Model hiperboloidalny - Hyperboloid model

Czerwony łuk kołowy jest geodezyjny w modelu dysku Poincarégo ; rzutuje do brązowej geodezji na zielonej hiperboloidzie.

Odtwórz multimedia

Animacja częściowego {7,3} hiperbolicznego kafelkowania hiperboloidu obrócona do perspektywy Poincare.

W geometrii , model hiperboloidy , znany również jako model Minkowskiego według Hermanna Minkowskiego , jest modelem n - wymiarowej geometrii hiperbolicznej , w której punkty są reprezentowane przez punkty na przednim arkuszu S ⁺ hiperboloidy dwuwarstwowej w ( n + 1)-wymiarowa przestrzeń Minkowskiego i m- płaszczyzny są reprezentowane przez przecięcia ( m +1)-płaszczyzn w przestrzeni Minkowskiego z S ⁺ . Funkcja odległości hiperbolicznej dopuszcza w tym modelu proste wyrażenie. Model hiperboloidalny n- wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej jest ściśle powiązany z modelem Beltramiego-Kleina i modelem dysku Poincarégo, ponieważ są to modele projekcyjne w tym sensie, że grupa izometryczna jest podgrupą grupy projekcyjnej .

Forma kwadratowa Minkowskiego

Jeżeli ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) jest wektorem w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni współrzędnych R ^{n +1} , kwadratowa forma Minkowskiego jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle Q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ ldots - x_ {n} ^ {2}.}$

Wektory v ∈ R ^{n +1} takie, że Q ( v ) = 1 tworzą n- wymiarową hiperboloidę S składającą się z dwóch połączonych składowych , lub arkuszy : arkusza przedniego lub przyszłego S ⁺ , gdzie x ₀ >0 i wstecz , lub przeszłość, arkusz S ⁻ , gdzie x ₀ <0. Punktami n- wymiarowego modelu hiperboloidy są punkty na przednim arkuszu S ⁺ .

Minkowskiego forma dwuliniowa B jest polaryzacja z Minkowskiego postaci kwadratowej Q ,

${\displaystyle B(\mathbf {u},\mathbf {v})=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v})-Q(\mathbf {u})-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

Wyraźnie,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n}))=x_{0} y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

Hiperboliczny odległość między dwoma punktami w kształcie U i v z S ⁺ oblicza się według wzoru

${\displaystyle d(\mathbf {u},\mathbf {v})=\operator {arcosh} (B(\mathbf {u},\mathbf {v})),}$

gdzie arcosh jest funkcją odwrotną od cosinusa hiperbolicznego .

Proste linie

Linia prosta w hiperbolicznej n -przestrzeni jest modelowana geodezyjnie na hiperboloidzie. Geodezja na hiperboloidzie to (niepuste) przecięcie hiperboloidy z dwuwymiarową podprzestrzenią liniową (wraz z początkiem) n +1-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Jeśli przyjmiemy, że u i v będą wektorami bazowymi tej liniowej podprzestrzeni z

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u} , \ mathbf {u} ) = 1}$

${\ Displaystyle B (\ mathbf {v} , \ mathbf {v} ) = -1}$

${\ Displaystyle B (\ mathbf {u} , \ mathbf {v} ) = B (\ mathbf {v}, \ mathbf {u}) = 0}$

i użyj w jako rzeczywistego parametru dla punktów na geodezji, wtedy

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cosh w + \ mathbf {v} \ sinh w}$

będzie punktem na geodezji.

Mówiąc bardziej ogólnie, k- wymiarowe "płaskie" w hiperbolicznej n -przestrzeni będzie modelowane przez (niepuste) przecięcie hiperboloidy z k +1-wymiarową podprzestrzenią liniową (włącznie z początkiem) przestrzeni Minkowskiego.

Izometrie

Nieokreślony ortogonalne grupy O (1 N ), zwany również ( n + 1) -wymiarowej grupa Lorentza , jest grupa Lie od rzeczywistych ( n + 1) x ( n + 1) matrycy , które zachowują Minkowski dwuliniowo formy. W innym języku, to grupa liniowych izometrii na przestrzeni Minkowskiego . W szczególności ta grupa zachowuje hiperboloid S . Przypomnijmy, że nieokreślone grupy ortogonalne mają cztery połączone komponenty, odpowiadające odwróceniu lub zachowaniu orientacji na każdej podprzestrzeni (tutaj jednowymiarowej i n- wymiarowej) i tworzą czterogrupę Kleina . Podgrupa O(1, n ), która zachowuje znak pierwszej współrzędnej, to ortochroniczna grupa Lorentza oznaczona jako O ⁺ (1, n ) i ma dwie składowe, odpowiadające zachowaniu lub odwróceniu orientacji przestrzennej podprzestrzeni. Jej podgrupa SO ⁺ (1, n ) składająca się z macierzy z wyznacznikiem jest połączoną grupą Liego o wymiarze n ( n +1)/2, która działa na S ⁺ przez automorfizmy liniowe i zachowuje odległość hiperboliczną. Akcja ta jest przechodnia i stabilizator wektora (1,0,...,0) składa się z macierzy postaci

${\displaystyle {\zaczynać{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&&\\0&&&\\\koniec{pmatrix}}}$

Gdzie należy do zwartej specjalnej grupy ortogonalnej SO( n ) (uogólniając grupę rotacyjną SO(3) dla n = 3 ). Wynika z tego, że n- wymiarowa przestrzeń hiperboliczna może być przedstawiona jako przestrzeń jednorodna i riemannowska symetryczna przestrzeń rzędu 1, ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {n} = \ operatorname {SO} ^ {+} (1, n) / \ operatorname {tak} (n).}$

Grupa SO ⁺ (1, n ) jest pełną grupą zachowujących orientację izometrii n- wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej.

Mówiąc bardziej konkretnie, SO ⁺ (1, n ) można podzielić na n ( n -1)/2 rotacji (utworzonych za pomocą regularnej macierzy rotacji euklidesowej w prawym dolnym bloku) i n translacji hiperbolicznych, które przyjmują postać

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} \ cosh \ alfa i \ sinh \ alfa 0 i \ ldots \ \ \ sinh \ alfa i \ cosh \ alfa 0 i \ ldots \ \ 0 i 0 i 1 i \ \ \ vdots i \ vdots i \ ddots \\ \end{pmacierz}}}$

gdzie jest przesunięta odległość ( w tym przypadku wzdłuż osi x ), a drugi wiersz/kolumnę można zamienić na inną parę, aby zmienić przesunięcie wzdłuż innej osi. Ogólna forma translacji w 3 wymiarach wzdłuż wektora to: ${\ Displaystyle \ alfa}$${\displaystyle (w,x,y,z)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} w & x & y & z \ \ x & {\ Frac {x ^ {2}} w + 1}} +1 i {\ Frac {yx} {w + 1}} i {\ Frac {zx} {w+1}}\\y&{\frac {xy}{w+1}}&{\frac {y^{2}}{w+1}}+1&{\frac {zy}{w+1 }}\\z&{\frac {xz}{w+1}}&{\frac {yz}{w+1}}&{\frac {z^{2}}{w+1}}+1\ \\end{pmatrix}}}$gdzie .${\ Displaystyle w = {\ sqrt {x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} + 1}}}$

Rozciąga się to naturalnie na więcej wymiarów, a także jest uproszczoną wersją wzmocnienia Lorentza, gdy usuniesz terminy specyficzne dla teorii względności.

Przykłady grup izometrii

Grupa wszystkich izometrii modelu hiperboloidalnego to O ⁺ (1, n ). Każda grupa izometrii jest jej podgrupą.

Refleksje

W przypadku dwóch punktów , zamienia się je unikalną refleksją. ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ mathbf {q} \ w \ mathbb {H} ^ {n} \ mathbf {p} \ neq \ mathbf {q}}$

Niech . Zauważ, że , a zatem . ${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ Frac {\ mathbf {p} - \ mathbf {q} {\ sqrt {-Q (\ mathbf {p} - \ mathbf {q} )}}}}$${\ Displaystyle Q (\ mathbf {u} ) = -1}$${\ Displaystyle u \ notin \ mathbb {H} ^ {n}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {x} +2 B (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}) \ mathbf {u}}$

jest refleksją, która wymienia i . Odpowiada to następującej macierzy: ${\displaystyle \mathbf {p}}$${\displaystyle \mathbf {q}}$

${\ Displaystyle R = I + 2 \ mathbf {u} \ mathbf {u} ^ {\ nazwa operatora {T}} {\ zacznij {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i I \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

(zwróć uwagę na użycie notacji macierzy blokowej ).

Następnie jest grupa izometrii. Wszystkie takie podgrupy są sprzężone . ${\ Displaystyle \ {I, R \}}$

Obroty i odbicia

${\ Displaystyle S = \ lewo \ {{\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i A \ \ \ koniec {pmatrix}}: A \ w O (n) \ prawej \}}$

to grupa rotacji i odbić, które zachowują . Funkcja jest izomorfizmem od O( n ) do tej grupy. W każdym punkcie , jeśli jest izometrią , do której odwzorowuje się , jest to grupa rotacji i odbić , które zachowują . ${\displaystyle (1,0,\kropki ,0)}$${\ Displaystyle A \ mapsto {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i A \ \ \ koniec {pmatrix}}}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\kropki ,0)}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle XSX ^ {-1}}$${\displaystyle p}$

Tłumaczenia

Dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje tłumaczenie ${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle L_ {t} = {\ zacząć {pmatrix} \ cosh t i \ sinh t i 0 \ \ \ sinh t i \ cosh t i 0 \ \ 0 i 0 i ja \ \ \ koniec {pmatrix}}}$

Jest to tłumaczenie odległości w dodatnim kierunku x if lub odległości w ujemnym kierunku x if . Każde tłumaczenie odległości jest sprzężone z i . Zbiór to grupa przesunięć przez oś x, a grupa izometrii jest z nim sprzężona wtedy i tylko wtedy, gdy jest to grupa izometrii przechodząca przez linię. ${\displaystyle t}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle t}$${\ Displaystyle L_ {t}}$${\displaystyle L_{-t}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {L_ {t}: t \ w \ mathbb {R} \ prawo \}}$

Załóżmy na przykład, że chcemy znaleźć grupę tłumaczeń przez linię . Pozwolić być isometry że mapy do i pozwól być isometry że poprawki i mapy do . Przykładem takiego a jest zamiana odbić i (zakładając, że są różne), ponieważ oba są w tej samej odległości od . Następnie jest mapowanie izometryczne do i punkt na dodatniej osi x do . jest tłumaczeniem przez linię odległości . Jeśli , to w kierunku. Jeśli , to w kierunku. to grupa tłumaczeń przez . ${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q}}}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle (1,0,\kropki ,0)}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p} , \ mathbf {q} )} [1,0, \ kropki, 0] ^ {\ nazwa operatora {T} }}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle XL_ {d (\ mathbf {p} , \ mathbf {q} )} [1,0, \ kropki, 0] ^ {\ nazwa operatora {T} }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\ Displaystyle YX}$${\displaystyle (1,0,\kropki ,0)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\ Displaystyle (YX) L_ {t} (YX) ^ {-1}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q}}}}$${\displaystyle |t|}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q}}}}$${\displaystyle t\leq 0}$${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p}}}}$${\ Displaystyle \ lewo \ {(YX) L_ {t} (YX) ^ {-1}: t \ w \ mathbb {R} \ prawej \}}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {p} \mathbf {q}}}}$

Symetrie horosfer

Niech H będzie taką horosferą , że punkty formy znajdują się wewnątrz niej dla dowolnie dużego x . Dla dowolnego wektora b in${\displaystyle (w,x,0,\kropki ,0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 + {\ Frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ {2}} {2}} i - {\ Frac {\ | \ mathbf {b} \ | ^ { 2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\nazwa operatora {T} }\\{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&1-{\frac {\|\mathbf {b} \|^{2}}{2}}&\mathbf {b} ^{\nazwa operatora {T} }\\\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\\ \end{pmacierz}}}$

jest hororotacją, która mapuje H na siebie. Zbiór takich hororotacji to grupa hororotacji z zachowaniem H . Wszystkie hororotacje są ze sobą sprzężone.

Dla dowolnego w O( n -1) ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\koniec {pmatrix}}}$

to obrót lub odbicie, które zachowuje H i oś x. Te hororotacje, rotacje i odbicia generują grupę symetrii H . Grupa symetrii każdej horosfery jest z nią sprzężona. Są izomorficzne z grupą euklidesową E( n -1).

Historia

W kilku pracach z lat 1878-1885 Wilhelm Killing wykorzystał przedstawienie, które przypisał Karlowi Weierstrassowi, dotyczące geometrii Łobaczewskiego . W szczególności, omawiane postacie, takie jak kwadratowe lub w dowolnych wymiarach , w której jest odwrotnością miarą krzywizny oznacza euklidesowej geometrii , geometrii eliptyczny i geometrii hiperbolicznej. ${\ Displaystyle k ^ {2} t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} = k ^ {2}}$${\ Displaystyle k ^ {2} x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + \ kropki + x_ {n} ^ {2} = k ^ {2}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle k ^ {2} = \ infty }$${\ Displaystyle k ^ {2}> 0}$ ${\ Displaystyle k ^ {2} < 0}$

Według Jeremy'ego Graya (1986), Poincaré użył modelu hiperboloidu w swoich osobistych notatkach w 1880 roku. Poincaré opublikował swoje wyniki w 1881 roku, w których omówił niezmienność formy kwadratowej . Gray pokazuje, gdzie model hiperboloidy jest ukryty w późniejszych pracach Poincarégo. ${\ Displaystyle \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} - \ zeta ^ {2} = -1}$

Również Homersham Cox w 1882 użył współrzędnych Weierstrassa (bez używania tej nazwy) spełniających relację oraz . ${\ Displaystyle z ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle w ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2} = 1}$

Dalszą ekspozycję modelu podali Alfred Clebsch i Ferdinand Lindemann w 1891 r. omawiając relację i . ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2} }$

Współrzędne Weierstrassa były również wykorzystywane przez Gérarda (1892), Felixa Hausdorffa (1899), Fredericka S. Woodsa (1903)], Heinricha Liebmanna (1905).

Hiperboloid został zbadany jako przestrzeń metryczna przez Alexandra Macfarlane'a w jego Papers in Space Analysis (1894). Zauważył, że punkty na hiperboloidzie można zapisać jako

${\ Displaystyle \ cosh A + \ alfa \ sinh A}$

gdzie α jest wektorem bazowym prostopadłym do osi hiperboloidy. Na przykład uzyskał hiperboliczne prawo cosinusów dzięki zastosowaniu swojej Algebry Fizyki .

H. Jansen uczynił model hiperboloidu wyraźnym tematem swojej pracy z 1909 r. „Reprezentacja geometrii hiperbolicznej na hiperboloidzie dwuwarstwowej”. W 1993 roku WF Reynolds opisał niektóre z wczesnych historii modelu w swoim artykule w American Mathematical Monthly .

Będąc powszechnym modelem w XX wieku, został zidentyfikowany z Geschwindigkeitsvectoren (wektorami prędkości) Hermanna Minkowskiego w jego wykładzie z Getyngi z 1907 r. „Zasada względności”. Scott Walter w swoim artykule z 1999 roku „The Non-Euclidean Style of Minkowskian Relativity” przywołuje świadomość Minkowskiego, ale wywodzi rodowód modelu od Hermanna Helmholtza, a nie Weierstrassa i Killinga.

We wczesnych latach teorii względności model hiperboloidy był używany przez Vladimira Varićaka do wyjaśnienia fizyki prędkości. W swoim przemówieniu do niemieckiego związku matematycznego w 1912 r. odniósł się do współrzędnych Weierstrassa.

Zobacz też

• Model dysku Poincare
• Kwaterniony hiperboliczne

Uwagi i referencje

• Alekseevskij, DV; Vinberg, EB ; Solodovnikov, AS (1993), Geometria przestrzeni stałej krzywizny , Encyklopedia Nauk Matematycznych, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52000-9
• Anderson, James (2005), Geometria hiperboliczna , Springer Undergraduate Mathematics Series (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G. (1994), Podstawy rozmaitości hiperbolicznych , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94348-0, Rozdział 3
• Miles Reid i Balázs Szendröi (2005) Geometria i topologia , Rysunek 3.10, s. 45, Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .
• Ryan, Patrick J. (1986), Geometria euklidesowa i nieeuklidesowa: podejście analityczne , Cambridge, Londyn, Nowy Jork, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25654-4
• Parkkonen, Jouni. "GEOMETRIA HIPERBOLICZNA" (PDF) . Źródło 5 września 2020 .