Pomiar w mechanice kwantowej - Measurement in quantum mechanics

Część serii artykułów o
Mechanika kwantowa
${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ kapelusz {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Równanie Schrödingera
Wstęp Słowniczek Historia
Tło Mechanika klasyczna Stara teoria kwantowa Notacja biustonosza hamiltonian Ingerencja
Podstawy Komplementarność Dekoherencja Splątanie Poziom energii Pomiar Nielokalizacja Liczba kwantowa Stan Nałożenie Symetria Tunelowanie Niepewność Funkcja falowa  ( zwiń )
Eksperymenty Nierówność Bella Davisson-Germer Podwójna szczelina Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Nierówność Leggetta-Garga Mach-Zehnder Popper Gumka kwantowa  ( opóźniony wybór ) Kot Schrödingera Stern-Gerlach Opóźniony wybór Wheelera
Preparaty Przegląd Heisenberg Interakcja Matryca Przestrzeń fazowa Schrödinger Suma nad historiami (całka po ścieżce)
Równania Dirac Klein-Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretacje Przegląd Bayesowski Spójne historie Kopenhaga de Broglie-Bohm Ensemble Ukryta zmienna Wiele-światów Upadek celu Logika kwantowa Relacyjny Transakcyjny
Zaawansowane tematy Relatywistyczna mechanika kwantowa Kwantowa teoria pola Informatyka kwantowa Obliczenia kwantowe Chaos kwantowy Matryca gęstości Teoria rozproszenia Kwantowa mechanika statystyczna Uczenie maszynowe kwantowe
Naukowcy Aharonov dzwon Blacketta Bloch Bohm Bohr Urodzić się Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everetta Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordania Kramer Pauli owieczka Lando Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Ramana Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wiedeń Wigner Zeemana Zeilinger
v T mi

W mechaniki kwantowej , A Pomiar jest testowania lub manipulowanie systemem fizycznych uzyskując wynik liczbowy. Przewidywania fizyki kwantowej są generalnie probabilistyczne . Narzędzia matematyczne do przewidywania możliwych wyników pomiarów zostały opracowane w XX wieku i wykorzystują algebrę liniową i analizę funkcjonalną .

Fizyka kwantowa okazała się empirycznym sukcesem i ma szerokie zastosowanie. Jednak na bardziej filozoficznym poziomie toczą się debaty na temat znaczenia pojęcia pomiaru.

Formalizm matematyczny

„Obserwable” jako operatory samosprzężone

W mechanice kwantowej każdy układ fizyczny jest powiązany z przestrzenią Hilberta , której każdy element jest funkcją falową, która reprezentuje możliwy stan układu fizycznego. Podejście skodyfikowane przez Johna von Neumanna reprezentuje pomiar układu fizycznego przez samosprzężony operator na przestrzeni Hilberta, określanej jako „obserwabilna”. Te obserwaby pełnią rolę wielkości mierzalnych znanych z fizyki klasycznej: położenie, pęd , energia , moment pędu i tak dalej. Wymiar przestrzeni Hilberta może być nieskończona, jak to jest w przestrzeni funkcji kwadratu zabudowy na linii, która jest wykorzystywana do określenia fizyki kwantowej ciągłego stopniu swobody. Alternatywnie, przestrzeń Hilberta może być skończenie wymiarowa, jak ma to miejsce w przypadku spinowych stopni swobody. Wiele ujęć tej teorii skupia się na przypadku skończenie wymiarowym, ponieważ matematyka, która jest w tym zastosowana, jest nieco mniej wymagająca. Rzeczywiście, teksty wprowadzające do fizyki dotyczące mechaniki kwantowej często pomijają matematyczne szczegóły techniczne, które pojawiają się dla obserwabli o wartościach ciągłych i nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta, takich jak rozróżnienie między operatorami ograniczonymi i nieograniczonymi ; pytania o zbieżność (czy granica ciągu elementów przestrzeni Hilberta również należy do przestrzeni Hilberta), egzotyczne możliwości dla zbiorów wartości własnych, jak zbiory Cantora ; i tak dalej. Zagadnienia te można zadowalająco rozwiązać za pomocą teorii spektralnej ; niniejszy artykuł będzie ich unikać, gdy tylko będzie to możliwe.

Pomiar projekcyjny

Te wektory o Neumanna zaobserwowania tworzą nagłówek ortonormalną bazowych do przestrzeni Hilberta, a każdy możliwy wynik tego pomiaru odpowiada jednemu wektorów tworzących podstawę. Operator gęstości jest operatorem dodatnim półokreśloną w przestrzeni Hilberta, którego przebieg jest równa 1. Do każdego pomiaru, które można określić, rozkład prawdopodobieństwa dla wyników tego pomiaru może być obliczony przez operatora gęstości. Procedurą tego jest reguła Borna , która stwierdza, że

${\ Displaystyle P (x_ {i}) = \ operatorname {tr} (\ Pi _ {i} \ rho)}$

gdzie jest operatorem gęstość i jest operatorem występ do wektora podłożu odpowiednim do wyniku pomiaru . Średnia wartości własnych obserwowalnych von Neumanna, ważona prawdopodobieństwami według reguły Borna, jest wartością oczekiwaną tej obserwowalnej. W przypadku obserwowalnego , wartość oczekiwana przy danym stanie kwantowym wynosi ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ Pi _ {i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ nazwa operatora {tr} (A \ rho).}$

Operator gęstości, który jest rzutem rzędu 1, jest znany jako czysty stan kwantowy, a wszystkie stany kwantowe, które nie są czyste, są określane jako mieszane . Czyste stany są również znane jako funkcje falowe . Przypisanie czystego stanu do systemu kwantowego implikuje pewność wyniku jakiegoś pomiaru w tym systemie (tj. dla pewnego wyniku ). Każdy stan mieszany można zapisać jako wypukłą kombinację stanów czystych, ale nie w unikalny sposób . Przestrzeń stanu układu kwantowego jest zbiór wszystkich stanów, czystych i mieszanych, które mogą być przypisane do niego. ${\ Displaystyle P (x) = 1}$${\displaystyle x}$

Reguła Borna wiąże prawdopodobieństwo z każdym wektorem jednostkowym w przestrzeni Hilberta w taki sposób, że prawdopodobieństwa te sumują się do 1 dla dowolnego zbioru wektorów jednostkowych zawierających bazę ortonormalną. Co więcej, prawdopodobieństwo związane z wektorem jednostkowym jest funkcją operatora gęstości i wektorem jednostkowym, a nie dodatkowych informacji, takich jak wybór podstawy, w którą ten wektor ma być osadzony. Twierdzenie Gleasona ustala odwrotnie: wszystkie przypisania prawdopodobieństw do wektory jednostkowe (lub równoważnie do operatorów, które na nie rzutują), które spełniają te warunki, przyjmują formę zastosowania reguły Borna do pewnego operatora gęstości.

Pomiar uogólniony (POVM)

W analizie funkcjonalnej i teorii pomiarów kwantowych miara o wartości dodatniej operatora (POVM) jest miarą, której wartości są dodatnimi operatorami półokreślonymi na przestrzeni Hilberta . POVM są uogólnieniem pomiarów o wartościach projekcyjnych (PVM) i odpowiednio pomiary kwantowe opisane przez POVM są uogólnieniem pomiarów kwantowych opisanych przez PVM. W przybliżeniu, POVM jest dla PVM tym, czym stan mieszany do stanu czystego . Stany mieszane są potrzebne do określenia stanu podsystemu większego systemu (patrz twierdzenie Schrödingera-HJW ); analogicznie POVM są niezbędne do opisania wpływu na podsystem pomiaru projekcyjnego wykonywanego na większym systemie. POVM są najbardziej ogólnym rodzajem pomiaru w mechanice kwantowej i mogą być również wykorzystywane w kwantowej teorii pola . Są szeroko stosowane w dziedzinie informacji kwantowej .

W najprostszym przypadku POVM ze skończoną liczbą elementów działających na skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta POVM jest zbiorem dodatnich półokreślonych macierzy na przestrzeni Hilberta, które sumują się do macierzy tożsamości , ${\ Displaystyle \ {F_ {i} \}}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}$

W mechanice kwantowej element POVM jest powiązany z wynikiem pomiaru tak, że prawdopodobieństwo jego uzyskania przy dokonywaniu pomiaru stanu kwantowego jest podane wzorem${\ Displaystyle F_ {i}}$${\displaystyle i}$ ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Prob}} (i) = \ nazwa operatora {tr} (\ rho F_ {i})}$,

gdzie jest operator śledzenia . Gdy mierzony stan kwantowy jest stanem czystym, wzór ten redukuje się do ${\displaystyle \operatorname {tr}}$${\displaystyle |\psi \rangle}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Prob}} (i) = \ nazwa operatora {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F_ {i}) = \ langle \ psi | F_ {i} | \ psi \ rangle }$.

Zmiana stanu z powodu pomiaru

Pomiar w systemie kwantowym generalnie spowoduje zmianę stanu kwantowego tego systemu. Napisanie POVM nie zapewnia pełnych informacji niezbędnych do opisania tego procesu zmiany stanu. Aby temu zaradzić, podaje się dalsze informacje, rozkładając każdy element POVM na produkt:

${\ Displaystyle E_ {i} = A_ {i} ^ {\ sztylet} A_ {i}.}$

Do operatorów Kraus , nazwana Karl Kraus , dostarczyć specyfikację procesu state-zmiany. Niekoniecznie są one ze sobą połączone, ale produkty są. Jeżeli po wykonaniu pomiaru uzyskano wynik , to stan początkowy jest aktualizowany do ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i} ^ {\ sztylet} A_ {i}}$${\ Displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho \ do \ rho '= {\ Frac {A_ {i} \ rho A_ {i} ^ {\ sztylet}} {\ operatorname {Prob} (i)}} = {\ Frac {A_ {i }\rho A_{i}^{\dagger }}{\nazwa operatora {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Ważnym szczególnym przypadkiem jest reguła Lüdersa, nazwana na cześć Gerharta Lüdersa . Jeśli POVM sam jest PVM, to operatory Krausa można uznać za projektory na przestrzenie własne obserwowalnego von Neumanna:

${\ Displaystyle \ rho \ do \ rho '= {\ Frac {\ Pi _ {i} \ rho \ Pi _ {i}} {\ Operatorname {tr} (\ rho \ Pi _ {i})}}.}$

Jeśli stan początkowy jest czysty, a rzutniki mają rangę 1, można je zapisać jako rzutniki odpowiednio na wektorach i . Formuła upraszcza się w ten sposób do ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ Pi _ {i}}$${\displaystyle |\psi \rangle}$${\displaystyle |ja\rangle}$

${\ Displaystyle \ rho = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ do \ rho '= {\ Frac {| i \ rangle \ langle i | \ psi \ rangle \ langle \ psi | ja \ rangle \ langle i | }{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Historycznie było to znane jako „redukcja pakietu falowego” lub „ załamanie funkcji falowej ”. Stan czysty implikuje przewidywanie prawdopodobieństwa 1 dla każdej obserwowalnej von Neumanna, która ma jako wektor własny. Teksty wprowadzające do teorii kwantów często wyrażają to, mówiąc, że jeśli pomiar kwantowy zostanie powtórzony szybko jeden po drugim, ten sam wynik wystąpi za każdym razem. Jest to nadmierne uproszczenie, ponieważ fizyczna implementacja pomiaru kwantowego może obejmować proces taki jak absorpcja fotonu; po pomiarze foton nie istnieje do ponownego pomiaru. ${\displaystyle |ja\rangle}$${\displaystyle |ja\rangle}$

Możemy zdefiniować liniową, zachowującą ślad, całkowicie dodatnią mapę , sumując wszystkie możliwe stany po pomiarze POVM bez normalizacji:

${\ Displaystyle \ rho \ do \ suma _ {i} A_ {i} \ rho A_ {i} ^ {\ sztylet}.}$

Jest to przykład kanału kwantowego i można go interpretować jako wyrażenie zmiany stanu kwantowego, jeśli pomiar zostanie wykonany, ale wynik tego pomiaru zostanie utracony.

Przykłady

Reprezentacja stanów w sferze Blocha (kolor niebieski) i optymalny POVM (kolor czerwony) dla jednoznacznej dyskryminacji stanów kwantowych na stanach i . Zauważ, że na sferze Blocha stany ortogonalne są antyrównoległe.${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | 0 \ rangle }$${\ Displaystyle | \ varphi \ rangle = (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle ) / {\ sqrt {2}}}$

Prototypowym przykładem skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta jest kubit , układ kwantowy, którego przestrzeń Hilberta jest dwuwymiarowa. Czysty stan kubitu można zapisać jako liniową kombinację dwóch ortogonalnych stanów bazowych i ze złożonymi współczynnikami: ${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ alfa | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle }$

Pomiar w bazie da wynik z prawdopodobieństwem i wynik z prawdopodobieństwem , a więc przez normalizację, ${\ Displaystyle (| 0 \ rangle , | 1 \ rangle )}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |\alfa |^{2}}$${\displaystyle |1\rangle}$${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\ Displaystyle | \ alfa | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = 1.}$

Dowolny stan kubitu można zapisać jako kombinację liniową macierzy Pauliego , które stanowią podstawę macierzy samosprzężonych: ${\displaystyle 2\razy 2}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (I + r_ {x} \ sigma _ {x} + r_ {y} \ sigma _ {y} + r_ {z} \ sigma _ {z}\prawda),}$

gdzie liczby rzeczywiste są współrzędnymi punktu w jednostce kuli i ${\ Displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}$

${\ Displaystyle \ Sigma _ {x} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {y} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i-i \ \ i i 0 \ koniec {pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Elementy POVM mogą być reprezentowane w podobny sposób, chociaż ślad elementu POVM nie jest ustalony na 1. Macierze Pauliego są bezśladowe i prostopadłe do siebie w odniesieniu do iloczynu wewnętrznego Hilberta-Schmidta , a więc współrzędne stanu są wartości oczekiwane trzech pomiarów von Neumanna zdefiniowane przez macierze Pauliego. Jeśli taki pomiar zostanie zastosowany do kubitu, to zgodnie z regułą Lüdersa stan zostanie zaktualizowany do wektora własnego tej macierzy Pauliego odpowiadającego wynikowi pomiaru. Wektorami własnymi są stany bazowe i , a miara jest często nazywana miarą w „bazie obliczeniowej”. Po pomiarze na podstawie obliczeniowej, wynikiem lub pomiaru wynosi maksymalnie niepewne. ${\ Displaystyle (r_ {x}, r_ {y}, r_ {z})}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ sigma _ {z}}$${\displaystyle |0\rangle}$${\displaystyle |1\rangle}$${\ Displaystyle \ sigma _ {z}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {x}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {y}}$

Para kubitów tworzy razem system, którego przestrzeń Hilberta jest 4-wymiarowa. Jednym ze znaczących pomiarów von Neumanna w tym systemie jest ten zdefiniowany przez bazę Bella , zbiór czterech maksymalnie splątanych stanów:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} | \ Phi ^ {+} \ rangle & = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ czasami | 0 \ rangle _ {B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}} (|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B }-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Gęstość prawdopodobieństwa wyniku pomiaru położenia przy danym stanie własnym energii oscylatora harmonicznego 1D.${\ Displaystyle P_ {n} (x)}$${\displaystyle |n\rangle}$

Powszechnym i użytecznym przykładem mechaniki kwantowej zastosowanej do ciągłego stopnia swobody jest kwantowy oscylator harmoniczny . System ten jest zdefiniowany przez hamiltonian

${\ Displaystyle {H} = {\ Frac {{p} ^ {2}} {2 m}} + {\ Frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {x} ^ {2}}$

gdzie , operator pędu i operator pozycji są operatorami samosprzężonymi na przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej . Energetyczne stany własne rozwiązują niezależne od czasu równanie Schrödingera : ${\ Displaystyle {H}}$ ${\displaystyle {p}}$ ${\displaystyle {x}}$

${\ Displaystyle {H} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.}$

Można wykazać, że te wartości własne są podane przez

${\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ lewo (n + {\ tfrac {1} {2}} \ po prawej),}$

a te wartości dają możliwe wyniki liczbowe pomiaru energii na oscylatorze. Zbiór możliwych wyników pomiaru pozycji na oscylatorze harmonicznym jest ciągły, a zatem predykcje są określane jako funkcja gęstości prawdopodobieństwa, która podaje prawdopodobieństwo wyniku pomiaru w nieskończenie małym przedziale od do . ${\ Displaystyle P (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$

Historia koncepcji pomiarowej

„Stara teoria kwantowa”

Stara teoria kwantowa to zbiór wyników z lat 1900–1925, które poprzedzają współczesną mechanikę kwantową . Teoria nigdy nie była kompletna ani spójna, lecz była raczej zbiorem heurystycznych poprawek mechaniki klasycznej . Teoria ta jest obecnie rozumiana jako półklasyczne przybliżenie współczesnej mechaniki kwantowej. Wybitne wyniki z tego okresu należą Plancka „obliczenie y z czarnego promieniowania widma, Einstein ” Uzasadnienie s z efektu fotoelektrycznego , Einsteina i Debye'a „praca s na ciepło właściwe ciał stałych, Bohr i van Leeuwen ” s dowód , że fizyki klasycznej nie może stanowić dla diamagnetism model Bohra z atomu wodoru i Arnold sommerfeld „s przedłużenie modelu Bohra obejmować efekty relatywistyczne .

Doświadczenie Sterna-Gerlacha: atomy srebra przemieszczające się w niejednorodnym polu magnetycznym i odchylane w górę lub w dół w zależności od ich spinu; (1) piec, (2) wiązka atomów srebra, (3) niejednorodne pole magnetyczne, (4) wynik oczekiwany klasycznie, (5) wynik obserwowany

Sterna Gerlach eksperyment , zaproponowany w 1921 roku i w 1922 roku realizowane stała prototypowy przykład pomiar kwantowej o dyskretnego zestawu możliwych wyników. W pierwotnym eksperymencie atomy srebra były przesyłane przez przestrzennie zmienne pole magnetyczne, które odbijało je, zanim uderzyły w ekran detektora, taki jak szkiełko. Cząstki o niezerowym momencie magnetycznym są odchylane, pod wpływem gradientu pola magnetycznego , od prostej ścieżki. Ekran pokazuje dyskretne punkty akumulacji, a nie ciągły rozkład, ze względu na ich skwantowany spin .

Przejście do „nowej” teorii kwantowej

Praca Heisenberga z 1925 r. , znana po angielsku jako „ Kwantowa teoretyczna reinterpretacja relacji kinematycznych i mechanicznych ”, zaznaczyła decydujący moment w dojrzewaniu fizyki kwantowej. Heisenberg starał się opracować teorię zjawisk atomowych, która opierałaby się tylko na „obserwowalnych” wielkościach. W tamtym czasie, w przeciwieństwie do późniejszej standardowej prezentacji mechaniki kwantowej, Heisenberg nie uważał położenia elektronu związanego w atomie za „możliwy do zaobserwowania”. Zamiast tego głównymi wielkościami jego zainteresowania były częstotliwości światła emitowanego lub pochłanianego przez atomy.

Na ten okres datuje się zasada niepewności . Często przypisuje się to Heisenbergowi, który wprowadził to pojęcie do analizy eksperymentu myślowego, w którym próbuje się jednocześnie zmierzyć położenie i pęd elektronu . Heisenberg nie podał jednak precyzyjnych matematycznych definicji tego, co oznaczała „niepewność” w tych pomiarach. Dokładne matematyczne stwierdzenie zasady nieoznaczoności pozycja-pęd jest dziełem Kennarda , Pauliego i Weyla , a jego uogólnienie na arbitralne pary nieprzemiennych obserwabli jest dziełem Robertsona i Schrödingera .

Zapisując i dla operatorów samosprzężonych reprezentujących odpowiednio pozycję i pęd, odchylenie standardowe pozycji można zdefiniować jako ${\displaystyle {x}}$${\displaystyle {p}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle {x} ^ {2} \ rangle - \ langle {x} \ rangle ^ {2}}}}$

i podobnie dla rozmachu:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {p} = {\ sqrt {\ langle {p} ^ {2} \ rangle - \ langle {p} \ rangle ^ {2}}}.}$

Relacja niepewności Kennarda-Pauli-Weyla jest

${\ Displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ Frac {\ hbar} {2}}.}$

Ta nierówność oznacza, że ​​żadne przygotowanie cząstki kwantowej nie może implikować jednocześnie precyzyjnych przewidywań dla pomiaru położenia i pomiaru pędu. Nierówność Robertsona uogólnia to na przypadek arbitralnej pary operatorów samosprzężonych i . Komutator z tych dwóch operatorów jest ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle [A, B] = AB-BA,}$

a to zapewnia dolną granicę iloczynu odchyleń standardowych:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {A} \ Sigma _ {B} \ geq \ lewo | {\ Frac {1} {2i}} \ langle [A, B] \ rangle \ prawo | = {\ Frac {1} { 2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Podstawienie w kanonicznej relacji komutacyjnej , wyrażenie po raz pierwszy postulowane przez Maxa Borna w 1925 r., przywraca twierdzenie Kennarda-Pauli-Weyla dotyczące zasady nieoznaczoności. ${\ Displaystyle [{x}, {p}] = ja \ hbar}$

Od niepewności do nieukrytych zmiennych

Istnienie zasady nieoznaczoności w naturalny sposób rodzi pytanie, czy mechanikę kwantową można rozumieć jako przybliżenie do bardziej dokładnej teorii. Czy istnieją „ ukryte zmienne ”, bardziej fundamentalne niż wielkości omawiane w samej teorii kwantowej, których znajomość pozwoliłaby na dokładniejsze przewidywania niż teoria kwantowa? Zbiór wyników, przede wszystkim twierdzenie Bella , wykazał, że szerokie klasy takich teorii o ukrytych zmiennych są w rzeczywistości niezgodne z fizyką kwantową.

Bell opublikował twierdzenie znane teraz pod jego nazwiskiem w 1964, badając głębiej eksperyment myślowy pierwotnie zaproponowany w 1935 przez Einsteina , Podolsky'ego i Rosena . Zgodnie z twierdzeniem Bella, jeśli natura faktycznie działa zgodnie z jakąkolwiek teorią lokalnych zmiennych ukrytych, to wyniki testu Bella będą ograniczone w szczególny, wymierny sposób. Jeśli test Bella jest wykonywany w laboratorium, a wyniki nie są w ten sposób ograniczone, to są one niezgodne z hipotezą, że istnieją lokalne zmienne ukryte. Takie wyniki potwierdzałyby stanowisko, że nie ma sposobu, aby wyjaśnić zjawiska mechaniki kwantowej w kategoriach bardziej fundamentalnego opisu przyrody, który byłby bardziej zgodny z zasadami fizyki klasycznej . W laboratoriach fizycznych przeprowadzono wiele rodzajów testów Bella, często w celu złagodzenia problemów związanych z projektowaniem lub konfiguracją eksperymentów, które w zasadzie mogłyby wpłynąć na ważność wyników wcześniejszych testów Bella. Jest to znane jako „zamykanie luk w testach Bella ”. Do tej pory testy Bella wykazały, że hipoteza lokalnych ukrytych zmiennych jest niezgodna ze sposobem, w jaki zachowują się systemy fizyczne.

Systemy kwantowe jako urządzenia pomiarowe

Zasada nieoznaczoności Robertsona-Schrödingera stanowi, że gdy dwie obserwowalne nie przechodzą, występuje między nimi kompromis w przewidywalności. Twierdzenie Wignera-Arakiego-Yanasa pokazuje inną konsekwencję nieprzemienności: obecność prawa zachowania ogranicza dokładność, z jaką można zmierzyć obserwable, które nie dojeżdżają do zachowanej ilości. Dalsze badania w tej linii doprowadziły do ​​sformułowania informacji skośnej Wignera-Yanasa .

Historycznie, eksperymenty w fizyce kwantowej były często opisywane w terminach półklasycznych. Na przykład spin atomu w eksperymencie Sterna-Gerlacha można traktować jako kwantowy stopień swobody, podczas gdy atom jako poruszający się w polu magnetycznym opisanym przez klasyczną teorię równań Maxwella . Ale urządzenia używane do budowy aparatury eksperymentalnej same w sobie są układami fizycznymi, a więc mechanika kwantowa powinna mieć zastosowanie również do nich. Począwszy od lat pięćdziesiątych Rosenfeld , von Weizsäcker i inni próbowali opracować warunki spójności, które wyrażają się, gdy system kwantowo-mechaniczny może być traktowany jako przyrząd pomiarowy. Jedna z propozycji kryterium dotyczącego tego, kiedy układ stosowany jako część urządzenia pomiarowego może być modelowany półklasycznie, opiera się na funkcji Wignera , czyli na rozkładzie quasi-prawdopodobieństwa, który można traktować jako rozkład prawdopodobieństwa w przestrzeni fazowej w przypadkach, gdy jest on wszędzie nieujemny .

Dekoherencja

Stan kwantowy niedoskonale izolowanego systemu będzie ewoluował, by splątać się ze stanem kwantowym środowiska. W konsekwencji, nawet jeśli stan początkowy systemu jest czysty, stan w późniejszym czasie, odnaleziony poprzez częściowy ślad wspólnego stanu system-otoczenie, będzie mieszany. Zjawisko splątania wywołane interakcjami system-środowisko ma tendencję do przesłaniania bardziej egzotycznych cech mechaniki kwantowej, które system mógłby w zasadzie zamanifestować. Dekoherencja kwantowa, jak znany jest ten efekt, została po raz pierwszy szczegółowo zbadana w latach siedemdziesiątych. (Wcześniejsze dochodzenia w sposób klasyczny fizyka może być pobrany jako granica mechaniki kwantowej zbadał przedmiot niedoskonale systemów wydzielonych, ale rola uwikłania nie zostało w pełni docenione.) Znaczna część wysiłku zaangażowanych w informatyce kwantowej jest uniknięcie szkodliwe skutki dekoherencji.

Dla ilustracji oznaczmy stan początkowy systemu, stan początkowy środowiska oraz hamiltonian określający interakcję system-środowisko. Operator gęstości można przekątnie i zapisać jako liniową kombinację rzutników na jego wektory własne: ${\ Displaystyle \ rho _ {S}}$${\ Displaystyle \ rho _ {E}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ rho _ {E}}$

${\ Displaystyle \ rho _ {E} = \ suma _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |.}$

Wyrażając ewolucję czasu w czasie przez operator unitarny , stan systemu po tej ewolucji to ${\displaystyle t}$${\ Displaystyle U = e ^ {-iHt / \ hbar }}$

${\ Displaystyle \ rho _ {S} '= {\ rm {tr}} _ {E} U \ lewo [\ rho _ {S} \ otimes \ lewo (\ suma _ {i} p_ {i} | \ psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

co ocenia

${\ Displaystyle \ rho _ {S} '= \ suma _ {ij} {\ sqrt {p_ {i}}} \ langle \ psi _ {j} | U | \ psi _ {i} \ rangle \ rho _ { S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Ilości otaczające mogą być identyfikowane jako operatory Krausa, a to definiuje kanał kwantowy. ${\ Displaystyle \ rho _ {S}}$

Określenie formy interakcji między systemem a środowiskiem może ustanowić zestaw „stanów wskaźnika”, stanów dla systemu, które są (w przybliżeniu) stabilne, poza ogólnymi czynnikami fazowymi, w odniesieniu do fluktuacji środowiskowych. Zbiór stanów wskaźnika definiuje preferowaną bazę ortonormalną dla przestrzeni Hilberta systemu.

Informacje i obliczenia kwantowe

Informatyka kwantowa bada, w jaki sposób informatyka i jej zastosowanie jako technologii zależą od zjawisk kwantowo-mechanicznych. Zrozumienie pomiarów w fizyce kwantowej jest ważne dla tej dziedziny na wiele sposobów, z których niektóre zostały tutaj pokrótce omówione.

Pomiar, entropia i rozróżnialność

Von Neumann entropia jest miarą niepewności statystycznej reprezentowana przez stanie kwantowym. Dla macierzy gęstości entropia von Neumanna wynosi ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle S (\ rho ) = - {\ rm {tr}} (\ rho \ log \ rho);}$

pisanie w oparciu o wektory własne, ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho = \ suma _ {i} \ lambda _ {i} | ja \ rangle \ langle ja |,}$

entropia von Neumanna to

${\ Displaystyle S (\ rho) = - \ suma \ lambda _ {i} \ log \ lambda _ {i}.}$

Jest to entropia Shannona zbioru wartości własnych interpretowanych jako rozkład prawdopodobieństwa, a więc entropia von Neumanna jest entropią Shannona zmiennej losowej zdefiniowanej przez pomiar w podstawie własnej . W konsekwencji entropia von Neumanna znika, gdy jest czysta. Entropię von Neumanna można równoważnie scharakteryzować jako minimalną entropię Shannona dla pomiaru przy danym stanie kwantowym , z minimalizacją wszystkich POVM z elementami rangi 1. ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ rho}$

Wiele innych wielkości wykorzystywanych w teorii informacji kwantowej również znajduje motywację i uzasadnienie w zakresie pomiarów. Na przykład odległość śladu między stanami kwantowymi jest równa największej różnicy prawdopodobieństwa, jaką te dwa stany kwantowe mogą sugerować dla wyniku pomiaru:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} | | \ rho - \ sigma | | = \ max _ {0 \ równoważnik e \ równoważnik ja} [{\ rm {tr}} (e \ rho) - { \rm {tr}}(E\sigma)].}$

Podobnie wierność dwóch stanów kwantowych, określona przez

${\ Displaystyle F (\ rho , \ sigma ) = \ lewo (\ nazwa operatora {Tr} {\ sqrt {{\ sqrt {\ rho}} \ sigma {\ sqrt {\ rho}}}} \ po prawej) ^ {2 },}$

wyraża prawdopodobieństwo, że jeden stan zda test na pomyślne przygotowanie drugiego. Odległość śladu wyznacza granice wierności poprzez nierówności Fuchsa-van de Graafa :

${\ Displaystyle 1-{\ sqrt {f (\ rho, \ sigma)}} \ leq {\ frac {1} {2}} | | \ rho - \ sigma | | \ leq {\ sqrt {1-F ( \rho ,\sigma )}}.}$

Obwody kwantowe

Reprezentacja obwodu pomiaru. Pojedyncza linia po lewej stronie oznacza kubit, a dwie linie po prawej stronie reprezentują bit klasyczny.

Układy kwantowe są modelem dla obliczania kwantowej , w którym obliczanie jest sekwencją bramy kwantowej następnie pomiarów. Bramki są odwracalne przemiany na kwantowej mechanicznego analogowych o o N - bitowego rejestru . Ta analogiczna struktura nazywana jest rejestrem n - kubitowym . Pomiary narysowane na schemacie obwodu jako stylizowane tarcze wskazówkowe wskazują, gdzie i jak uzyskuje się wynik z komputera kwantowego po wykonaniu etapów obliczeń. Bez utraty ogólności można pracować ze standardowym modelem obwodu, w którym zbiór bramek to pojedyncze przekształcenia unitarne z pojedynczym kubitem i sterowane bramki NOT na parach kubitów, a wszystkie pomiary są w bazie obliczeniowej.

Obliczenia kwantowe oparte na pomiarach

Obliczenia kwantowe oparte na pomiarach (MBQC) to model obliczeń kwantowych, w którym odpowiedź na pytanie jest, mówiąc nieformalnie, tworzona w akcie pomiaru fizycznego układu pełniącego funkcję komputera.

Tomografia kwantowa

Tomografia stanu kwantowego to proces, w którym na podstawie zestawu danych reprezentujących wyniki pomiarów kwantowych obliczany jest stan kwantowy zgodny z tymi wynikami pomiarów. Nazywa się ją analogicznie do tomografii , rekonstrukcji trójwymiarowych obrazów z pobranych przez nie skrawków, tak jak w tomografii komputerowej . Tomografię stanów kwantowych można rozszerzyć o tomografię kanałów kwantowych, a nawet pomiary.

Metrologia kwantowa

Metrologia kwantowa to wykorzystanie fizyki kwantowej do wspomagania pomiaru wielkości, które ogólnie miały znaczenie w fizyce klasycznej, np. wykorzystywanie efektów kwantowych w celu zwiększenia precyzji, z jaką można zmierzyć długość. Słynnym przykładem jest wprowadzenie do eksperymentu LIGO światła ściśniętego , które zwiększyło jego wrażliwość na fale grawitacyjne .

Wdrożenia laboratoryjne

Zakres procedur fizycznych, do których można zastosować matematykę pomiaru kwantowego, jest bardzo szeroki. We wczesnych latach badanego, procedury laboratoryjne obejmowały rejestrację linii spektralnych , przyciemnianie kliszy fotograficznej, obserwację scyntylacji , znajdowanie śladów w komorach mgłowych i słyszenie trzasków liczników Geigera . Język z tej epoki nadal istnieje, na przykład opis wyników pomiarów w skrócie jako „kliknięcia detektora”.

Doświadczenie Younga jest prototypową ilustracją zakłóceń kwantowej , zazwyczaj opisywana fotony lub elektrony. Pierwszym eksperymentem interferencyjnym, który został przeprowadzony w reżimie, w którym zarówno falopodobne, jak i cząsteczkowe aspekty zachowania fotonów są znaczące, był test GI Taylora w 1909 roku. Taylor użył ekranów z przydymionego szkła do osłabienia światła przechodzącego przez jego aparat, do tego stopnia, że ​​we współczesnym języku tylko jeden foton oświetlałby szczeliny interferometru na raz. Zarejestrował wzory interferencyjne na kliszach fotograficznych; dla najciemniejszego światła wymagany czas ekspozycji wynosił około trzech miesięcy. W 1974 roku włoscy fizycy Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli i Giulio Pozzi przeprowadzili eksperyment z podwójną szczeliną przy użyciu pojedynczych elektronów i lampy telewizyjnej . Ćwierć wieku później zespół z Uniwersytetu Wiedeńskiego przeprowadził eksperyment interferencyjny z buckyballami , w którym buckyballe, które przeszły przez interferometr, zostały zjonizowane przez laser , a następnie jony wywołały emisję elektronów, które z kolei były emisją. wzmacniane i wykrywane przez powielacz elektronów .

Nowoczesne eksperymenty optyki kwantowej mogą wykorzystywać detektory jednofotonowe . Na przykład w „Testie BIG Bell” z 2018 r. kilka zestawów laboratoryjnych używało jednofotonowych diod lawinowych . Inna konfiguracja laboratoryjna wykorzystywała kubity nadprzewodzące . Standardową metodą wykonywania pomiarów kubitów nadprzewodzących jest sprzężenie kubitu z rezonatorem w taki sposób, aby częstotliwość charakterystyczna rezonatora przesuwała się zgodnie ze stanem kubitu, i wykrywanie tego przesunięcia poprzez obserwację reakcji rezonatora na sondę sygnał.

Interpretacje mechaniki kwantowej

Niels Bohr i Albert Einstein , na zdjęciu w domu Paula Ehrenfesta w Leiden (grudzień 1925), toczyli długotrwałą dyskusję kolegialną o to, co mechanika kwantowa implikuje dla natury rzeczywistości.

Pomimo konsensusu wśród naukowców, że fizyka kwantowa jest w praktyce teorią odnoszącą sukcesy, różnice zdań utrzymują się na bardziej filozoficznym poziomie. Wiele debat w dziedzinie znanej jako podstawy kwantowe dotyczy roli pomiaru w mechanice kwantowej. Powtarzające się pytania obejmują, która interpretacja teorii prawdopodobieństwa najlepiej pasuje do prawdopodobieństw obliczonych na podstawie reguły Borna; oraz czy pozorna losowość wyników pomiarów kwantowych jest fundamentalna, czy też jest konsekwencją głębszego procesu deterministycznego . Światopoglądy przedstawiające odpowiedzi na tego typu pytania są znane jako „interpretacje” mechaniki kwantowej; jak kiedyś zażartował fizyk N. David Mermin: „Nowe interpretacje pojawiają się co roku. Żadna nigdy nie znika”.

Głównym problemem w fundamentach kwantowych jest „ problem pomiaru kwantowego ”, chociaż to, jak ten problem jest rozgraniczony i czy powinien być liczony jako jedno pytanie, czy jako wiele oddzielnych kwestii, są tematami spornymi. Szczególnie interesująca jest pozorna rozbieżność między pozornie odrębnymi typami ewolucji w czasie. Von Neumann stwierdził, że mechanika kwantowa zawiera „dwa fundamentalnie różne typy” zmiany stanu kwantowego. Po pierwsze, są to zmiany związane z procesem pomiarowym, a po drugie, istnieje jednolita ewolucja czasu przy braku pomiaru. Pierwsza jest stochastyczna i nieciągła, pisze von Neumann, a druga deterministyczna i ciągła. Ta dychotomia nadała ton znacznie późniejszej debacie. Niektóre interpretacje mechaniki kwantowej uważają, że poleganie na dwóch różnych rodzajach ewolucji w czasie jest niesmaczne, a niejednoznaczność, kiedy należy powoływać się na jeden lub drugi, jest błędem w historycznym sposobie przedstawiania teorii kwantowej. Aby wzmocnić te interpretacje, ich zwolennicy pracowali nad wyprowadzeniem sposobów postrzegania „pomiaru” jako pojęcia drugorzędnego i wydedukowania pozornie stochastycznego efektu procesów pomiarowych jako przybliżeń do bardziej fundamentalnej dynamiki deterministycznej. Nie osiągnięto jednak konsensusu wśród zwolenników prawidłowego sposobu wdrożenia tego programu, aw szczególności tego, jak uzasadnić stosowanie zasady Borna do obliczania prawdopodobieństw. Inne interpretacje traktują stany kwantowe jako informację statystyczną o układach kwantowych, twierdząc tym samym, że nagłe i nieciągłe zmiany stanów kwantowych nie są problematyczne, a jedynie odzwierciedlają aktualizacje dostępnych informacji. Z tego toku myślenia Bell zapytał: " Czyje informacje? Informacje o czym ?" Odpowiedzi na te pytania różnią się wśród zwolenników interpretacji zorientowanych na informacje.

Zobacz też

• Eksperymenty myślowe Einsteina
• Twierdzenie Holevo
• Korekcja błędu kwantowego
• Limit kwantowy
• Logika kwantowa
• Kwantowy efekt Zenona
• Kot Schrödingera
• SKI-POVM

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• John A. Wheeler i Wojciech Hubert Żurek , wyd. (1983). Teoria i pomiary kwantowe . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. Numer ISBN 978-0-691-08316-2.CS1 maint: dodatkowy tekst: lista autorów ( link )
• Vladimir B. Braginsky i Farid Ya. Khalili (1992). Pomiar kwantowy . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-41928-4.
• George S. Greenstein i Arthur G. Zajonc (2006). Wyzwanie kwantowe: nowoczesne badania nad podstawami mechaniki kwantowej (wyd. 2). Numer ISBN 978-0763724702.