Moduł cykliczny - Cyclic module

W matematyce , a dokładniej w teorii pierścień , A cykliczny moduł lub moduł monogenous jest moduł , który jest generowany przez jeden element nad pierścieniem. Pojęcie to analogiczne do grupy cyklicznej , to znaczy grupą, która jest generowana przez jeden element.

Definicja

W lewej R -module M jest nazywana cyklicznym jeśli M mogą być generowane za pomocą pojedynczego elementu czyli K = ( x ) = RT = { rx | R ∈ R } niektórych X w M . Podobnie, prawy R -module N jest cykliczny, jeśli N = r jakiegoś Y ∈ N .

Przykłady

  • Każda grupa cykliczna jest cyklicznym Z -module.
  • Każdy prosty R -module M jest modułem cykliczny od modułem generowane dowolną niezerową elementu x o M musi cały moduł M .
  • Jeśli pierścień R jest uważany za lewego modułu na siebie, a następnie jego cykliczne podmoduły są dokładnie jej lewym główne idee jako pierścień. To samo odnosi się do R jako prawe R -module, mutatis mutandis .
  • Jeśli R jest C [ x ], pierścień wielomianów nad polem F i V to R -module który jest również ograniczony-wymiarowej przestrzeni wektora przez F, a następnie blokuje Jordan z x działających na V są podmoduły cykliczne. (Jordańsko bloki są izomorficzna F [ x ] / ( x - λ ) n ;. Mogą być również inne cykliczne submodułów z różnymi annihilators patrz poniżej)

Nieruchomości

  • Ze względu na cykliczną R -module M , który jest generowany przez X , istnieje kanoniczny izomorfizm pomiędzy M i R / Ann R X , w którym Ann R x oznacza Annihilatora o X w R .

Zobacz też

Referencje