Moduł iloraz - Quotient module
W Algebra , otrzymuje modułu i podmodułu , można skonstruować swój moduł iloraz . Konstrukcja ta, opisana poniżej, jest analogiczne do tego, jak uzyskuje się pierścień z liczb modulo liczbę całkowitą N , patrz modułową arytmetycznych . To samo stosuje się do budowy grup iloraz i pierścienie iloraz .
Biorąc pod uwagę, moduł na pierścieniu R , i moduł podrzędny B w A The przestrzeń iloraz / B jest określona przez stosunku równoważnikowym
- ~ b wtedy i tylko wtedy, gdy b - jest w B ,
dla każdego A i B w A . Elementy A / B są klasy równoważności [ ] = { + b : b w B }.
Dodatek działanie na A / B jest zdefiniowany dla dwóch klas równoważności, klasy równoważności sumy dwóch przedstawicieli z tych klas; w ten sam sposób przez mnożenie elementów R . W ten sposób / B staje się samo przez moduł B , zwany moduł iloraz . Symbolami [ ] + [ b ] = [ + b ], a R · [ ] = [ R · ], dla wszystkich , b w A i R w R .
Przykłady
Rozważmy pierścienia R, z liczb rzeczywistych , a R -module = R [ X ], to znaczy wielomian pierścień o współczynnikach rzeczywistych. Rozważmy submodule
- B = ( x 2 + 1) R [ X ]
w A , to znaczy, że z każdym modułem wielomianów podzielna przez X 2 +1. Z powyższego wynika, że relacja równoważności określona przez ten moduł będzie
- P ( X ) ~ P ( X ) tylko wtedy, gdy p ( x ) i P ( X ), uzyskując tę samą resztę po podzieleniu przez X 2 + 1.
Dlatego też, w module iloraz A / B , X 2 + 1 jest takie samo jak 0; tak można zobaczyć A / B otrzymany z R [ X ] Wykorzystując ustawienie X 2 moduł + 1 = 0, iloraz ten jest izomorficzny z liczb zespolonych , widziana jako moduł na liczb rzeczywistych R .