Zmienna losowa - Random variable

${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \operatorname {D}}$

${\displaystyle \operatorname {D}}$

Typ mieszany

Miesza Zmienna losowa jest zmienną, której losowa skumulowanego dystrybucja nie jest ani odcinkowo stałego (dyskretną zmienną losową) ani wszędzie stały . Może być zrealizowany jako suma dyskretnej zmiennej losowej i ciągłej zmiennej losowej; w takim przypadku CDF będzie średnią ważoną

Przykład zmiennej losowej typu mieszanego opierałby się na eksperymencie, w którym moneta jest rzucana, a spinner jest obracany tylko wtedy, gdy wynikiem rzutu monetą są reszki. Jeśli wynikiem są ogony, X = -1; w przeciwnym razie X = wartość przędzarki jak w poprzednim przykładzie. Istnieje prawdopodobieństwo 1 ⁄ 2, że ta zmienna losowa będzie miała wartość -1. Inne zakresy wartości miałyby połowę prawdopodobieństwa z ostatniego przykładu.

Najogólniej, każdy rozkład prawdopodobieństwa na linii rzeczywistej jest mieszanką części dyskretnej, części osobliwej i części absolutnie ciągłej; patrz twierdzenie o dekompozycji Lebesgue'a § Udoskonalenie . Część dyskretna jest skoncentrowana na zbiorze policzalnym, ale zbiór ten może być gęsty (jak zbiór wszystkich liczb wymiernych).

Definicja teoretyczna miary

Najbardziej formalna, aksjomatyczna definicja zmiennej losowej obejmuje teorię miary . Ciągłe zmienne losowe definiuje się jako zbiory liczb wraz z funkcjami, które odwzorowują takie zbiory na prawdopodobieństwa. Ze względu na różne trudności (np. paradoks Banacha–Tarskiego ), które pojawiają się, gdy takie zbiory są niewystarczająco ograniczone, konieczne jest wprowadzenie tak zwanej sigma-algebry, aby ograniczyć możliwe zbiory, względem których można zdefiniować prawdopodobieństwa. Zwykle używana jest konkretna taka sigma-algebra, Borel σ-algebra , która pozwala na definiowanie prawdopodobieństw dla dowolnych zbiorów, które można wyprowadzić albo bezpośrednio z ciągłych przedziałów liczb, albo przez skończoną lub przeliczalnie nieskończoną liczbę sum i/ lub przecięcia takich przedziałów.

Definicja teorii miary jest następująca.

Pozwolić być

${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ Displaystyle (E {\ Mathcal {E}})}$

${\ Displaystyle (E {\ Mathcal {E}})}$

${\ Displaystyle X \ dwukropek \ Omega \ do E}$

${\ Displaystyle B \ w {\ matematyczny {E}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle X ^ {-1} (B) \ w {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle X ^ {-1} (B) = \ {\ omega: X (\ omega) \ w B \}}$

${\ Displaystyle B \ w {\ matematyczny {E}}}$

Mówiąc bardziej intuicyjnie, element jest możliwym wynikiem, element jest mierzalnym podzbiorem możliwych wyników, funkcja podaje prawdopodobieństwo każdego takiego mierzalnego podzbioru, reprezentuje zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa (takich jak zbioru liczb rzeczywistych), a członek jest „dobrym” (mierzalnym) podzbiorem (tych, dla których można określić prawdopodobieństwo). Zmienna losowa jest wtedy funkcją od dowolnego wyniku do ilości, tak że wyniki prowadzące do dowolnego użytecznego podzbioru ilości dla zmiennej losowej mają dobrze zdefiniowane prawdopodobieństwo. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {E}}}$${\ Displaystyle E}$

Kiedy jest

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {E}}}$

${\ Displaystyle {\ Mathcal {B}} (E)}$

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle (E {\ Mathcal {E}})}$

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Zmienne losowe o wartościach rzeczywistych

W tym przypadku przestrzeń obserwacji jest zbiorem liczb rzeczywistych. Przypomnijmy, jest przestrzenią prawdopodobieństwa. Dla rzeczywistej przestrzeni obserwacji funkcja jest zmienną losową o wartościach rzeczywistych, jeśli ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ Displaystyle X \ dwukropek \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ {\ omega: X (\ omega ) \ leq r \} \ w {\ mathcal {F}} \ qquad \ forall r \ w \ mathbb {R}}.$

Ta definicja jest szczególnym przypadkiem powyższego, ponieważ zbiór generuje algebrę borelowską na zbiorze liczb rzeczywistych i wystarczy sprawdzić mierzalność na dowolnym zbiorze generującym. Tutaj możemy udowodnić mierzalność na tym zbiorze generującym, wykorzystując fakt, że . ${\ Displaystyle \ {(- \ infty, r]: r \ w \ mathbb {R} \}}$${\ Displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) \ leq r \} = X ^ {-1} ((-\ infty, r])}$

Chwile

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej często charakteryzuje się niewielką liczbą parametrów, które również mają praktyczną interpretację. Na przykład często wystarczy wiedzieć, jaka jest jego „średnia wartość”. Ujmuje to matematyczne pojęcie wartości oczekiwanej zmiennej losowej, oznaczanej , a także nazywanej

${\ Displaystyle \ Operatorname {E} [X]}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {E} [f (X)]}$

${\ Displaystyle f (\ nazwa operatora {E} [X])}$

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {E} [X]}$

${\ Displaystyle X}$

Matematycznie jest to znane jako (uogólniony) problem momentów : dla danej klasy zmiennych losowych znajdź zbiór funkcji takich, że wartości oczekiwane w pełni charakteryzują

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ {f_ {i} \}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} [f_ {i} (X)]}$

${\ Displaystyle X}$

Momenty można definiować tylko dla funkcji zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych (lub o wartościach zespolonych itp.). Jeżeli zmienna losowa sama jest wartością rzeczywistą, to można przyjąć momenty samej zmiennej, które są równoważne momentom funkcji tożsamości zmiennej losowej. Jednak nawet dla zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych można przyjąć momenty funkcji tych zmiennych o wartościach rzeczywistych. Na przykład, na

${\ Displaystyle f (X) = X}$

${\ Displaystyle [X = {\ tekst {zielony}}]}$

${\ Displaystyle X}$

Funkcje zmiennych losowych

Nową zmienną losową Y można zdefiniować, stosując rzeczywistą mierzalną funkcję borelowską do wyników zmiennej losowej o

${\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y = g (X)}$

${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = \ nazwa operatora {P} (g (X) \ równoważnik r).}$

Jeżeli funkcja jest odwracalne (to jest istnieje, gdzie jest jest

${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle h = g ^ {-1}}$

${\ Displaystyle h}$

${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatorname {P} (g (X) \ leq y) = {\ zacząć {przypadki} \ operatorname {P} (X \ leq h (y)) = F_ {X }(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ rosnące}},\\\\\nazwa operatora {P} (X\geq h(y)) =1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ malejący}}.\end{przypadki}}}$

Przy tych samych hipotezach o odwracalności , zakładając również

${\displaystyle g}$

${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} \ bigl (} h (y) {\ bigr)} \ lewo | {\ Frac {dh (y)} {dy}} \ prawej |.}$

Jeśli nie ma odwracalności, ale każdy dopuszcza co najwyżej policzalną liczbę pierwiastków (tj. skończoną lub przeliczalnie nieskończoną liczbę takich, które ), to poprzednią zależność między

${\displaystyle g}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle x_{i}}$

${\ Displaystyle y = g (x_ {i})}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = \ suma _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {-1} (y)) \ lewo | {\ Frac {dg_ {i} ^ {-1 }(y)}{dy}}\prawo|}$

gdzie , zgodnie z

${\ Displaystyle x_ {i} = g_ {i} ^ {-1} (y)}$

${\displaystyle g}$

W teoretycznym, aksjomatycznym podejściu do prawdopodobieństwa miary , jeśli zmienna losowa na i

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle Y = g (X)}$

${\ Displaystyle \ Omega}$

${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle (\ Omega, P)}$

${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, dF_ {X})}$

${\ Displaystyle Y}$

Przykład 1

Niech będzie

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle Y = X ^ {2}}$

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = \ nazwa operatora {P} (X ^ {2} \ równoważnik r).}$

Jeśli , to , więc ${\displaystyle y<0}$${\ Displaystyle P (X ^ {2} \ leq y) = 0}$

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = 0 \ qquad {\ hbox {jeśli}} \ quad r <0.}$

Jeśli , to ${\displaystyle y\geq 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (X ^ {2} \ leq y) = \ operatorname {P} (| X | \ leq {\ sqrt {y}}) = \ operatorname {P} (- {\ sqrt { y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

więc

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} ({\ sqrt {y}}) - F_ {X} (- {\ sqrt {y}}) \ qquad {\ hbox {jeśli}} \ quad y\geq 0.}$

Przykład 2

Załóżmy, że jest to zmienna losowa o skumulowanym rozkładzie ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle F_ {X} (x) = P (X \ leq x) = {\ Frac {1} {(1 + e ^ {-x}) ^ {\ theta}}}}$

gdzie jest ustalonym parametrem. Rozważ zmienną losową Następnie, ${\ Displaystyle \ theta > 0}$${\ Displaystyle Y = \ operatorname {log} (1 + e ^ {-X}).}$

${\ Displaystyle F_ {Y} (y) = P (Y \ leq y) = P (\ operatorname {log} (1 + e ^ {-X}) \ leq y) = P (X \ geq - \ operatorname { log} (e^{y}-1)).\,}$

Ostatnie wyrażenie można obliczyć w postaci skumulowanego rozkładu so ${\displaystyle X,}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} F_ {Y} (y) i = 1-F_ {X} (- \ log (e ^ {y} -1)) \ \ [ 5 pkt] i = 1 - {\ Frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e ^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{wyrównany}}}$

która jest funkcją dystrybucji skumulowanej (CDF) rozkładu wykładniczego .

Przykład 3

Załóżmy, że jest to zmienna losowa o

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {-x ^ {2}/2}.}$

Rozważ zmienną losową Gęstość możemy obliczyć korzystając z powyższego wzoru na zmianę zmiennych: ${\ Displaystyle Y = X ^ {2}.}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = \ suma _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {-1} (y)) \ lewo | {\ Frac {dg_ {i} ^ {-1 }(y)}{dy}}\prawo|.}$

W tym przypadku zmiana nie jest monotoniczna , ponieważ każda wartość ma dwie odpowiadające sobie wartości (jedną dodatnią i ujemną). Jednak ze względu na symetrię obie połówki przekształcą się identycznie, tj. ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ lewo | {\ Frac {dg ^ {-1} (y)} {dy}} \ prawej | .}$

Odwrotna transformacja to

${\ Displaystyle x = g ^ {-1} (y) = {\ sqrt {y}}}$

a jego pochodną jest

${\ Displaystyle {\ Frac {dg ^ {-1} (r)} {dy}} = {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$

Następnie,

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {-y/2} {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y} }}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

Jest to rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody .

Przykład 4

Załóżmy, że jest to zmienna losowa o

${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- (x- \ mu) ^ {2} / (2 \sigma ^{2})}.}$

Rozważ zmienną losową Gęstość możemy obliczyć korzystając z powyższego wzoru na zmianę zmiennych: ${\ Displaystyle Y = X ^ {2}.}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = \ suma _ {i} f_ {X} (g_ {i} ^ {-1} (y)) \ lewo | {\ Frac {dg_ {i} ^ {-1 }(y)}{dy}}\prawo|.}$

W tym przypadku zmiana nie jest monotoniczna , ponieważ każda wartość ma dwie odpowiadające sobie wartości (jedną dodatnią i ujemną). Inaczej niż w poprzednim przykładzie, w tym przypadku jednak nie ma symetrii i musimy obliczyć dwa różne terminy: ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} (g_ {1} ^ {-1} (y)) \ lewo | {\ Frac {dg_ {1} ^ {-1} (y)} { dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\ dobrze|.}$

Odwrotna transformacja to

${\ Displaystyle x = g_ {1,2} ^ {-1} (y) = \ pm {\ sqrt {y}}}$

a jego pochodną jest

${\ Displaystyle {\ Frac {DG_ {1,2} ^ {-1} (r)} {dy}} = \ pm {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$

Następnie,

${\ Displaystyle f_ {Y} (y) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}} (e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu ) ^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

Jest to niecentralny rozkład chi-kwadrat z jednym stopniem swobody .

Niektóre właściwości

• Rozkład prawdopodobieństwa sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest splotem każdego z ich rozkładów.
• Rozkłady prawdopodobieństwa nie są przestrzenią wektorową — nie są zamknięte dla kombinacji liniowych , ponieważ nie zachowują one nieujemności ani całki całkowitej 1 — ale są zamknięte dla kombinacji wypukłej , tworząc w ten sposób wypukły podzbiór przestrzeni funkcji (lub miar ).

Równoważność zmiennych losowych

Istnieje kilka różnych znaczeń, w których zmienne losowe można uznać za równoważne. Dwie zmienne losowe mogą być równe, prawie na pewno równe lub mieć taki sam rozkład.

W porządku rosnącym siły, dokładna definicja tych pojęć równoważności jest podana poniżej.

Równość w dystrybucji

Jeśli przestrzeń próbki jest podzbiorem prostej rzeczywistej, zmienne losowe X i Y mają równy rozkład (oznaczony ), jeśli mają te same funkcje rozkładu: ${\ Displaystyle X {\ stos {d} {=}} Y}$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (X \ leq x) = \ operatorname {P} (Y \ leq x) \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} x.}$

Aby były równe w rozkładzie, zmienne losowe nie muszą być definiowane w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa. Dwie zmienne losowe o równych funkcjach generujących momenty mają ten sam rozkład. Daje to np. użyteczną metodę sprawdzania równości pewnych funkcji niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie (IID) . Jednak funkcja generująca moment istnieje tylko dla rozkładów, które mają zdefiniowaną transformację Laplace'a .

Prawie pewna równość

Dwie zmienne losowe X i Y są

${\ Displaystyle X \; {\ stos {\ tekst {jako}} {=}} \; Y}$

${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (X \ neq Y) = 0.}$

Ze wszystkich praktycznych celów teorii prawdopodobieństwa to pojęcie równoważności jest tak silne, jak rzeczywista równość. Jest powiązany z następującą odległością:

${\ Displaystyle d_ {\ infty} (X, Y) = \ operatorname {ess} \ sup _ {\ omega} | X (\ omega) - Y (\ omega) |,}$

gdzie "ess sup" reprezentuje zasadnicze supremum w sensie teorii miary .

Równość

Wreszcie, dwie zmienne losowe X i Y są równe, jeśli są równe jako funkcje w swojej mierzalnej przestrzeni:

${\ Displaystyle X (\ omega ) = Y (\ omega ) \ qquad {\ hbox {dla wszystkich}} \ omega.}$

To pojęcie jest zazwyczaj najmniej przydatny w teorii prawdopodobieństwa, ponieważ w praktyce i teorii, podstawowa miara przestrzeń z eksperymentu jest wyraźnie charakteryzuje rzadko lub nawet scharakteryzowania.

Konwergencja

Istotnym tematem statystyki matematycznej jest uzyskiwanie wyników zbieżności dla pewnych ciągów zmiennych losowych; na przykład prawo wielkich liczb i centralne twierdzenie graniczne .

Istnieje wiele znaczeń, w których sekwencja zmiennych losowych może zbiegać się w zmienną losową . Zostały one wyjaśnione w artykule dotyczącym

${\ Displaystyle X_ {n}}$

${\ Displaystyle X}$

Zobacz też

Bibliografia

Cytaty w tekście

Literatura

Zewnętrzne linki

• „Zmienna losowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Wprowadzenie do teorii kolejkowania i stochastycznych modeli teletraffic (PDF) , arXiv : 1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), Podstawowe zagadnienia prawdopodobieństwa (PDF)