Klasa równoważności - Equivalence class

Kongruencja jest przykładem relacji równoważności. Dwa skrajnie lewe trójkąty są przystające, podczas gdy trzeci i czwarty trójkąt nie są przystające do żadnego innego pokazanego tutaj trójkąta. Zatem pierwsze dwa trójkąty należą do tej samej klasy równoważności, podczas gdy trzeci i czwarty trójkąt należą do własnej klasy równoważności.

W matematyce , gdy elementy jakiegoś zbioru mają zdefiniowane pojęcie równoważności (sformalizowane jako relacja równoważności ), to można w naturalny sposób podzielić zbiór na klasy równoważności . Te klasy równoważności są skonstruowane w taki sposób, że elementy i należą do tej samej klasy równoważności, jeśli i tylko wtedy , gdy są równoważne.

Formalnie, ponieważ zestaw i równoważnością w tej klasie równoważności elementu w oznaczony jest zestaw

Elementy, które są jednakowe , to może on być sprawdzone z właściwości określających stosunków równoważnych, że klasy równoważności tworzą partycję z tej partycji-zestawu równoważnych grup, jest czasami nazywana zestaw iloraz lub przestrzeń iloraz z o i oznaczony przez

Gdy zbiór ma jakąś strukturę (np.

operację grupową lub topologię ) i relacja równoważności jest zgodna z tą strukturą, zbiór ilorazowy często dziedziczy podobną strukturę ze swojego zbioru macierzystego. Przykłady obejmują iloraz miejsca liniowych Algebra , iloraz przestrzenie w topologii , grupy iloraz , jednorodnych przestrzeni , iloraz pierścienie , iloraz monoids i iloraz kategorie .

Przykłady

  • Jeśli jest zbiorem wszystkich samochodach i jest
relacją równoważności „ma taki sam kolor jak”, a następnie jedna szczególna klasa równoważności będzie składać się z wszystkich samochodów ekologicznych, a może być utożsamiany z naturalnie zbioru wszystkich kolorach samochodowych.
  • Niech będzie zbiorem wszystkich prostokątów na płaszczyźnie, a relacja równoważności „ma taką samą powierzchnię jak”, wtedy dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej będzie klasa równoważności wszystkich prostokątów, które mają pole
  • Rozważmy relację równoważności modulo 2 na zbiorze liczb całkowitych , taką, że wtedy i tylko wtedy, gdy ich różnica jest
  • parzysta . Ta relacja powoduje powstanie dokładnie dwóch klas równoważności: jedna klasa składa się ze wszystkich liczb parzystych, a druga klasa składa się ze wszystkich liczb nieparzystych. Używanie nawiasów kwadratowych wokół jednego członka klasy do oznaczenia klasy równoważności w tej relacji i wszystkie reprezentują ten sam element
  • Niech będzie zbiorem
  • uporządkowanych par liczb całkowitych o wartości niezerowej i zdefiniujemy relację równoważności w taki sposób, że wtedy i tylko wtedy, gdy klasa równoważności pary może być utożsamiana z liczbą wymierną i ta relacja równoważności i jej klasy równoważności mogą być użyte podać formalną definicję zbioru liczb wymiernych. Tę samą konstrukcję można uogólnić na pole ułamków dowolnej domeny całkowej .
  • Jeśli składa się ze wszystkich linii, powiedzmy, na
  • płaszczyźnie euklidesowej i oznacza, że i są liniami równoległymi , to zbiór linii równoległych do siebie tworzy klasę równoważności, o ile linia jest uważana za równoległą do siebie . W tej sytuacji każda klasa równoważności określa punkt w nieskończoności .

    Definicja i notacja

    Relacją równoważności na zbiorze jest

    binarna relacja na zaspokojenie trzy właściwości:
    • dla wszystkich (
    refleksyjność ),
  • implikuje dla wszystkich (
  • symetria ),
  • jeśli i wtedy dla wszystkich (
  • przechodniość ).

    Klasa równoważności elementu jest często oznaczany i jest zdefiniowany jako zbiór elementów, które są związane poprzez  słowo „klasy” w termin „klasa równoważne” może ogólnie być traktowane jako synonim „

    zestaw ”, chociaż niektóre równoważności klasy nie są zbiorami, ale właściwymi klasami . Na przykład „bycie izomorficznym ” jest relacją równoważności na grupach , a klasy równoważności, zwane klasami izomorfizmu , nie są zbiorami.

    Zbiór wszystkich klas równoważności w odniesieniu do relacji równoważności jest oznaczony jako i nazywa się

    modulo (lub Iloraz zestaw oo). Suriekcją mapaznaktóry odwzorowuje każdy element jej klasy równoważności, nosi nazwę odrzucenie kanoniczne lubodwzorowanie kanoniczne.

    Każdy element równoważnej klasy charakteryzuje klasę i może być używany do jej reprezentowania . Wybranie takiego elementu nazywamy reprezentantem klasy. Wybór reprezentanta w każdej klasie określa zastrzyk od do

    X . Ponieważ jego skład z kanonicznym odrzuceniem jest tożsamością takiego wstrzyknięcia nazywamy sekcją , używając terminologii teorii kategorii .

    Czasami jest sekcja, która jest bardziej „naturalna” niż pozostałe. W tym przypadku przedstawiciele nazywani są

    przedstawicielami kanonicznymi . Na przykład, w modułowej arytmetyczne dla każdej liczby całkowitej m większy niż 1 , zbieżność modulo m jest stosunek równoważności na całkowite, na której dwie liczby całkowite i b są ekwiwalentne w takim przypadku mówi się zgodny -W m dzieli jest oznaczone Każda klasa zawiera unikalną nieujemną liczbę całkowitą mniejszą niż i te liczby całkowite są reprezentantami kanonicznymi.

    Użycie reprezentantów do reprezentowania klas pozwala uniknąć jawnego traktowania klas jako zbiorów. W tym przypadku kanoniczne odrzucenie, które odwzorowuje element na jego klasę, zostaje zastąpione funkcją, która odwzorowuje element na przedstawiciela jego klasy. W powyższym przykładzie, funkcja ta jest oznaczona i daje resztę

    euklidesowej Division of przez m .

    Nieruchomości

    Każdy element z jest członkiem klasy równoważności każda dwóch klas równoważności i są albo równa lub

    rozłączne . Dlatego zbiór wszystkich klas równoważności tworzy działowych z : każdy element należący do jednej i tylko jednej klasy równoważności. I odwrotnie, każdy podział pochodzi w ten sposób z relacji równoważności, zgodnie z którą wtedy i tylko wtedy i należą do tego samego zbioru podziału.

    Z właściwości relacji równoważności wynika, że:

    wtedy i tylko wtedy gdy

    Innymi słowy, jeśli jest relacją równoważności na zbiorze a i są dwa elementy to te stwierdzenia są równoważne:

    Reprezentacja graficzna

    Wykres przykładowej równoważności z 7 klasami

    Nieukierunkowane wykres może być związana z dowolnym symetryczny względem w zestawie , w którym wierzchołki są elementy oraz dwa wierzchołki i są połączone tylko wtedy, gdy Wśród tych wykresach są wykresy stosunków równoważności; są one scharakteryzowane jako grafy w taki sposób, że

    połączone komponentyklikami .

    Niezmienniki

    Jeśli jest to związek o równoważność i jest własnością elementami tak, że gdy jest w przypadku gdy jest to prawda, że właściwość mówi się za

    niezmienne w lub dobrze zdefiniowane pod względem

    Częsty szczególny przypadek występuje wtedy, gdy jest funkcją z do innego zestawu ; jeśli kiedykolwiek wtedy mówi się, że jest

    klasowo niezmiennikiem lub po prostu niezmiennikiem pod To występuje na przykład w teorii charakteru grup skończonych. Niektórzy autorzy używają słowa „zgodny z ” lub po prostu „szanuje ” zamiast „niezmiennego pod ”.

    Dowolna funkcja sama określa relacją równoważności na zgodnie z którym wtedy i tylko wtedy Klasa równoważności jest zbiorem wszystkich elementów w których się odwzorowywane na to jest klasa jest

    obraz odwrotny od równoważność ta relacja jest znany jako jądro z

    Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja może mapować równoważne argumenty (w relacji równoważności na ) na równoważne wartości (w relacji równoważności na ). Taka funkcja jest

    morfizmem zbiorów wyposażonych w relację równoważności.

    Przestrzeń ilorazowa w topologii

    W topologii , A iloraz przestrzeń jest przestrzenią topologiczną utworzona na zestaw klas równoważności relacją równoważności w przestrzeni topologicznej, korzystając topologię oryginalnego przestrzeń do tworzenia topologii na zbiorze klas równoważności.

    W algebrze abstrakcyjnej , relacje kongruencji na podstawowym zbiorze algebry pozwalają algebrze indukować algebrę na klasach równoważności relacji, zwaną algebrą ilorazów . W liniowym Algebra , A przestrzeń iloraz jest przestrzeń utworzona przez wektor biorąc grupę iloraz , gdzie homomorfizm iloraz jest liniową mapą . Co za tym idzie, w algebry abstrakcyjnej, termin przestrzeń iloraz mogą być wykorzystywane do ilorazowych modułów , ilorazowych pierścieni , grup ilorazowych lub dowolnej algebry iloraz. Jednak użycie tego terminu dla bardziej ogólnych przypadków może być równie często przez analogię z orbitami akcji grupowej.

    Orbity działania grupowego na zbiorze można nazwać przestrzenią ilorazową działania na zbiorze, zwłaszcza gdy orbity działania grupowego są właściwymi kosetami podgrupy grupy, które wynikają z działania podgrupy na

    zbiorze. grupa przez lewe translacje lub odpowiednio lewe cosets jako orbity pod prawą translacją.

    Normalna podgrupa grupy topologicznej, działająca na grupę poprzez akcję translacji, jest przestrzenią ilorazową w sensie topologii, algebry abstrakcyjnej i akcji grupowych jednocześnie.

    Chociaż termin może być używany dla dowolnego zestawu klas równoważności w relacji równoważności, prawdopodobnie z dalszą strukturą, intencją użycia tego terminu jest generalnie porównanie tego typu relacji równoważności w zestawie albo z relacją równoważności, która indukuje pewną strukturę w zestawie klas równoważności ze struktury tego samego rodzaju na orbitach akcji grupowej lub na orbity. Zarówno sens struktury utrzymywanej przez relację równoważności, jak i badanie

    niezmienników w ramach działań grupowych prowadzą do definicji niezmienników relacji równoważności podanej powyżej.

    Zobacz też

    Uwagi

    Bibliografia

    • Avelsgaard, Carol (1989), Podstawy zaawansowanej matematyki , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
    • Devlin, Keith (2004), Zbiory, funkcje i logika: wprowadzenie do matematyki abstrakcyjnej (3rd ed.), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
    • Maddox, Randall B. (2002), Myślenie matematyczne i pisanie , Harcourt / Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
    • Wolf, Robert S. (1998), Dowód, logika i przypuszczenia: Przybornik matematyka , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

    Dalsza lektura

    • Sundstrom (2003), Rozumowanie matematyczne: pisanie i dowód , Prentice-Hall
    • Kowal; Eggena; St.Andre (2006), przejście do zaawansowanej matematyki (6th ed.), Thomson (Brooks / Cole)
    • Schumacher, Carol (1996), Rozdział Zero: Podstawowe pojęcia matematyki abstrakcyjnej , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
    • O'Leary (2003), Struktura dowodu: z logiką i teorią mnogości , Prentice-Hall
    • Lay (2001), Analiza ze wstępem do dowodu , Prentice Hall
    • Morash, Ronald P. (1987), Most do matematyki abstrakcyjnej , Random House, ISBN 0-394-35429-X
    • Gilberta; Vanstone (2005), Wprowadzenie do myślenia matematycznego , Pearson Prentice-Hall
    • Fletchera; Patty, Podstawy Matematyki Wyższej , PWS-Kent
    • Iglewicza; Stoyle, Wprowadzenie do rozumowania matematycznego , MacMillan
    • D'Angelo; West (2000), Myślenie matematyczne: rozwiązywanie problemów i dowody , Prentice Hall
    • Cupillari , The Nuts and Bolts of Proofs , Wadsworth
    • Bond, Wstęp do matematyki abstrakcyjnej , Brooks/Cole
    • Barniera; Feldman (2000), Wprowadzenie do matematyki zaawansowanej , Prentice Hall
    • Ash, elementarz matematyki abstrakcyjnej , MAA

    Zewnętrzne linki