Tabliczka mnożenia - Multiplication table

Aby zapoznać się z albumem Matthew Shipp, zobacz Tablica mnożenia .
„Tabela mnożenia” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z tabelą godzin odjazdów i przylotów, zobacz Harmonogram (ujednoznacznienie) .
Tabliczka mnożenia od 1 do 10 narysowana w skali z prawą górną połówką oznaczoną rozkładami liczb pierwszych

W matematyce , A tabliczka mnożenia (czasami mniej Formalnie razy tabela ) jest tabela matematyczny stosowany do zdefiniowania mnożenia operację dla systemu algebraicznego.

Dziesiętny tabliczka mnożenia tradycyjnie nauczane jako istotną część elementarnej arytmetyki na całym świecie, gdyż stanowi podstawę dla operacji arytmetycznych z numerami bazowych-dziesięć. Wielu pedagogów uważa, że ​​konieczne jest zapamiętanie tabeli do 9 × 9.

Historia

W czasach przednowoczesnych

Tsinghua Bamboo Poślizgnięcia , chiński Walczących mnożenie era dziesiętny stół z 305 rpne

Najstarsze znane tabliczki mnożenia były używane przez Babilończyków około 4000 lat temu. Użyli jednak podstawy 60. Najstarsze znane tabele o podstawie 10 to chińska tabliczka mnożenia dziesiętnego na paskach bambusa, datowana na około 305 rpne, w okresie Chińskich Królestw Walczących .

„Tabela Pitagorasa” na kościach Napiera

Tabliczkę mnożenia przypisuje się czasami starożytnemu greckiemu matematykowi Pitagorasowi (570-495 pne). W wielu językach (np. francuskim, włoskim i rosyjskim), czasem w języku angielskim, nazywana jest również Tabelą Pitagorasa. Greco-Roman matematyk Nichomachus (60-120 ne), zwolennik Neopitagoreizm , zawiera tabelę mnożenia w swoim wstępie do arytmetyki , podczas gdy najstarszy grecki tabliczka mnożenia jest na woskowej tabliczce dnia do 1 wieku naszej ery, a obecnie mieści się w British Museum .

W 493 r. Wiktoriusz z Akwitanii napisał 98-kolumnową tabliczkę mnożenia, która dawała ( cyframi rzymskimi ) iloczyn każdej liczby od 2 do 50 razy, a rzędy były „listą liczb zaczynających się od tysiąca, schodzącą od setek do jednego sto, potem malejąc o dziesiątki do dziesięciu, potem o jeden do jednego, a potem ułamki w dół do 1/144”.

W czasach współczesnych

W swojej książce The Philosophy of Arithmetic z 1820 roku matematyk John Leslie opublikował tabliczkę mnożenia do 99 × 99, która pozwala na mnożenie liczb w parach cyfr na raz. Leslie zaleciła również, aby młodzi uczniowie zapamiętali tabliczkę mnożenia do 50 × 50.

Poniższa ilustracja przedstawia tabelę o wymiarach do 12 × 12, co jest rozmiarem powszechnie używanym w dzisiejszych szkołach anglojęzycznych.

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
12 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

Jednak w Chinach, ponieważ mnożenie liczb całkowitych jest przemienne , wiele szkół używa mniejszej tabeli, jak poniżej. Niektóre szkoły usuwają nawet pierwszą kolumnę, ponieważ 1 to tożsamość multiplikatywna .

1 1
2 2 4
3 3 6 9
4 4 8 12 16
5 5 10 15 20 25
6 6 12 18 24 30 36
7 7 14 21 28 35 42 49
8 8 16 24 32 40 48 56 64
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tradycyjna nauka mnożenia na pamięć opierała się na zapamiętywaniu kolumn w tabeli, w formie

   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90

Ta forma pisania tabliczki mnożenia w kolumnach z pełnymi zdaniami liczbowymi jest nadal używana w niektórych krajach, takich jak Bośnia i Hercegowina, zamiast nowoczesnych siatek powyżej.

Wzory w tabelach

W tabliczce mnożenia znajduje się wzór, który może pomóc ludziom łatwiej zapamiętać tabliczkę. Wykorzystuje poniższe liczby:

→   →
↑ 1 2 3 ↓ ↑ 2   4 ↓
4 5 6      
7 8 9 6   8
← ←
  0   5     0  
Rysunek 1: Dziwne Rysunek 2: Równomierne
Cykle cyfry jednostkowej wielokrotności liczb całkowitych kończących się na 1, 3, 7 i 9 (wiersz górny) oraz 2, 4, 6 i 8 (wiersz dolny) na klawiaturze telefonu

Rysunek 1 jest używany do wielokrotności 1, 3, 7 i 9. Rysunek 2 jest używany do wielokrotności 2, 4, 6 i 8. Te wzory mogą być używane do zapamiętywania wielokrotności dowolnej liczby od 0 do 10, z wyjątkiem 5. Tak jak zaczynasz od liczby, którą mnożysz, kiedy mnożysz przez 0, pozostajesz na 0 (0 jest zewnętrzne, więc strzałki nie mają wpływu na 0, w przeciwnym razie 0 jest używane jako łącze do tworzenia wiecznego cyklu ). Wzór działa również z wielokrotnościami 10, zaczynając od 1 i po prostu dodając 0, co daje 10, a następnie po prostu zastosuj każdą liczbę we wzorze do jednostki „dziesiątek”, tak jak zwykle robisz to z jednostką „jedynek”.

Na przykład, aby przywołać wszystkie wielokrotności 7:

  1. Spójrz na 7 na pierwszym obrazku i podążaj za strzałką.
  2. Następna liczba w kierunku strzałki to 4. Pomyśl o następnej liczbie po 7, która kończy się na 4, czyli 14.
  3. Następna liczba w kierunku strzałki to 1. Pomyśl o następnej liczbie po 14, która kończy się na 1, czyli 21.
  4. Po dojściu na szczyt tej kolumny zacznij od dołu następnej kolumny i podróżuj w tym samym kierunku. Liczba to 8. Pomyśl o następnej liczbie po 21, która kończy się na 8, czyli 28.
  5. Postępuj w ten sam sposób, aż do ostatniej liczby, 3, odpowiadającej 63.
  6. Następnie użyj 0 na dole. Odpowiada 70.
  7. Następnie zacznij ponownie od 7. Tym razem będzie to odpowiadać 77.
  8. Kontynuuj w ten sposób.

Mnożenie przez 6 do 10

Obliczanie 9 × 8 i 7 × 6

Mnożenie dwóch liczb całkowitych, każda od 6 do 10, można osiągnąć za pomocą palców i kciuków w następujący sposób:

  1. Ponumeruj palce i kciuki od 10 do 6, a następnie od 6 do 10 od lewej do prawej, jak na rysunku.
  2. Zegnij palec lub kciuk na każdej ręce odpowiadającej każdej liczbie i wszystkie palce między nimi.
  3. Liczba zgiętych palców lub kciuków daje cyfrę dziesiątek.
  4. Do powyższego dodaje się produkt z wygiętych palców lub kciuków po lewej i prawej stronie.

Mnożenie przez 9

Obliczanie 9 × 8

Mnożenie 9 przez liczbę całkowitą od 1 do 10 można również uzyskać w następujący sposób:

Metoda 1
  1. Ponumeruj palce i kciuki od 1 do 10 od lewej do prawej.
  2. Zegnij palec lub kciuk odpowiadający numerowi.
  3. Liczba palców lub kciuka po lewej stronie zgięcia daje cyfrę dziesiątek (jeśli brak, cyfra wynosi zero).
  4. Liczba palców lub kciuka po prawej stronie zgięcia daje cyfrę jednostek (jeśli brak, cyfra wynosi zero).
Metoda 2
  1. Weź liczbę, przez którą mnożysz 9, i odejmij 1, aby otrzymać cyfrę dziesiątek
  2. Cyfra jedności będzie liczbą potrzebną do zsumowania cyfry dziesiątek i cyfry jedności odpowiadającej dziewiątce; np. , , .

W algebrze abstrakcyjnej

Tabele mogą również definiować operacje binarne na grupach , polach , pierścieniach i innych systemach algebraicznych . W takich kontekstach nazywa się je tabelami Cayleya . Oto tablice dodawania i mnożenia dla pola skończonego Z 5 :

  • dla każdej liczby naturalnej n istnieją również tabliczki dodawania i mnożenia dla pierścienia Z n .

Aby zapoznać się z innymi przykładami, zobacz group i octonion .

Chińska tabliczka mnożenia

Główny artykuł: chińska tabliczka mnożenia

Chińska tabliczka mnożenia składa się z osiemdziesięciu jeden zdań z czterema lub pięcioma chińskimi znakami w zdaniu, co ułatwia dzieciom naukę na pamięć. Krótsza wersja tabeli składa się tylko z czterdziestu pięciu zdań, ponieważ terminy takie jak „dziewięć ósemek rodzi siedemdziesiąt dwa” są identyczne z „osiem dziewiątek rodzi siedemdziesiąt dwa”, więc nie ma potrzeby uczenia się ich dwa razy. Wersja minimalna, usuwając wszystkie zdania „jeden”, składa się tylko z trzydziestu sześciu zdań, które są najczęściej używane w szkołach w Chinach. Często jest to kolejność: 2x2=4, 2x3=6, ..., 2x8=16, 2x9=18, 3x3, 3x4, ..., 3x9, 4x4, ..., 4x9, 5x5,... ,9x9

Walczących państw mnożenie dziesiętne bambusowe zrazy

Pakiet 21 bambusa zrazy dnia 305 pne w Walczących Królestw okresie w Tsinghua Bamboo Slips (清华简) kolekcja jest największym na najwcześniejszym znanym przykładem tabeli mnożenia dziesiętny.

Nowoczesna reprezentacja dziesiętnej tabliczki mnożenia Walczących używana do obliczenia 12 × 34,5

Reforma matematyki oparta na standardach w USA

W 1989 r. Krajowa Rada Nauczycieli Matematyki (NCTM) opracowała nowe standardy, które opierały się na przekonaniu, że wszyscy uczniowie powinni uczyć się umiejętności myślenia wyższego rzędu, co zaleciło zmniejszenie nacisku na nauczanie tradycyjnych metod opartych na zapamiętywaniu pamięci, takich jak jako tabliczki mnożenia. Powszechnie przyjęte teksty, takie jak Badania w liczbach, danych i przestrzeni (powszechnie znane jako TERC od jego producenta, Technical Education Research Centers) pomijały pomoce, takie jak tabliczki mnożenia we wczesnych wydaniach. NCTM jasno określił w swoich punktach kontaktowych 2006, że podstawowych faktów matematycznych należy się nauczyć, chociaż nie ma zgody co do tego, czy zapamiętywanie na pamięć jest najlepszą metodą. W ostatnich latach opracowano wiele nietradycyjnych metod, aby pomóc dzieciom w nauce faktów mnożenia, w tym aplikacje w stylu gier wideo i książki, które mają na celu uczenie tabliczki mnożenia poprzez historie oparte na postaciach.

Zobacz też

Bibliografia