Model Beltrami – Klein - Beltrami–Klein model

Wiele linii hiperbolicznych przechodzących przez punkt P nie przecina prostej a w modelu Beltrami Klein

Hiperboliczne triheptagonalne kafelki w odwzorowaniu modelu Beltramiego – Kleina

W geometrię, a wzór Beltrami-Klein , zwany również rzutowa model , model Disk Klein i wzór Cayley-Klein , to model geometrii hiperbolicznej w którym punkty są przedstawione przez punkty na wnętrzu dyskowego (lub N wymiarowa piłka jednostka ) i linie są reprezentowane przez akordów , prostych odcinków z idealnych punktów końcowych na pograniczu sfery .

Model Beltrami – Klein nosi imię włoskiego geometra Eugenio Beltramiego i Niemca Felixa Kleina, natomiast „Cayley” w modelu Cayley – Klein odnosi się do angielskiego geometra Arthura Cayleya .

Model Beltrami-Klein analogiczny do gnomonicznej rzucie z geometrii sferycznych w tym geodezyjnych ( wielkich kół geometrii sferycznej) są przypisane do linii prostych.

Ten model nie jest konformalny , co oznacza, że ​​kąty i okręgi są zniekształcone, podczas gdy model dysku Poincarégo je zachowuje.

W tym modelu linie i segmenty są prostymi segmentami euklidesowymi, podczas gdy w modelu dysku Poincarégo linie są łukami, które przechodzą prostopadle do granicy .

Historia

Model ten po raz pierwszy pojawił się w geometrii hiperbolicznej w dwóch pamiętnikach Eugenio Beltramiego opublikowanych w 1868 roku, najpierw dla wymiaru n = 2, a następnie dla ogólnego n , eseje te dowiodły zgodności geometrii hiperbolicznej ze zwykłą geometrią euklidesową .

Do niedawna papiery Beltrami pozostawały mało zauważone, a model został nazwany imieniem Kleina („Model dysku Kleina”). Stało się to w następujący sposób. W 1859 roku Arthur Cayley użył definicji współczynnika krzyżowania kąta spowodowanej przez Laguerre, aby pokazać, jak geometrię euklidesową można zdefiniować za pomocą geometrii rzutowej . Jego definicja odległości stała się później znana jako metryka Cayleya .

W 1869 roku młody (dwudziestoletni) Felix Klein zapoznał się z twórczością Cayleya. Przypomniał, że w 1870 roku wygłosił wykład na temat pracy Cayleya na seminarium w Weierstrass i napisał:

„Zakończyłem pytaniem, czy może istnieć związek między ideami Cayleya i Lobachevsky'ego . Otrzymałem odpowiedź, że te dwa systemy są koncepcyjnie bardzo odseparowane”.

Później Felix Klein zdał sobie sprawę, że pomysły Cayleya dają początek rzutowemu modelowi płaszczyzny nieeuklidesowej.

Jak to ujął Klein: „Dałem się przekonać tym zarzutom i odłożyłem na bok ten już dojrzały pomysł”. Jednak w 1871 r. Powrócił do tej idei, sformułował ją matematycznie i opublikował.

Wzór na odległość

Funkcja odległości dla modelu Beltramiego – Kleina to metryka Cayley – Klein . Biorąc pod uwagę dwa różne punkty p i q w otwartej kuli jednostkowej, unikalna prosta linia łącząca je przecina granicę w dwóch idealnych punktach , a i b , oznacz je tak, aby punkty były w kolejności a , p , q , b i | aq | > | ap | i | pb | > | qb | .

Odległość hiperboliczna między p i q wynosi zatem: ${\ Displaystyle d (p, q) = {\ Frac {1} {2}} \ log {\ Frac {\ lewo | aq \ prawo | \, \ lewo | pb \ prawo |} {\ lewo | ap \ prawo | \, \ left | qb \ right |}}}$

Pionowe słupki wskazują odległości euklidesowe między punktami między nimi w modelu, log to logarytm naturalny, a współczynnik równy połowie jest potrzebny do nadania modelowi krzywizny standardowej −1.

Gdy jeden z punktów jest punktem początkowym, a odległość euklidesowa między punktami wynosi r, wówczas odległość hiperboliczna wynosi:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ ln \ lewo ({\ Frac {1 + r} {1-r}} \ prawej) = \ nazwa operatora {artanh} r}$ Gdzie artanh jest funkcja odwrotna hiperboliczny z tangens hiperboliczny .

Model dysku Kleina

Linie w rzutowym modelu płaszczyzny hiperbolicznej

W dwóch wymiarach model Beltramiego – Kleina nazywany jest modelem dysku Kleina . Jest to dysk, a wnętrze dysku jest modelem całej płaszczyzny hiperbolicznej . Linie w tym modelu są reprezentowane przez akordy okręgu granicznego (zwanego także absolutem ). Punkty na okręgu granicznym nazywane są punktami idealnymi ; chociaż dobrze zdefiniowane , nie należą do płaszczyzny hiperbolicznej. Nie ma też punktów poza dyskiem, które są czasami nazywane punktami ultra idealnymi .

Model nie jest konformalny , co oznacza, że ​​kąty są zniekształcone, a okręgi na płaszczyźnie hiperbolicznej generalnie nie są w modelu kołowe. Tylko okręgi, których środek znajduje się w środku okręgu granicznego, nie są zniekształcane. Wszystkie pozostałe okręgi są zniekształcone, ponieważ są horocycles i hypercycles

Nieruchomości

Akordy spotykające się na okręgu granicznym ograniczają równoległe linie.

Dwa akordy są prostopadłe, jeśli po wyciągnięciu poza dysk, każdy przechodzi przez biegun drugiego. (Biegun akordu jest punktem ultra idealnym: punktem na zewnątrz dysku, w którym stykają się styczne do dysku w punktach końcowych akordu). Akordy przechodzące przez środek dysku mają biegun w nieskończoności, prostopadły do kierunek cięciwy (oznacza to, że kąty proste na średnicach nie są zniekształcone).

Konstrukcje kompasowe i prostoliniowe

Oto jak można użyć konstrukcji kompasu i prostej w modelu, aby uzyskać efekt podstawowych konstrukcji w płaszczyźnie hiperbolicznej .

• Słup linii . Chociaż biegun nie jest punktem na płaszczyźnie hiperbolicznej (jest to punkt ultra idealny ), większość konstrukcji będzie wykorzystywać biegun linii na jeden lub więcej sposobów.

W przypadku linii: skonstruuj styczne do okręgu granicznego przechodzące przez idealne (końcowe) punkty linii. punktem, w którym przecinają się te styczne, jest biegun.

Dla średnic dysku: biegun jest w nieskończoności prostopadły do ​​średnicy.

• Aby skonstruować prostopadłość do danej prostej przechodzącej przez dany punkt, narysuj promień od bieguna prostej przez dany punkt. Część promienia znajdująca się wewnątrz dysku jest prostopadła.

Gdy linia jest średnicą dysku, to prostopadła jest cięciwą, która jest (euklidesowa) prostopadła do tej średnicy i przechodzi przez dany punkt.

• Aby znaleźć środek danego odcinka : Narysuj proste przechodzące przez A i B prostopadłe do . (patrz wyżej) Narysuj linie łączące idealne punkty tych linii, dwie z tych linii będą przecinać odcinek i zrobią to w tym samym punkcie. Punkt ten jest (hiperboliczny) punkt środkowy o . ${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$
• Aby podzielić podany kąt na pół : Narysuj promienie AB i AC. Narysuj styczne do okręgu, w którym promienie przecinają okrąg graniczny. Narysuj linię od A do punktu, w którym przecinają się styczne. Część tej linii między A a okręgiem granicznym jest dwusieczną. ${\ Displaystyle \ kąt BAC}$
• Wspólny prostopadle dwóch linii jest akord, że po wyciągnięciu przechodzi obu biegunów tych akordów.

Kiedy jeden z akordów ma średnicę okręgu granicznego, wówczas wspólnym prostopadłością jest cięciwa prostopadła do średnicy, która po wydłużeniu przechodzi przez biegun drugiego cięciwy.

• Aby odzwierciedlić punkt P na prostej l : Z punktu R na prostej l narysuj promień przez P. Niech X będzie idealnym punktem, w którym promień przecina absolut. Narysuj promień od bieguna linii l do X, niech Y będzie drugim punktem przecięcia z absolutem. Narysuj odcinek RY. Odbiciem punktu P jest punkt, w którym promień z bieguna linii l przez P przecina RY.

Kręgi, hipercykle i horocykle

Kręgi w modelu geometrii hiperbolicznej Kleina-Beltramiego.

Podczas gdy linie w płaszczyźnie hiperbolicznej są łatwe do rysowania w modelu dysku Klein, to nie jest to samo? Gów, hypercycles i horocycles .

Okręgi (zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w określonej odległości od danego punktu, jej środka) w modelu stają się elipsami coraz bardziej spłaszczonymi w miarę zbliżania się do krawędzi. Również kąty w modelu dysku Kleina są zdeformowane.

W przypadku konstrukcji w płaszczyźnie hiperbolicznej, które zawierają okręgi, hipercykle , horocykle lub kąty inne niż proste , lepiej jest użyć modelu dysku Poincarégo lub półpłaszczyzny Poincarégo .

Relacja z modelem dysku Poincarégo

Połączone rzuty z modelu dysku Kleina (żółty) do modelu dysku Poincaré (czerwony) poprzez model półkuli (niebieski)

Model Beltramiego – Kleina (K na rysunku) jest rzutem ortograficznym z modelu półkulistego i odwzorowaniem gnomonicznym modelu hiperboloidy (Hy) ze środkiem hiperboloidy (O) jako środkiem.

Zarówno model dysku Poincarégo, jak i model dysku Kleina są modelami płaszczyzny hiperbolicznej. Zaletą modelu dysku Poincarégo jest to, że jest konformalny (koła i kąty nie są zniekształcone); Wadą jest to, że linie geometrii są kołowymi łukami prostopadłymi do granicznego okręgu dysku.

Te dwa modele są powiązane poprzez rzutowanie na lub z modelu półkuli . Model Kleina jest rzutem ortograficznym na model półkuli, podczas gdy model dysku Poincarégo jest odwzorowaniem stereograficznym .

Podczas rzutowania tych samych linii w obu modelach na jeden dysk, obie linie przechodzą przez te same dwa idealne punkty . (idealne punkty pozostają w tym samym miejscu) również biegun cięciwy jest środkiem okręgu zawierającego łuk .

Jeśli P jest punktem oddalonym od środka koła jednostkowego w modelu Beltramiego-Kleina, to odpowiedni punkt na dysku Poincarégo modeluje odległość u na tym samym promieniu: ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ Frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s ^ {2}}}}} = {\ Frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s ^ {2}) }} \ right)} {s}}.}$

I odwrotnie, jeśli P jest punktem oddalonym od środka koła jednostkowego w modelu dysku Poincarégo, to odpowiadający punkt modelu Beltramiego-Kleina jest odległością s na tym samym promieniu: ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ Frac {2u} {1 + u ^ {2}}}.}$

Relacja modelu dysku do modelu hiperboloidalnego

Zarówno model hiperboloidalny, jak i model dysku Kleina są modelami płaszczyzny hiperbolicznej.

Dysk Kleina (K na rysunku) jest odwzorowaniem gnomonicznym modelu hiperboloidy (Hy) z środkiem hiperboloidy (O) i płaszczyzną projekcji styczną do najbliższego punktu hiperboloidy.

Tensor odległościowy i metryczny

Regularny hiperboliczny dwunastościenny plaster miodu , {5,3,4}

Biorąc pod uwagę dwa różne punkty U i V w otwartej kuli jednostkowej modelu w przestrzeni euklidesowej , unikalna linia prosta łącząca je przecina kulę jednostkową w dwóch idealnych punktach A i B , oznaczonych tak, że punkty są w kolejności wzdłuż linii, , U , V , B . Biorąc środek kuli jednostkowej modelu jako początek i przypisując odpowiednio wektory położenia u , v , a , b punktom U , V , A , B , mamy to, że ‖ a - v ‖> ‖ a - u ‖ i ‖ u - b ‖> ‖ v - b ‖ , gdzie ‖ · ‖ oznacza normę euklidesową . Następnie odległość między U i V w modelowanej przestrzeni hiperbolicznej jest wyrażana jako

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = {\ Frac {1} {2}} \ log {\ Frac {\ lewo \ | \ mathbf {v} - \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} - \ mathbf {u} \ right \ |} {\ left \ | \ mathbf {u} - \ mathbf {a} \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {b} - \ mathbf {v} \ right \ |}},}$

gdzie współczynnik połowy jest potrzebny do uzyskania krzywizny  −1.

Powiązany tensor metryczny jest określony przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g (\ mathbf {x}, d \ mathbf {x}) = {\ Frac {\ lewo \ | d \ mathbf {x} \ prawo \ | ^ {2}} {1 - \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}}} + {\ frac {(\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl ( } 1- \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}} = {\ frac {(1- \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2}) \ left \ | d \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} + (\ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x}) ^ {2}} {{\ bigl (} 1- \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | ^ {2} {\ bigr)} ^ {2}}}}$

Związek z modelem hiperboloidalnym

Częściowe {7,3} hiperboliczne kafelki hiperboloidy, jak widać z perspektywy Beltramiego-Kleina.

Odtwórz multimedia

Animacja częściowego {7,3} hiperbolicznego układania hiperboloidu obracającego się w perspektywie Beltramiego-Kleina.

Model hiperboloidy jest modelem geometrii hiperbolicznej w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni Minkowskiego . Iloczyn skalarny Minkowskiego jest podawany przez

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} = x_ {0} y_ {0} -x_ {1} y_ {1} - \ cdots -x_ {n} y_ {n} \,}$

a norma wg . Płaszczyzna hiperboliczna jest osadzona w tej przestrzeni jako wektory x z ‖ x ‖ = 1 i x ₀ („komponent podobny do czasu”) dodatni. Wewnętrzna odległość (w osadzeniu) między punktami u i v jest wtedy określona przez ${\ Displaystyle \ lewo \ | \ mathbf {x} \ prawo \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}}$

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}).}$

Można to również zapisać w jednorodnej formie

${\ Displaystyle d (\ mathbf {u}, \ mathbf {v}) = \ operatorname {arcosh} \ lewo ({\ Frac {\ mathbf {u}} {\ lewo \ | \ mathbf {u} \ prawo \ | }} \ cdot {\ frac {\ mathbf {v}} {\ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |}} \ right),}$

co pozwala na przeskalowanie wektorów dla wygody.

Model Beltrami-Klein jest uzyskiwany z modelu hiperboloidy przez przeskalowanie wszystkich wektorów tak, aby składowa podobna do czasu wynosiła 1, to znaczy przez rzutowanie hiperboloidu osadzonego przez początek na płaszczyźnie x ₀ = 1 . Funkcja odległości w swojej jednorodnej postaci pozostaje niezmieniona. Ponieważ linie wewnętrzne (geodezyjne) modelu hiperboloidy są przecięciem osadzenia z płaszczyznami przez początek Minkowskiego, linie wewnętrzne modelu Beltramiego-Kleina są akordami kuli.

Relacja z modelem kuli Poincarégo

Zarówno model kuli Poincarégo, jak i model Beltramiego-Kleina są modelami n- wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej w n- wymiarowej kuli jednostkowej w R ⁿ . Jeśli jest wektorem normy mniejszym niż jeden reprezentujący punkt modelu dysku Poincarégo, to odpowiadający punkt modelu Beltramiego-Kleina jest dany przez ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle s = {\ Frac {2u} {1 + u \ cdot u}}.}$

Odwrotnie, z wektora normy mniejszego niż jeden reprezentujący punkt modelu Beltramiego-Kleina, odpowiadający punkt modelu dysku Poincarégo jest dany przez ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle u = {\ Frac {s} {1 + {\ sqrt {1-s \ cdot s}}}} = {\ Frac {\ left (1 - {\ sqrt {1-s \ cdot s}}) \ right) s} {s \ cdot s}}.}$

Biorąc pod uwagę dwa punkty na granicy dysku jednostkowego, które są tradycyjnie nazywane punktami idealnymi , prosta łącząca je w modelu Beltramiego-Kleina jest cięciwą między nimi, podczas gdy w odpowiednim modelu Poincarégo linia jest okrągłym łukiem na dwóch -wymiarowa podprzestrzeń generowana przez dwa wektory punktów granicznych, stykająca się z granicą kuli pod kątem prostym. Oba modele są powiązane poprzez projekcję ze środka dysku; promień od środka przechodzący przez punkt jednej linii modelu przechodzi przez odpowiedni punkt tej linii w drugim modelu.

Zobacz też

• Model półpłaszczyzny Poincaré
• Model dysku Poincarégo
• Metryka Poincaré
• Odwrotna geometria

Uwagi

Bibliografia

• Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas, EUDEBA.
• Stahl, Saul (1993). Półpłaszczyzna Poincaré . Jones i Bartlett.
• Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009). „Ułatwione tworzenie diagramów hiperbolicznych Woronoja”. 2010 Międzynarodowa konferencja nt. Nauk obliczeniowych i ich zastosowań . pp. 74–80. arXiv : 0903.3287 . doi : 10.1109 / ICCSA.2010.37 . ISBN   978-1-4244-6461-6 .