Senariusz - Senary

Szóstkowy system liczbowy ( / e ı n ər I , s ɛ n ər I / ) systemie liczbowym (znany również jako baza-6 , heximal lub seximal ) ma sześć jako jego podstawy . Została przyjęta niezależnie przez niewielką liczbę kultur. Podobnie jak dziesiętny , jest to liczba półpierwsza , chociaż będąc iloczynem dwóch kolejnych liczb, które są obie liczby pierwsze (2 i 3), ma wysoki stopień właściwości matematycznych w odniesieniu do swojego rozmiaru. Ponieważ sześć jest liczbą wyższą, wysoce złożoną , wiele argumentów przemawiających za systemem dwunastkowym odnosi się również do podstawy 6. Z kolei logika senarna odnosi się do rozszerzenia trójskładnikowych systemów logicznych Jana Łukasiewicza i Stephena Cole Kleene, przystosowanych do wyjaśniania logiki testów statystycznych i wzorców brakujących danych w naukach przy użyciu metod empirycznych.

Formalna definicja

Standardowy zestaw cyfr w senarze określa , w porządku liniowym . Pozwolić być zamknięcie Kleene z , gdzie jest operacja konkatenacji ciąg na . Senarny system liczbowy dla liczb naturalnych jest zbiorem ilorazowym wyposażonym w porządek shortlex , gdzie jest klasa równoważności . Jak ma kolejność shortlex, jest izomorficzny z liczbami naturalnymi . ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} = \ l nawias 0,1,2,3,4,5 \ r nawias}$ ${\ Displaystyle 0<1<2<3<4<5}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {D}} _ {6}}$${\displaystyle ab}$${\ Displaystyle a, b \ w {\ mathcal {D}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} _ {6}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} ^ {*} / \ SIM}$ ${\displaystyle \sim}$${\ Displaystyle \ lbrace n \ w {\ mathcal {D}} _ {6} ^ {*}, n \ sim 0n \ rbrace}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {N}} _ {6}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Własności matematyczne

Wyrażone w senarze, wszystkie liczby pierwsze inne niż 2 i 3 mają 1 lub 5 jako ostatnią cyfrę. W senarze zapisuje się liczby pierwsze

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (sekwencja A004680 w OEIS )

Oznacza to, że dla każdej liczby pierwszej p większej od 3, mamy modularne relacje arytmetyczne, które albo p 1 albo 5 (mod 6) (czyli 6 dzieli albo p  − 1 albo p  − 5); ostatnia cyfra to 1 lub 5. Dowodem na to jest sprzeczność. Dla dowolnej liczby całkowitej n :

• Jeśli n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Jeśli n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Jeśli n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Jeśli n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Dodatkowo, ponieważ najmniejsze cztery liczby pierwsze (2, 3, 5, 7) są albo dzielnikami, albo sąsiadami 6, senary ma proste testy podzielności dla wielu liczb.

Co więcej, wszystkie liczby parzyste oprócz 6 mają 44 jako ostatnie dwie cyfry wyrażone w senarach, o czym świadczy fakt, że każda liczba parzysta idealna ma postać 2 ^{p- 1} (2 ^p- 1), gdzie 2 ^p - 1 jest liczbą pierwszą.

Senary jest również największą liczbą o podstawie r, która nie ma sum innych niż 1 i r  − 1, dzięki czemu jego tabliczka mnożenia jest bardzo regularna pod względem rozmiaru, minimalizując wysiłek wymagany do zapamiętania jego tablicy. Ta właściwość maksymalizuje prawdopodobieństwo, że wynik mnożenia liczb całkowitych zakończy się zerem, biorąc pod uwagę, że żaden z jej czynników nie ma.

Frakcje

Ponieważ sześć jest iloczynem dwóch pierwszych liczb pierwszych i sąsiaduje z kolejnymi dwoma liczbami pierwszymi, wiele ułamków senarnych ma proste reprezentacje:

Liczenie palców

34 _senary = 22 po _przecinku , w liczeniu palców senary

Można powiedzieć, że każda normalna ludzka ręka ma sześć jednoznacznych pozycji; pięść, jeden palec (lub kciuk) wyciągnięty, dwa, trzy, cztery, a następnie wszystkie pięć wyciągnięte.

Jeśli prawa ręka jest używana do reprezentowania jednostki, a lewa do reprezentowania „szóstek”, staje się możliwe, aby jedna osoba reprezentowała wartości od zera do 55 _senary (35 po _przecinku ) palcami, zamiast zwykłych dziesięciu uzyskanych w standardowym liczeniu palców. np. jeśli trzy palce są wysunięte po lewej ręce, a cztery po prawej, to 34 _senary jest reprezentowane. Jest to równoważne 3 × 6 + 4 , czyli 22 miejsca po _przecinku .

Dodatkowo ta metoda jest najmniej abstrakcyjnym sposobem liczenia przy użyciu dwóch rąk, który odzwierciedla koncepcję notacji pozycyjnej , ponieważ ruch z jednej pozycji do drugiej odbywa się poprzez przechodzenie z jednej ręki na drugą. Podczas gdy większość rozwiniętych kultur liczy palcami do 5 w bardzo podobny sposób, ponad 5 kultur niezachodnich odbiega od metod zachodnich, takich jak chińskie gesty liczbowe . Ponieważ liczenie palców w senariach również odbiega jedynie od 5, ta metoda liczenia rywalizuje z prostotą tradycyjnych metod liczenia, co może mieć wpływ na nauczanie młodych uczniów notacji pozycyjnej.

Która ręka jest używana do „szóstek”, a które jednostki zależą od preferencji ze strony licznika, jednak patrząc z perspektywy licznika, użycie lewej ręki jako najbardziej znaczącej cyfry koreluje z pisemną reprezentacją tego samego senariusza numer. Odwrócenie ręki „szóstek” do tyłu może pomóc w dalszym rozróżnieniu, która ręka reprezentuje „szóstki”, a która reprezentuje jednostki. Minusem liczenia senariów jest jednak to, że bez uprzedniej zgody dwie strony nie byłyby w stanie korzystać z tego systemu, nie wiedząc, która ręka reprezentuje szóstki, a która reprezentuje jedynki, podczas gdy liczenie dziesiętne (liczby powyżej 5 są wyrażane przez otwarte dłoń i dodatkowe palce), będąc zasadniczo systemem jednoargumentowym , wymaga jedynie od drugiej strony policzenia liczby wyciągniętych palców.

W koszykówce NCAA numery strojów zawodników są ograniczone do numerów senariów o maksymalnie dwóch cyfrach, tak aby sędziowie mogli zasygnalizować, który zawodnik popełnił wykroczenie, używając tego systemu liczenia palców.

Bardziej abstrakcyjne systemy liczenia palców , takie jak chisanbop lub binarne , umożliwiają liczenie do 99, 1023 lub nawet więcej w zależności od metody (choć niekoniecznie senarnej natury). Angielski mnich i historyk Bede , opisany w pierwszym rozdziale swojej pracy De temporum ratione (725), zatytułowanym „Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum”, system, który pozwalał policzyć do 9999 na dwóch rękach.

Języki naturalne

Pomimo rzadkości kultur, które grupują duże ilości po 6, przegląd rozwoju systemów liczbowych sugeruje próg liczebności na poziomie 6 (prawdopodobnie jest to konceptualizowane jako „całość”, „pięść” lub „poza pięcioma palcami”), z 1 –6 często są czystymi formami, a liczebniki są następnie konstruowane lub pożyczane.

Język ndom z Papui Nowej Gwinei jest zgłaszane do cyfry Szóstkowy system liczbowy. Mer oznacza 6, mer an thef oznacza 6 × 2 = 12, nif oznacza 36, ​​a nif thef oznacza 36 × 2 = 72.

Innym przykładem z Papui Nowej Gwinei są języki jam . W tych językach liczenie jest połączone z rytualizowanym liczeniem ignamu. Języki te liczą się od podstawy sześć, używając słów dla potęgi sześciu; działa do 6 ⁶ dla niektórych języków. Przykładem jest Komnzo z następującymi cyframi: nibo (6 ¹ ), fta (6 ² [36]), taruba (6 ³ [216]), damno (6 ⁴ [1296]), wärämäkä (6 ⁵ [7776]) , wi (6 ⁶ [46656]).

W niektórych językach nigeryjsko-kongijskich donoszono o użyciu systemu liczb senarnych, zwykle w połączeniu z innym, takim jak dziesiętny lub vigesimal .

Proto-uralskich również podejrzewa się mieć oznaczenia Szóstkowy system liczbowy, z cyfrą do 7 zapożyczone jest potem jednak dowodów budowy większych cyfr (8 i 9) subtractively z dziesięciu sugerują, że może to nie być.

Baza 36 jako kompresja senarna

Dla niektórych celów podstawa 6 może być dla wygody zbyt małą podstawą. Można to obejść, używając kwadratu o podstawie 36 (szesnastkowo), ponieważ konwersja jest ułatwiona, po prostu dokonując następujących zamian:

Tak więc liczba o podstawie 36 WIKIPEDIA ₃₆ jest równa numerowi senatorskiemu 523032304122213014 ₆ . W systemie dziesiętnym jest to 91 730 738 691 298.

Wybór 36 jako podstawy jest wygodny, ponieważ cyfry można przedstawić za pomocą cyfr arabskich 0–9 i liter łacińskich A–Z: wybór ten jest podstawą schematu kodowania base36 . Efekt kompresji 36 będący kwadratem 6 powoduje, że wiele wzorów i reprezentacji jest krótszych w podstawie 36:

1/9 ₁₀ = 0,04 ₆ = 0,4 ₃₆

1/16 ₁₀ = 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

1/5 ₁₀ = 0, 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

1/7 ₁₀ = 0, 05 ₆ = 0 5 ₃₆

Zobacz też

• Metoda Diceware do kodowania wartości base-6 na wymawialne hasła.
• Schemat kodowania Base36
• Szyfr ADFGVX do szyfrowania tekstu w ciągu efektywnie senarnych cyfr

Powiązane systemy liczbowe

• Binarny (podstawa 2)
• Trójnik (podstawa 3)
• ósemkowy (podstawa 8)
• Szesnastkowy (podstawa 16)
• Vigesimal (podstawa 20)
• Trójdzielny (podstawa 30)
• Dwunastkowy (podstawa 12)
• Sześćdziesiątkowy (podstawa 60)

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Wydaje się, że ludzie preferują popularność liczby szesnastkowej według liczby
• Dialektyka Sześciu Shack
• Konwersja bazy Senary
• Strona o Seximal