Sztywna transformacja - Rigid transformation

W matematyce , A sztywny transformacji (zwany również euklidesowa transformacji lub euklidesowa isometry ) jest geometryczny transformacji z przestrzeni euklidesowej , że zachowuje odległość euklidesową pomiędzy każdą parą punktów.

Transformacje sztywne obejmują rotacje , translacje , odbicia lub ich kombinacje. Niekiedy odbicia wyklucza się z definicji transformacji sztywnej, narzucając, że transformacja zachowuje także ręczność postaci w przestrzeni euklidesowej (odbicie nie zachowałoby ręczności; np. przekształciłoby lewą rękę w prawą). Aby uniknąć niejasności, ta mniejsza klasa transformacji jest znana jako ruchy sztywne lub właściwe transformacje sztywne (nieformalnie znane również jako roto-translacje ). Ogólnie rzecz biorąc, każda właściwa transformacja sztywna może zostać rozłożona jako obrót, po którym następuje translacja, podczas gdy każda transformacja sztywna może zostać rozłożona jako niewłaściwa rotacja, po której następuje translacja (lub jako sekwencja odbić).

Każdy obiekt zachowa ten sam kształt i rozmiar po odpowiedniej sztywnej transformacji.

Wszystkie przekształcenia sztywne są przykładami przekształceń afinicznych . Zbiorem wszystkich (właściwych i niewłaściwych) przekształceń sztywnych jest grupa zwana grupą euklidesową , oznaczana jako E( n ) dla n- wymiarowych przestrzeni euklidesowych. Zbiór właściwych przekształceń sztywnych nazywamy specjalną grupą euklidesową, oznaczoną SE( n ).

W kinematyce , odpowiednich przekształceń sztywny 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej, oznaczoną SE (3) stosuje się do reprezentowania liniowe i kątowe przemieszczenie w sztywnych korpusów . Zgodnie z twierdzeniem Chaslesa każdą sztywną transformację można wyrazić jako przemieszczenie śruby .

Formalna definicja

Sztywna transformacja jest formalnie zdefiniowana jako transformacja, która działając na dowolny wektor v , tworzy transformowany wektor T ( v ) postaci

T ( v ) = R v + t

gdzie R ^T = R ⁻¹ (tzn. R jest transformacją ortogonalną ), a t jest wektorem podającym translację początku.

Właściwa transformacja sztywna ma dodatkowo

det (R) = 1

co oznacza, że R nie wytwarza odbicia, a zatem reprezentuje obrót (przekształcenie ortogonalne zachowujące orientację). Rzeczywiście, gdy macierz transformacji ortogonalnej wytwarza odbicie, jej wyznacznikiem jest -1.

Wzór na odległość

Miara odległości między punktami lub metryka jest potrzebna do potwierdzenia, że ​​transformacja jest sztywna. Odległość euklidesowa formuła B ⁿ jest uogólnieniem twierdzenie Pitagorasa . Wzór podaje odległość do kwadratu między dwoma punktami X i Y jako sumę kwadratów odległości wzdłuż osi współrzędnych, czyli

${\ Displaystyle d (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) ^ {2} = (X_ {1}-Y_ {1}) ^ {2} + (X_ {2}-Y_ {2}) ^ {2}+\dots +(X_{n}-Y_{n})^{2}=(\mathbf {X} -\mathbf {Y} )\cdot (\mathbf {X} -\mathbf {Y} ).}$

gdzie X =(X ₁ , X ₂ , …, X _n ) i Y =(Y ₁ , Y ₂ , …, Y _n ), a kropka oznacza iloczyn skalarny .

Używając tego wzoru na odległość, sztywna transformacja g :R ⁿ →R ⁿ ma własność,

${\ Displaystyle d (g (\ mathbf {X} ), g (\ mathbf {Y} )) ^ {2} = d (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y} ) ^ {2}.}$

Tłumaczenia i przekształcenia liniowe

Tłumaczenie z przestrzeni wektorowej dodaje wektor d do każdego wektora w przestrzeni, co oznacza, że transformacja

g ( v ): v → v + d .

Łatwo pokazać, że jest to sztywna transformacja, pokazując, że odległość między przesuniętymi wektorami jest równa odległości między oryginalnymi wektorami:

${\ Displaystyle d (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} , \ mathbf {w} + \ mathbf {d} ) ^ {2} = (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} - \ mathbf { w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} ) \cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.}$

Transformacji liniowej z przestrzeni wektorowej, L : R ⁿ → R ⁿ , konserwanty liniowej kombinacji ,

${\ Displaystyle L (\ mathbf {V} ) = L (a \ mathbf {v} + b \ mathbf {w} ) = aL (\ mathbf {v} ) + bL (\ mathbf {w}).}$

Przekształcenie liniowe L może być reprezentowane przez macierz, co oznacza

L : v →[L] v ,

gdzie [L] jest macierzą n × n .

Transformacja liniowa jest transformacją sztywną, jeśli spełnia warunek,

${\ Displaystyle d ([L] \ mathbf {v} , [L] \ mathbf {w} ) ^ {2} = d (\ mathbf {v}, \ mathbf {w} ) ^ {2},}$

to znaczy

${\ Displaystyle d ([l] \ mathbf {v}, [l] \ mathbf {w}) ^ {2} = ([l] \ mathbf {v} - [l] \ mathbf {w}) \ cdot ( [L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} - \mathbf {w})).}$

Teraz wykorzystaj fakt, że iloczyn skalarny dwóch wektorów v . w można zapisać jako działanie na macierz v ^T w , gdzie T oznacza transpozycję macierzy, mamy

${\ Displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) ^ {T} [L] ^ { T}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).}$

Zatem transformacja liniowa L jest sztywna, jeśli jej macierz spełnia warunek

${\ Displaystyle [L] ^ {T} [L] = [I]}$

gdzie [I] jest macierzą tożsamości. Macierze spełniające ten warunek nazywane są macierzami ortogonalnymi. Warunek ten w rzeczywistości wymaga, aby kolumny tych macierzy były ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.

Macierze spełniające ten warunek tworzą pod działaniem mnożenia macierzy grupę matematyczną zwaną grupą ortogonalną n×n macierzy i oznaczoną O ( n ).

Obliczyć wyznacznik stanu dla macierzy ortogonalnej do uzyskania

${\ Displaystyle \ det ([L] ^ {T} [L]) = \ det [L] ^ {2} = \ det [I] = 1,}$

co pokazuje, że macierz [L] może mieć wyznacznik +1 lub -1. Macierze ortogonalne z wyznacznikiem -1 są odbiciami, a te z wyznacznikiem +1 są rotacjami. Zauważ, że zbiór macierzy ortogonalnych może być postrzegany jako składający się z dwóch rozmaitości w R ^n×n oddzielonych zbiorem macierzy osobliwych.

Zbiór macierzy rotacji nazywamy specjalną grupą ortogonalną i oznaczamy SO( n ). Jest to przykład grupy Liego, ponieważ ma strukturę rozmaitości.

Bibliografia