Kwaziregularny wielościan - Quasiregular polyhedron

Figury quasi-regularne Domeny trójkąta prostokątnego (pq 2), = r {p, q} r {4,3} r {5,3} r {6,3} r {7,3} ... r {∞, 3} (3.4) 2 (3.5) 2 (3.6) 2 (3.7) 2 (3.∞) 2 Domeny trójkąta równoramiennego (str. 3), = = h {6, p} godz. {6,4} godz. {6,5} godz. {6,6} h {6,7} ... godz. {6, ∞} = = = = = (4.3) 4 (5.3) 5 (6.3) 6 (7.3) 7 (∞.3) ∞ Domeny trójkąta równoramiennego (str. 4), = = h {8, p} godz. {8,3} godz. {8,5} h {8,6} h {8,7} ... h {8, ∞} = = = = = (4.3) 3 (4.5) 5 (4.6) 6 (4.7) 7 (4.∞) ∞ Domena trójkąta skalenowego (5 4 3), (3.5) 4 (4.5) 3 (3.4) 5 Quasiregular wielościan lub Dachówka ma dokładnie dwa rodzaje regularnej twarzy, który na przemian wokół każdego wierzchołka. Ich figury wierzchołkowe są izogonalnymi wielokątami .

Figury regularne i quasi-regularne Domeny trójkąta prostokątnego (pp 2), = = r {p, p} = {p, 4} 1 ⁄ 2​ {3,4} 1 ⁄ 2​ r {3,3} {4,4} 1 ⁄ 2​ r {4,4} {5,4} 1 ⁄ 2​ r {5,5} {6,4} 1 ⁄ 2​ r {6,6} ... {∞, 4} 1 ⁄ 2​ r {∞, ∞} = = = = = (3.3) 2 (4.4) 2 (5.5) 2 (6.6) 2 (∞.∞) 2 Domeny trójkąta równoramiennego (str. 3), = = {p, 6} 1 ⁄ 2​ {3,6} 1 ⁄ 2​ {4,6} 1 ⁄ 2​ {5,6} 1 ⁄ 2​ {6,6} 1 ⁄ 2​ ... {∞, 6} 1 ⁄ 2​ = = = = = (3.3) 3 (4.4) 3 (5.5) 3 (6.6) 3 (∞.∞) 3 Domeny trójkąta równoramiennego (str. 4), = = {p, 8} 1 ⁄ 2​ {3,8} 1 ⁄ 2​ {4,8} 1 ⁄ 2​ {5,8} 1 ⁄ 2​ {6,8} 1 ⁄ 2​ ... {∞, 8} 1 ⁄ 2​ = = = = = (3.3) 4 (4.4) 4 (5.5) 4 (6.6) 4 (∞.∞) 4 Regularne wielościan lub Dachówka można uznać quasiregular jeśli ma liczbę nawet twarze wokół każdego wierzchołka (a więc może mieć na przemian kolorowe twarze).

W geometrii , o quasiregular wielościan jest jednolita wielościan , który ma dokładnie dwa rodzaje regularnych powierzchniach , na przemian wokół każdego wierzchołka . Są wierzchołek-przechodnia i krawędzi przechodnia , stąd o krok bliżej do regularnych wielościanów niż semiregular , które stanowią jedynie wierzchołek-przechodnia.

Ich podwójne cyfry są przechodnie przez twarze i krawędzie; mają dokładnie dwa rodzaje regularnych figur wierzchołków , które naprzemiennie otaczają każdą ścianę . Czasami są również uważane za quasi-regularne.

Istnieją tylko dwa wypukłe wielościany quasiiregular: sześcian i icosidodecahedron . Ich nazwiska, podane przez Keplera , pochodzą z uznając, że ich twarze są wszystkie twarze (włączony inaczej) z podwójnym -pair sześcianu i ośmiościanu , w pierwszym przypadku, i dual-pair icosahedron i dwunastościanu , w drugim przypadku.

Formom tym, reprezentującym parę regularnej figury i jej dwoistości, można nadać pionowy symbol Schläfli lub r {p, q} , aby wskazać , że ich twarze są twarzami (inaczej obróconymi) zarówno regularnych {p, q}, jak i podwójny regularny {q, p} . Kwaziregularny wielościan z tym symbolem będzie miał konfigurację wierzchołków p.qpq (lub (pq) ² ). ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$

Mówiąc bardziej ogólnie, figura quasi-prostokątna może mieć konfigurację wierzchołków (pq) ^r , reprezentującą r (2 lub więcej) sekwencji ścian wokół wierzchołka.

Nachylenie płaszczyzny może być również quasi - prostokątne , a konkretnie płytki trójheksagonalne , z konfiguracją wierzchołków (3.6) ² . Inne quasiregular Tilings istnieć w hiperbolicznej płaszczyźnie jak triheptagonal płytek (3,7) ² . Lub bardziej ogólnie: (pq) ² , gdzie 1 / p + 1 / q <1/2 .

Regularne wielościany i nachylenia z parzystą liczbą ścian w każdym wierzchołku można również uznać za quasiregular, rozróżniając ściany tego samego rzędu, przedstawiając je w różny sposób, np. Naprzemiennie je kolorując (bez określania orientacji powierzchni). Zwykłą figurę z symbolem Schläfliego {p, q} można uznać za quasi- regularną , z konfiguracją wierzchołków (pp) ^{q / 2} , jeśli q jest parzyste.

Przykłady:

Regularny ośmiościan , z symbolem Schläfliego {3,4} i parzystą 4, można uznać za kwaziregularny jako czworościan (2 zestawy 4 trójkątów czworościanu ), z konfiguracją wierzchołków (3.3) ^4/2 = (3 _a .3 _b ) ² , naprzemiennie dwa kolory trójkątnych ścian.

Kwadratowe płytki z konfiguracji wierzchołek 4, ⁴ i 4, która jest równa, można uznać quasiregular z konfiguracji wierzchołek (4,4) ^4/2 = (4 0,4 _b ) ² , zabarwiony za pomocą szachownicy .

Trójkątne płytki , z konfiguracji wierzchołek 3, ⁶ i 6 jest płaska, można uznać quasiregular z konfiguracji wierzchołek (3,3) ^6/2 = (3 0,3 _b ) ³ , na przemian w dwóch kolorach trójkątne powierzchnie.

Konstrukcja Wythoff

Regularne ( p | 2 q ) i quasi- regularne wielościany ( 2 | pq ) są tworzone z konstrukcji Wythoffa z punktem generatora w jednym z 3 rogów domeny podstawowej. Definiuje pojedynczą krawędź w ramach domeny podstawowej.

Kwaziregularne wielościany są generowane ze wszystkich 3 rogów domeny podstawowej dla trójkątów Schwarza , które nie mają kątów prostych:
q | 2 p , p | 2 q , 2 | pq

Coxeter definiuje kwaziregularny wielościan jako taki, który ma symbol Wythoffa w postaci p | qr i jest regularne, jeśli q = 2 lub q = r.

Schemat Coxeter-Dynkin jest kolejnym symbolicznym, który pokazuje quasiregular relacja między dwoma podwójnego regularnych formach:

Symbol Schläfli		Diagram Coxetera	Symbol Wythoff
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 pkt
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 q
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	r {p, q}	lub	2 | pq

Wypukłe quasiregular wielościany

Istnieją dwa jednorodne wypukłe wielościany quasiregular:

1. Sześcio-ośmiościan konfiguracja wierzchołek (3.4) ² , Coxeter-Dynkin wykres${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 4 \ end {Bmatrix}}}$
2. Icosidodecahedron konfiguracja wierzchołek (3.5) ² , Coxeter-Dynkin wykres${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 5 \ end {Bmatrix}}}$

Ponadto ośmiościan , który również jest regularny , w konfiguracji wierzchołków (3.3) ² , można uznać za quasiregular, jeśli naprzemiennym ścianom nada się różne kolory. W tej formie jest czasami nazywany czworościanem . Pozostałe wypukłe regularne wielościany mają nieparzystą liczbę ścian w każdym wierzchołku, więc nie można ich pokolorować w sposób, który zachowuje przechodniość krawędzi. Ma diagram Coxetera-Dynkina${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$

Każdy z nich tworzy wspólny rdzeń podwójnej pary regularnych wielościanów . Nazwy dwóch z nich dają wskazówki dotyczące powiązanej pary podwójnej: odpowiednio ośmiościan sześcianu i dwunastościan dwudziestościanu . Ośmiościan jest wspólny rdzeń podwójnej pary czworościanów (związek znany jako octangula stella ); wyprowadzony w ten sposób ośmiościan jest czasami nazywany czworościanem , jako czworościan czworościanu . ${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ cap}$ ${\ displaystyle \ cap}$

Regularny	Podwójny regularny	Quasiregular wspólny rdzeń	Figura wierzchołka
Czworościan {3,3} 3 | 2 3	Czworościan {3,3} 3 | 2 3	Czworościan r {3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Kostka {4,3} 3 | 2 4	Ośmiościan {3,4} 4 | 2 3	Kuboctaedr r {3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Dwunastościan {5,3} 3 | 2 5	Dwudziestościan {3,5} 5 | 2 3	Icosidodecahedron r {3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

Każdy z tych kwaziregularnych wielościanów można skonstruować przez operację rektyfikacji na dowolnym regularnym rodzicu, całkowicie obcinając wierzchołki, aż każda oryginalna krawędź zostanie zredukowana do punktu środkowego.

Quasiregular tilings

Ta sekwencja jest kontynuowana jako trójheksagonalne kafelki , figura wierzchołka (3.6) ² - quasiiregularne kafelki oparte na trójkątnym i sześciokątnym kafelku .

Regularny	Podwójny regularny	Kombinacja quasi-regularna	Figura wierzchołka
Sześciokątne płytki {6,3} 6 | 2 3	Trójkątne płytki {3,6} 3 | 2 6	Trójheksagonalne płytki r {6,3} 2 | 3 6	(3.6) 2

Szachownicy wzorzec jest quasiregular zabarwienie kwadratowych kafli , postać wierzchołka (4,4) ² :

Regularny	Podwójny regularny	Kombinacja quasi-regularna	Figura wierzchołka
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r {4,4} 2 | 4 4	(4.4) 2

Trójkątne płytki , może być uznane quasiregular z trzech zestawów naprzemiennych trójkątów każdego wierzchołka (3,3) ³ :

h {6,3} 3 | 3 3 =

W płaszczyźnie hiperbolicznej sekwencja ta jest kontynuowana dalej, na przykład trójheptagonalne kafelki , rysunek wierzchołków (3.7) ² - quasi - prostokątne kafelki oparte na trójkątnym kafelkowaniu rzędu-7 i heptagonalnym kafelkowaniu .

Regularny	Podwójny regularny	Kombinacja quasi-regularna	Figura wierzchołka
Sześciokątne płytki {7,3} 7 | 2 3	Trójkątne płytki {3,7} 3 | 2 7	Trójheptagonalne kafelki r {3,7} 2 | 3 7	(3.7) 2

Przykłady niewypukłe

Coxeter, HSM i wsp. (1954) również klasyfikują niektóre wielościany gwiazd , mające te same cechy, jako quasi-regularne.

Dwa są oparte na podwójnych parach regularnych brył Keplera – Poinsota , w taki sam sposób jak w przypadku wypukłych przykładów:

wielki icosidodecahedron i dodecadodecahedron : ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 5/2 \ end {Bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 5/2 \ end {Bmatrix}}}$

Regularny	Podwójny regularny	Quasiregular wspólny rdzeń	Figura wierzchołka
Wielki gwiazdowaty dwunastościan { 5 / 2 , 3} 3 | 2 5/2	Wielki Dwudziestościan {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3	Wielki icosidodecahedron R {3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2	3. 5 / 2 0,3. 5 / 2
Małe gwiazdowaty dwunastościan { 5 / 2 , 5}, 5 | 2 5/2	Wielki dwunastościan {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5	Dodecadodecahedron R {5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2	5. 5 / 2 0,5. 5 / 2

Dziewięć kolejnych to hemipoliedry , które są fasetowanymi formami wspomnianych wcześniej quasi-regularnych wielościanów pochodzących z rektyfikacji regularnych wielościanów. Należą do nich równikowe ściany przechodzące przez środek wielościanów:

Quasiregular (rektyfikowany)	Czworościan	Cuboctahedron	Icosidodecahedron	Wielki icosidodecahedron	Dodecadodecahedron
Quasiregular (hemipolyhedra)	Tetrahemihexahedron 3 / 2 3 | 2	Octahemioctahedron 3 / 2 3 | 3	Małe icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5	Wielki icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 / 3	Małe dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3
Figura wierzchołka	3.4. 3 / 2 0,4	3.6. 3 / 2 0,6	3.10. 3 / 2 0,10	3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3	5 / 2 0,6. 5 / 3 0,6
Quasiregular (hemipolyhedra)		Cubohemioctahedron 4 / 3 4 | 3	Małe dodecahemidodecahedron 5 / 4 5 | 5	Wielki dodecahemidodecahedron 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3	Wielki dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3
Figura wierzchołka		4.6. 4 / 3 0,6	5.10. 5 / 4 0,10	5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3	5.6. 5 / 4 0,6

Wreszcie istnieją trzy formy ditrigonalne , wszystkie fasety dwunastościanu regularnego, których figury wierzchołków zawierają trzy naprzemienności dwóch typów twarzy:

Wizerunek	Fasetowana forma Symbol Wythoff Diagram Coxetera	Figura wierzchołka
	Dwunastościan dwunastokątny 3 | 5/3 5 lub	(5,5 / 3) 3
	Mały dwuigonalny dwudziestościan sześciokątny 3 | 5/2 3 lub	(3,5 / 2) 3
	Wielki dwuigonalny dwudziestośdekościan 3/2 | 3 5 lub	((3.5) 3 ) / 2

Na płaszczyźnie euklidesowej sekwencja hemipoliedrów jest kontynuowana z następującymi czterema nachyleniami gwiazd, gdzie apeirogony pojawiają się jako wspomniane wcześniej wielokąty równikowe:

Oryginalna rektyfikowana płytka	Schemat krawędzi	Solidny	Konfiguracja Vertex	Wythoff	Grupa symetrii
Płytki kwadratowe			4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
Trójkątne płytki			(3.∞.3.∞.3.∞) / 2	3/2 | 3 ∞	p6m
Trihexagonal Dachówka			6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

Quasiregular duals

Niektóre autorytety argumentują, że skoro dualności ciał stałych quasi-regularnych mają te same symetrie, to te dualności również powinny być nazwane quasi-regularnymi. Ale nie wszyscy używają tej terminologii. Te duali są przechodnie na krawędziach i ścianach (ale nie na wierzchołkach); są to katalońskie ciała stałe przechodzące przez krawędź . Wypukłe są w odpowiedniej kolejności jak powyżej:

1. Dwunastościan rombowy , z dwoma rodzajami przemiennego wierzchołków, 8 z trzema rombowych twarzy i 6 z czterema rombowych twarze.
2. Trzydziestościan rombowy , z dwoma rodzajami przemiennego wierzchołków, 20 z trzema rombowych twarze, a 12 z pięcioma rombowych twarze.

Ponadto, dzięki dwoistości z ośmiościanem, sześcian , który jest zwykle regularny , można uczynić kwaziregularnym, jeśli naprzemiennym wierzchołkom nada się różne kolory.

Ich konfiguracja lica ma postać V3.n.3.n i diagram Coxetera-Dynkina

Cube V (3,3) 2	Dwunastościan rombowy V (3.4) 2	Trójkąt rombowy V (3.5) 2	Płytka rombowa V (3.6) 2	V (3,7) 2	V (3,8) 2

Te trzy kwaziregularne duali również charakteryzują się rombowymi ścianami.

Ten rombowy wzór jest kontynuowany jako V (3.6) ² , płytki rombowe .

Quasiregular polytopes i plaster miodu

W wyższych wymiarach Coxeter zdefiniował kwaziregularny polytope lub plaster miodu tak, aby miał regularne fasetki i kwaziregularne wierzchołki. Wynika z tego, że wszystkie figury wierzchołków są przystające i że istnieją dwa rodzaje ścianek, które się zmieniają.

W 4-przestrzeni euklidesowej regularne 16-komorowe można również postrzegać jako quasi - regularne jako naprzemienny tesserakt , h {4,3,3}, diagramy Coxetera : = Składający się z naprzemiennych Tetrahedron i Tetrahedron komórek . Jego figura wierzchołkowa to kwaziregularny czworościan (ośmiościan o czworościennej symetrii),.

Jedynym kwaziregularnym plastrem miodu w przestrzeni euklidesowej 3 jest naprzemienny sześcienny plaster miodu , h {4,3,4}, diagramy Coxetera: = , złożony z naprzemiennych komórek tetraedrycznych i oktaedrycznych . Jego figura wierzchołkowa to kwaziregularny sześciokąt ,.

W hiperbolicznej 3-przestrzeni jeden kwaziregularny plaster miodu jest plastrem miodu sześciennym o naprzemiennym rzędzie-5 , h {4,3,5}, diagramy Coxetera: = składający się z naprzemiennych komórek czworościennych i ikosaedrycznych . Jego kształt wierzchołka to kwaziregular icosidodechedron ,. Podobnym parazwartą przemian zamówień 6 sześcienny plastra miodu , H {4,3,6} jest zamiennej strukturze czworościennej i sześciokątne komórki Dachówka z wierzchołka rysunku jest quasiregular trihexagonal płytki ,.

Quasiregular polichora and honeycombs: h {4, p, q}
Przestrzeń	Skończone	Afiniczna	Kompaktowy	Paracompact
Symbol Schläfli	godz. {4,3,3}	godz. {4,3,4}	godz. {4,3,5}	h {4,3,6}	godz. {4,4,3}	godz. {4,4,4}
	${\ Displaystyle \ lewo \ {3, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	${\ displaystyle \ left \ {3, {4 \ atop 3} \ right \}}$	${\ Displaystyle \ lewo \ {3, {5 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	${\ Displaystyle \ lewo \ {3, {6 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	${\ displaystyle \ left \ {4, {4 \ atop 3} \ right \}}$	${\ displaystyle \ left \ {4, {4 \ atop 4} \ right \}}$
Diagram Coxetera	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Wizerunek
Figura wierzchołkowa r {p, 3}

Zwykłe polichory lub plastry miodu w postaci {p, 3,4} lub mogą mieć ich symetrię przeciąć na pół tak jak w formie quasi-regularnej , tworząc naprzemiennie kolorowe komórki {p, 3}. Przypadki te obejmują euklidesową sześciennej strukturze plastra miodu {4,3,4} z sześciennych komórek i zwartą hiperbolicznej {5,3,4} z dodecahedral komórek i parazwartej {6,3,4} nieskończoną sześciokątnych Dachówka komórek. Mają cztery komórki wokół każdej krawędzi, naprzemiennie w 2 kolorach. Ich figury wierzchołkowe to kwaziregularne czworościany, = .

Wspólną figurą wierzchołkową jest kwaziregular czworościan, , tak samo jak zwykły ośmiościan

Zwykłe i quasi-regularne plastry miodu: {p, 3,4} i {p, 3 1,1 }
Przestrzeń	Przestrzeń euklidesowa 4	Przestrzeń euklidesowa 3	3-spacja hiperboliczna
Nazwa	{3,3,4} {3,3 1,1 } =${\ Displaystyle \ lewo \ {3, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } =${\ Displaystyle \ lewo \ {4, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } =${\ Displaystyle \ lewo \ {5, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } =${\ displaystyle \ left \ {6, {3 \ atop 3} \ right \}}$
Diagram Coxetera	=	=	=	=
Wizerunek
Komórki {p, 3}

Podobnie regularne hiperboliczne plastry miodu w postaci {p, 3,6} lub mogą mieć ich symetrię przeciąć na pół tak jak w formie quasi-regularnej , tworząc naprzemiennie kolorowe komórki {p, 3}. Mają sześć komórek wokół każdej krawędzi, naprzemiennie w 2 kolorach. Ich figury wierzchołkowe są quasi-prostokątnymi trójkątnymi płytkami ,.

Wspólną figurą wierzchołka jest quasi-prostokątna trójkątna płytka , =

Jednolite hiperboliczne plastry miodu : {p, 3,6} i {p, 3 ^[3] }

[

• v
• t
• mi

]

Formularz	Paracompact				Niekompaktowy
Nazwa	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞, 3,6} {∞, 3 [3] }
Wizerunek
Komórki	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

Zobacz też

• Chiralny polytop
• Rektyfikacja (geometria)

Uwagi

Bibliografia

• Cromwell, P. Polyhedra , Cambridge University Press (1977).
• Coxeter , Regular Polytopes , (wydanie 3, 1973), wydanie Dover, ISBN  0-486-61480-8 , 2.3 Quasi-Regular Polyhedra. (s. 17), Quasi-regularne plastry miodu s.69

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. "Quasiregular polyhedron" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Jednorodny wielościan" . MathWorld .Quasi-regularne wielościany: (pq) ^r
• George Hart, quasiregular wielościany