Macierz towarzysząca - Companion matrix

W liniowym Algebra The Frobeniusa matrycy towarzysz z monic wielomianu

${\ Displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}$

to macierz kwadratowa zdefiniowana jako

${\ displaystyle C (p) = {\ początek {bmatrix} 0 i 0 i \ kropki i 0 i -c_ {0} \\ 1 i 0 i \ kropki i 0 i -c_ {1} \\ 0 i 1 i \ kropki i 0 i -c_ {2} \\\ vdots \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}.}$

Niektórzy autorzy używają transpozycji tej macierzy, która (podwójnie) cyklicznie koordynuje i jest wygodniejsza do niektórych celów, takich jak liniowe relacje rekurencji .

Charakteryzacja

Wielomian charakterystyczny jak również minimalne wielomianu o C ( P ) jest równa P .

W tym sensie macierz C ( p ) jest „towarzyszem” wielomianu p .

Jeśli A jest macierzą n -by- n z wpisami z jakiegoś pola K , to następujące stwierdzenia są równoważne:

• A jest podobny do macierzy towarzyszącej nad K jej charakterystycznego wielomianu
• charakterystyczny wielomian A pokrywa się z minimalnym wielomianem A , równoważnie minimalny wielomian ma stopień n
• istnieje cykliczny wektor V w w A , co oznacza, że { v , A v , ² V , ..., ^{n -1} v } jest podstawą z V . Równoważnie takie, że V jest cykliczne jako -moduł (i ); mówi się, że A nie jest obraźliwy . ${\ Displaystyle V = K ^ {n}}$${\ displaystyle K [A]}$${\ Displaystyle V = K [A] ​​/ (p (A))}$

Nie każda macierz kwadratowa jest podobna do macierzy towarzyszącej. Ale każda macierz jest podobna do macierzy złożonej z bloków macierzy towarzyszących. Ponadto te macierze towarzyszące można tak dobrać, aby ich wielomiany dzieliły się wzajemnie; następnie są jednoznacznie wyznaczone przez A . Jest to racjonalna forma kanoniczna od A .

Możliwość diagonalizacji

Jeżeli P ( t ) ma wyraźne korzenie X ₁ , ...,  λ _n (na wartości własne z C ( p )), po czym C ( t ) jest diagonalizable w następujący sposób:

${\ Displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {n})}$

gdzie V jest macierzą Vandermonde'a odpowiadającą λ .

W takim przypadku ślady potęg m od C łatwo dają sumy tych samych potęg m wszystkich pierwiastków p ( t ),

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} C ^ {m} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} ^ {m} ~.}$

Jeśli p ( t ) ma pierwiastek inny niż prosty, to C ( p ) nie jest diagonalizowalny (jego forma kanoniczna Jordana zawiera po jednym bloku dla każdego odrębnego pierwiastka).

Liniowe sekwencje rekurencyjne

Biorąc pod uwagę liniową sekwencję rekurencyjną z charakterystycznym wielomianem

${\ Displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} \,}$

macierz towarzysząca (transpozycja)

${\ Displaystyle C ^ {T} (p) = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 i 0 i \ cdots i 0 \\ 0 i 0 i 1 i \ cdots i 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 i 0 i 0 i \ cdots i 1 \\ - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ cdots & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}}$

generuje sekwencję w tym sensie

${\ Displaystyle C ^ {T} {\ zaczynać {bmatrix} a_ {k} \\ a_ {k + 1} \\\ vdots \\ a_ {k + n-1} \ koniec {bmatrix}} = {\ zaczynać {bmatrix} a_ {k + 1} \\ a_ {k + 2} \\\ vdots \\ a_ {k + n} \ end {bmatrix}}.}$

zwiększa serię o 1.

Wektor (1, t , t ² , ..., t ^{n -1} ) jest wektorem własnym tej macierzy dla wartości własnej t , gdy t jest pierwiastkiem charakterystycznego wielomianu p ( t ) .

Dla c ₀ = −1 i wszystkich innych c _i = 0 , tj. P ( t ) = t ⁿ −1 , ta macierz redukuje się do macierzy cyklicznego przesunięcia Sylvestera lub macierzy cyrkulacyjnej .

Zobacz też

• Endomorfizm Frobeniusa
• Twierdzenie Cayleya – Hamiltona
• Podprzestrzeń Kryłowa

Uwagi