych:

W standardowym pozycyjnym systemie liczbowym podstawa b jest dodatnią liczbą całkowitą, a b różne liczby są używane do reprezentowania wszystkich nieujemnych liczb całkowitych . Standardowy zestaw cyfr zawiera wartości b 0, 1, 2 itd., Aż do b - 1, ale wartość jest ważona zgodnie z pozycją cyfry w liczbie. Wartość ciągu cyfrowego, takiego jak pqrs w podstawie b, jest podana w postaci wielomianu

{\ Displaystyle p \ razy b ^ {3} + q \ razy b ^ {2} + r \ razy b + s}

.

Liczby zapisane w indeksie górnym reprezentują potęgi użytej podstawy.

Na przykład w systemie szesnastkowym ( b = 16), używając cyfr A dla 10, B dla 11 itd., Ciąg cyfr 7A3F oznacza

{\ displaystyle 7 \ times 16 ^ {3} +10 \ times 16 ^ {2} +3 \ times 16 + 15}

,

który zapisany w naszym zwykłym zapisie dziesiętnym to 31295.

Po wprowadzeniu punktu podstawy "." i znak minus „-”, liczby rzeczywiste mogą być przedstawiane z dowolną dokładnością.

Ten artykuł podsumowuje fakty dotyczące niektórych niestandardowych systemów liczb pozycyjnych. W większości przypadków nadal obowiązuje postać wielomianowa w opisie systemów standardowych.

Niektóre historyczne systemy liczbowe można opisać jako niestandardowe systemy liczb pozycyjnych. Np. Szesnastkowy zapis babiloński i chińskie cyfry pręcików , które można sklasyfikować jako standardowe systemy o podstawie, odpowiednio, 60 i 10, licząc przestrzeń reprezentującą zero jako cyfrę, można również sklasyfikować jako systemy niestandardowe, a dokładniej mieszane. - systemy bazowe ze składnikami jednoargumentowymi, biorąc pod uwagę prymitywne powtarzające się glify tworzące cyfry.

Jednak większość niestandardowych systemów wymienionych poniżej nigdy nie była przeznaczona do ogólnego użytku, ale zostały opracowane przez matematyków lub inżynierów do specjalnych zastosowań akademickich lub technicznych.

Bijektywne systemy numeracji

Bijective systemie liczbowym z bazą b zastosowań b różnych liczb reprezentuje wszystkie nieujemne liczby całkowite. Jednak cyfry mają wartości 1, 2, 3 itd. Do b włącznie , podczas gdy zero jest reprezentowane przez pusty ciąg cyfr. Na przykład można mieć liczbę dziesiętną bez zera .

Podstawa jeden (jednoargumentowy system liczbowy)

Jednoargumentowy to bijektywny system liczbowy o podstawie b = 1. W jednoargumentowym jeden numer jest używany do reprezentowania wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Wartość ciągu cyfr pqrs podanego w postaci wielomianu można uprościć do p + q + r + s, ponieważ b ⁿ = 1 dla wszystkich n . Do niestandardowych cech tego systemu należą:

Wartość cyfry nie zależy od jej pozycji. Można więc łatwo argumentować, że jednoargumentowy w ogóle nie jest systemem pozycyjnym .
Wprowadzenie punktu podstawy w tym systemie nie umożliwi reprezentacji wartości niecałkowitych.
Pojedyncza cyfra reprezentuje wartość 1, a nie wartość 0 = b - 1.
Nie można przedstawić wartości 0 (lub jest ona niejawnie reprezentowana przez pusty ciąg cyfr).

Podpisana reprezentacja cyfrowa

W niektórych systemach, gdy podstawą jest dodatnia liczba całkowita, dozwolone są cyfry ujemne. Forma niesąsiadująca to szczególny system, w którym podstawą jest b = 2. W zbalansowanym systemie trójskładnikowym podstawą jest b = 3, a liczby mają wartości −1, 0 i +1 (zamiast 0, 1 i 2 jak w standardowym systemie trójskładnikowym lub 1, 2 i 3 jak w bijektywnym systemie trójskładnikowym).

Kod szary

Odbity kod binarny, znany również jako kod Graya, jest ściśle powiązany z liczbami binarnymi , ale niektóre bity są odwrócone, w zależności od parzystości bitów wyższego rzędu.

Zasady, które nie są dodatnimi liczbami całkowitymi

Zaproponowano kilka systemów pozycyjnych, w których podstawa b nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Podstawa ujemna

Systemy ujemnej zasad obejmują negabinary , negaternary i negadecimal , z -2, -3, -10 zasad odpowiednio; w podstawie - b liczba różnych użytych cyfr wynosi b . Ze względu na właściwości liczb ujemnych podniesionych do potęg, wszystkie liczby całkowite, dodatnie i ujemne, można przedstawić bez znaku.

Złożona podstawa

W czysto urojonej bazowej bi systemu, w którym b oznacza liczbę całkowitą większą niż 1 i I jednostka urojona , standardowy zestaw znaków składa się z B ² numery od 0 do B ² - 1 . Można go uogólnić na inne złożone zasady, dając początek systemom złożonym .

Podstawa niecałkowita

W przypadku zasad niecałkowitych liczba różnych użytych cyfr wyraźnie nie może wynosić b . Zamiast tego używane są cyfry od 0 do . Na przykład podstawa złotego podziału ( finary ) używa 2 różnych cyfr 0 i 1. ${\ displaystyle \ lfloor b \ rfloor}$

Bazy mieszane

Czasami wygodnie jest rozważyć pozycyjne systemy liczbowe, w których wagi związane z pozycjami nie tworzą ciągu geometrycznego 1, b , b ² , b ³ itd., Zaczynając od najmniej znaczącej pozycji, jak podano w postaci wielomianu. W systemie opartym na mieszanych podstawach , takim jak system liczb silni , wagi tworzą sekwencję, w której każda waga jest całkowitą wielokrotnością poprzedniej, a liczba dozwolonych wartości cyfr zmienia się odpowiednio w zależności od pozycji.

W przypadku użycia kalendarza system liczb Majów był systemem mieszanym, ponieważ jedna z jego pozycji reprezentuje pomnożenie przez 18, a nie 20, w celu dopasowania do kalendarza 360-dniowego. Również podanie kąta w stopniach, minutach i sekundach (z liczbami dziesiętnymi) lub czasu w dniach, godzinach, minutach i sekundach może być interpretowane jako systemy o mieszanej podstawie.

Można również użyć sekwencji, w których każda waga nie jest całkowitą wielokrotnością poprzedniej wagi, ale wtedy każda liczba całkowita może nie mieć unikalnej reprezentacji. Na przykład kodowanie Fibonacciego wykorzystuje cyfry 0 i 1, ważone zgodnie z sekwencją Fibonacciego (1, 2, 3, 5, 8, ...); unikalną reprezentację wszystkich nieujemnych liczb całkowitych można zapewnić, zakazując kolejnych jedynek. Dziesiętne kodowane binarnie (BCD) to mieszane systemy bazowe, w których bity (cyfry binarne) są używane do wyrażania cyfr dziesiętnych. Np. W 1001 0011 każda grupa czterech bitów może reprezentować cyfrę dziesiętną (w tym przykładzie 9 i 3, więc osiem bitów razem reprezentuje liczbę dziesiętną 93). Wagi związane z tymi 8 pozycjami to 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2 i 1. Niepowtarzalność jest zapewniona przez wymaganie, aby w każdej grupie czterech bitów, jeśli pierwszy bit to 1, następne dwa muszą być 00.

Asymetryczne systemy liczbowe

Asymetryczne systemy liczbowe to systemy używane w informatyce, w których każda cyfra może mieć różne podstawy, zwykle niecałkowite. W nich nie tylko podstawy danej cyfry są różne, ale także mogą być niejednorodne i zmienione w sposób asymetryczny, aby efektywniej kodować informacje. Są one zoptymalizowane pod kątem wybranych niejednorodnych rozkładów prawdopodobieństwa symboli, przy użyciu średnio około bitów entropii Shannona na symbol.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Rozszerzenia w bazach niecałkowitych: najwyższy porządek i koniec

Languages

In other projects