Splątanie kwantowe -Quantum entanglement

Spontaniczny proces parametrycznej konwersji w dół może podzielić fotony na pary fotonów typu II o wzajemnie prostopadłej polaryzacji.

Splątanie kwantowe to zjawisko fizyczne, które występuje, gdy grupa cząstek jest generowana, oddziałuje lub współdzieli bliskość przestrzenną w taki sposób, że stanu kwantowego każdej cząstki z grupy nie można opisać niezależnie od stanu pozostałych, w tym gdy cząstki są oddzielone dużą odległością. Temat splątania kwantowego leży u podstaw rozbieżności między fizyką klasyczną a kwantową : splątanie jest podstawową cechą mechaniki kwantowej, której brakuje w mechanice klasycznej.

Pomiary właściwości fizycznych, takich jak położenie , pęd , spin i polaryzacja , wykonywane na splątanych cząstkach, mogą w niektórych przypadkach być doskonale skorelowane . Na przykład, jeśli para splątanych cząstek jest generowana w taki sposób, że ich całkowity spin wynosi zero, a jedna cząsteczka ma rotację zgodnie z ruchem wskazówek zegara na pierwszej osi, to spin drugiej cząstki mierzony jest na tej samej osi, okazuje się być w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jednak to zachowanie powoduje pozornie paradoksalne efekty: każdy pomiar właściwości cząstki powoduje nieodwracalne załamanie funkcji falowej tej cząstki i zmianę pierwotnego stanu kwantowego. W przypadku splątanych cząstek takie pomiary wpływają na splątany układ jako całość.

Takie zjawiska były tematem artykułu Alberta Einsteina , Borisa Podolsky'ego i Nathana Rosena z 1935 roku , a wkrótce potem kilku artykułów Erwina Schrödingera , opisujących to, co stało się znane jako paradoks EPR . Einstein i inni uważali takie zachowanie za niemożliwe, ponieważ naruszało lokalny realizm poglądu na przyczynowość (Einstein nazywał to „upiornym działaniem na odległość ”) i argumentowali, że przyjęte sformułowanie mechaniki kwantowej musi być zatem niekompletne.

Później jednak sprzeczne z intuicją przewidywania mechaniki kwantowej zostały zweryfikowane w testach, w których polaryzacja lub spin splątanych cząstek mierzono w oddzielnych miejscach, statystycznie naruszając nierówność Bella . We wcześniejszych testach nie można było wykluczyć, że wynik w jednym punkcie mógł być subtelnie przesłany do odległego punktu, wpływając na wynik w drugiej lokalizacji. Jednak tak zwane testy Bella „bez luk” zostały przeprowadzone, w których lokalizacje były wystarczająco odseparowane, aby komunikacja z prędkością światła zajęła dłużej – w jednym przypadku 10 000 razy dłużej – niż odstęp między pomiarami.

Według niektórych interpretacji mechaniki kwantowej efekt jednego pomiaru pojawia się natychmiast. Inne interpretacje, które nie uwzględniają upadku funkcji falowej , spierają się, że w ogóle istnieje jakikolwiek „efekt”. Jednak wszystkie interpretacje zgadzają się, że splątanie wytwarza korelację między pomiarami i że można wykorzystać wzajemną informację między splątanymi cząstkami, ale jakakolwiek transmisja informacji z prędkościami większymi niż światło jest niemożliwa.

Splątanie kwantowe zostało zademonstrowane eksperymentalnie z fotonami , neutrinami , elektronami , cząsteczkami wielkości kulek Buckyballa , a nawet małymi diamentami. Wykorzystanie splątania w komunikacji , obliczeniach i radarze kwantowym jest bardzo aktywnym obszarem badań i rozwoju.

Historia

Nagłówek artykułu dotyczący paradoksu Einsteina-Podolsky'ego-Rosena (paradoks EPR), w The New York Times z 4 maja 1935 roku .

Nieintuicyjne przewidywania mechaniki kwantowej dotyczące silnie skorelowanych układów zostały po raz pierwszy omówione przez Alberta Einsteina w 1935 roku we wspólnym artykule z Borisem Podolskim i Nathanem Rosenem . W tym badaniu ci trzej sformułowali paradoks Einsteina-Podolsky'ego-Rosena (paradoks EPR), eksperyment myślowy , który miał wykazać, że „ kwantowo-mechaniczny opis rzeczywistości fizycznej podany przez funkcje falowe nie jest kompletny”. Jednak ci trzej naukowcy nie ukuli słowa splątanie ani nie uogólnili szczególnych właściwości rozważanego przez nich stanu. Podążając za artykułem EPR, Erwin Schrödinger napisał list do Einsteina po niemiecku , w którym użył słowa Verschränkung (przetłumaczonego przez niego jako splątanie ) „do opisania korelacji między dwiema cząstkami, które oddziałują, a następnie rozdzielają się, jak w eksperymencie EPR”.

Schrödinger wkrótce potem opublikował przełomowy artykuł definiujący i omawiający pojęcie „uwikłania”. W artykule uznał wagę tej koncepcji i stwierdził: „Nie nazwałbym [splątania] jedną , ale raczej charakterystyczną cechą mechaniki kwantowej, tą, która wymusza całkowite odejście od klasycznych linii myślenia”. Podobnie jak Einstein, Schrödinger był niezadowolony z koncepcji splątania, ponieważ wydawało się, że narusza ona ograniczenie prędkości przesyłania informacji zawarte w teorii względności . Einstein później wyśmiewał się z uwikłania jako „ spukhafte Fernwirkung ” lub „upiorne działanie na odległość ”.

Artykuł EPR wzbudził duże zainteresowanie fizyków, co zainspirowało wiele dyskusji na temat podstaw mechaniki kwantowej (być może najbardziej znanej interpretacji mechaniki kwantowej Bohma ), ale zaowocowało stosunkowo niewielką ilością innych opublikowanych prac. Pomimo zainteresowania, słaby punkt w argumentacji EPR został odkryty dopiero w 1964 roku, kiedy John Stewart Bell udowodnił, że jedno z ich kluczowych założeń, zasada lokalności , zastosowana do rodzaju interpretacji ukrytych zmiennych, na którą liczy EPR, była matematycznie niespójna. z przewidywaniami teorii kwantowej.

W szczególności Bell zademonstrował górną granicę, widoczną w nierówności Bella , dotyczącą siły korelacji, które można wytworzyć w dowolnej teorii zgodnej z lokalnym realizmem , i wykazał, że teoria kwantowa przewiduje naruszenia tej granicy dla pewnych splątanych systemów. Jego nierówność można przetestować eksperymentalnie i przeprowadzono wiele odpowiednich eksperymentów , począwszy od pionierskiej pracy Stuarta Freedmana i Johna Clausera w 1972 roku oraz eksperymentów Alaina Aspecta w 1982 roku. Wczesny przełom eksperymentalny nastąpił dzięki Carlowi Kocherowi, który już w 1967 roku zaprezentował aparat, w którym dwa fotony emitowane kolejno z atomu wapnia okazały się splątane – pierwszy przypadek splątanego światła widzialnego. Obydwa fotony przeszły przez diametralnie ustawione równoległe polaryzatory z większym prawdopodobieństwem niż przewidywano klasycznie, ale z ilościowo zgodnymi korelacjami z obliczeniami mechaniki kwantowej. Wykazał również, że korelacja zmieniała się tylko (jako cosinus kwadrat) kąta między ustawieniami polaryzatora i zmniejszała się wykładniczo wraz z opóźnieniem między emitowanymi fotonami. Aparat Kochera, wyposażony w lepsze polaryzatory, został wykorzystany przez Freedmana i Clausera, którzy mogli potwierdzić zależność cosinus-kwadrat i za jej pomocą zademonstrować naruszenie nierówności Bella dla zbioru stałych kątów. Wszystkie te eksperymenty wykazały raczej zgodność z mechaniką kwantową niż z zasadą lokalnego realizmu.

Przez dziesięciolecia każdy z nich pozostawił otwartą przynajmniej jedną lukę , dzięki której można było zakwestionować wiarygodność wyników. Jednak w 2015 roku przeprowadzono eksperyment, który jednocześnie zamknął luki w detekcji i lokalizacji i został ogłoszony jako „bez luk”; eksperyment ten z pewnością wykluczył dużą klasę teorii lokalnego realizmu. Alain Aspect zauważa, że ​​„luka ustanawiająca niezależność” – którą nazywa „naciąganą”, ale „pozostałą lukę”, której „nie można zignorować” – musi jeszcze zostać zamknięta, a wolna wola/ superdeterminizm luka jest nieusuwalna; mówiąc: „żadnego eksperymentu, tak idealnego, jak jest, nie można powiedzieć, że jest całkowicie pozbawiony luk”.

Prace Bella wskazały na możliwość wykorzystania tych super silnych korelacji jako źródła komunikacji. Doprowadziło to do odkrycia w 1984 r. protokołów dystrybucji kluczy kwantowych , najsłynniejszych BB84 autorstwa Charlesa H. Bennetta i Gillesa Brassarda oraz E91 autorstwa Artura Ekerta . Chociaż BB84 nie używa splątania, protokół Ekerta wykorzystuje naruszenie nierówności Bella jako dowód bezpieczeństwa.

Pojęcie

Znaczenie splątania

System splątany definiuje się jako taki, którego stan kwantowy nie może być uwzględniony jako iloczyn stanów jego lokalnych składników; to znaczy nie są one pojedynczymi cząstkami, lecz są nierozdzielną całością. W splątaniu jeden składnik nie może być w pełni opisany bez uwzględnienia drugiego(ych). Stan układu złożonego jest zawsze wyrażalny jako suma lub superpozycja produktów stanów składników lokalnych; jest uwikłany, jeśli ta suma nie może być zapisana jako pojedynczy termin produktu.

Systemy kwantowe mogą zostać uwikłane w różnego rodzaju interakcje. Aby poznać niektóre sposoby, w jakie można osiągnąć splątanie w celach eksperymentalnych, zobacz sekcję poniżej dotyczącą metod . Splątanie zostaje przerwane, gdy splątane cząstki dekoherują poprzez interakcję ze środowiskiem; na przykład podczas dokonywania pomiaru.

Jako przykład splątania: cząstka subatomowa rozpada się na splątaną parę innych cząstek. Zdarzenia rozpadu podlegają różnym prawom zachowania , w wyniku czego wyniki pomiaru jednej cząstki potomnej muszą być silnie skorelowane z wynikami pomiaru drugiej cząstki potomnej (tak, aby całkowity pęd, pęd kątowy, energia itd. pozostały mniej więcej to samo przed i po tym procesie). Na przykład, cząstka o spinie o zerowym obrocie może rozpaść się na parę cząstek o spinie 1/2. Ponieważ całkowity obrót przed i po tym rozpadzie musi wynosić zero (zachowanie momentu pędu), za każdym razem, gdy mierzy się, że pierwsza cząstka obraca się na jednej osi, zawsze okazuje się, że druga cząstka, mierzona na tej samej osi, obraca się w dół . (Nazywa się to przypadkiem antyskorelowanym spinu; a jeśli wcześniejsze prawdopodobieństwa pomiaru każdego spinu są równe, mówi się, że para jest w stanie singletowym ).

Powyższy wynik może, ale nie musi być odbierany jako zaskakujący. System klasyczny wykazywałby tę samą właściwość, a do tego z pewnością potrzebna byłaby teoria ukrytych zmiennych (patrz poniżej), oparta na zachowaniu momentu pędu zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej. Różnica polega na tym, że klasyczny system ma określone wartości dla wszystkich obserwowalnych przez cały czas, podczas gdy system kwantowy nie. W sensie, który zostanie omówiony poniżej, rozważany tutaj układ kwantowy wydaje się uzyskiwać rozkład prawdopodobieństwa dla wyniku pomiaru spinu wzdłuż dowolnej osi drugiej cząstki po pomiarze pierwszej cząstki. Ten rozkład prawdopodobieństwa różni się na ogół od tego, jaki byłby bez pomiaru pierwszej cząstki. Można to z pewnością uznać za zaskakujące w przypadku przestrzennie oddzielonych splątanych cząstek.

Paradoks

Paradoks polega na tym, że pomiar wykonany na którejkolwiek z cząstek najwyraźniej załamuje stan całego splątanego układu – i robi to natychmiast, zanim jakakolwiek informacja o wyniku pomiaru mogła zostać przekazana drugiej cząstce (zakładając, że informacja nie może podróżować szybciej niż światło ), a tym samym zapewnił "właściwy" wynik pomiaru drugiej części splątanej pary. W interpretacji kopenhaskiej wynikiem pomiaru spinu jednej z cząstek jest zapadnięcie się do stanu, w którym każda cząstka ma określony spin (w górę lub w dół) wzdłuż osi pomiaru. Przyjmuje się, że wynik jest losowy, a prawdopodobieństwo każdej możliwości wynosi 50%. Jeśli jednak oba spiny są mierzone wzdłuż tej samej osi, okazuje się, że są one antyskorelowane. Oznacza to, że wydaje się, że losowy wynik pomiaru wykonanego na jednej cząstce został przekazany do drugiej, aby mogła ona dokonać „właściwego wyboru”, gdy ona również jest mierzona.

Odległość i czas pomiaru można dobrać tak, aby odstęp między dwoma pomiarami był podobny do przestrzeni , a zatem każdy efekt przyczynowy łączący zdarzenia musiałby przemieszczać się szybciej niż światło. Zgodnie z zasadami szczególnej teorii względności żadna informacja nie może podróżować między dwoma takimi zdarzeniami pomiarowymi. Nie można nawet powiedzieć, który z pomiarów był pierwszy. Dla dwóch oddzielonych przestrzenią zdarzeń x 1 i x 2 istnieją klatki inercjalne, w których x 1 jest pierwsze, a inne, w których x 2 jest pierwsze. Dlatego korelacji między tymi dwoma pomiarami nie można wyjaśnić jako jeden pomiar determinujący drugi: różni obserwatorzy nie zgadzaliby się co do roli przyczyny i skutku.

(W rzeczywistości podobne paradoksy mogą powstać nawet bez splątania: pozycja pojedynczej cząstki jest rozłożona w przestrzeni, a dwa szeroko oddalone detektory próbujące wykryć cząstkę w dwóch różnych miejscach muszą natychmiast osiągnąć odpowiednią korelację, aby oba nie wykrywały cząstka.)

Teoria ukrytych zmiennych

Możliwym rozwiązaniem paradoksu jest założenie, że teoria kwantów jest niekompletna, a wynik pomiarów zależy od z góry określonych „zmiennych ukrytych”. Stan mierzonych cząstek zawiera w sobie pewne ukryte zmienne , których wartości skutecznie określają już od momentu rozdzielenia, jakie będą wyniki pomiarów spinów. Oznaczałoby to, że każda cząsteczka niesie ze sobą wszystkie wymagane informacje i nic nie musi być przesyłane z jednej cząsteczki do drugiej w momencie pomiaru. Einstein i inni (patrz poprzedni rozdział) początkowo wierzyli, że jest to jedyne wyjście z paradoksu, a przyjęty opis mechaniki kwantowej (z losowym wynikiem pomiaru) musi być niekompletny.

Naruszenia nierówności Bella

Teorie lokalnych ukrytych zmiennych zawodzą jednak, gdy rozważa się pomiary wirowania splątanych cząstek wzdłuż różnych osi. Jeśli wykonano dużą liczbę par takich pomiarów (na dużej liczbie par cząstek splątanych), to statystycznie, gdyby widok lokalnego realizmu lub ukrytych zmiennych był poprawny, wyniki zawsze spełniałyby nierówność Bella . Szereg eksperymentów wykazało w praktyce, że nierówność Bella nie jest spełniona. Jednak przed 2015 r. wszystkie z nich miały problemy z lukami, które społeczność fizyków uważała za najważniejsze. Gdy pomiary splątanych cząstek są dokonywane w ruchomych relatywistycznych układach odniesienia, w których każdy pomiar (we własnej relatywistycznej ramie czasowej) następuje przed drugim, wyniki pomiarów pozostają skorelowane.

Fundamentalną kwestią związaną z pomiarami wirowania wzdłuż różnych osi jest to, że pomiary te nie mogą mieć określonych wartości w tym samym czasie – są one niezgodne w tym sensie, że maksymalna jednoczesna precyzja tych pomiarów jest ograniczona zasadą niepewności . Jest to sprzeczne z tym, co można znaleźć w fizyce klasycznej, gdzie dowolna liczba właściwości może być mierzona jednocześnie z dowolną dokładnością. Udowodniono matematycznie, że zgodne pomiary nie mogą wykazać korelacji naruszających nierówność Bella, a zatem splątanie jest zjawiskiem zasadniczo nieklasycznym.

Godne uwagi wyniki eksperymentalne potwierdzające splątanie kwantowe

Pierwszy eksperyment, który zweryfikował upiorne działanie Einsteina na odległość lub uwikłanie, został pomyślnie potwierdzony w laboratorium przez Chien-Shiung Wu i kolegę o nazwisku I. Shaknov w 1949 roku i został opublikowany w nowy rok w 1950 roku. korelacje pary fotonów. W eksperymentach w 2012 i 2013 roku powstała korelacja polaryzacyjna pomiędzy fotonami, które nigdy nie współistniały w czasie. Autorzy twierdzili, że wynik ten został osiągnięty poprzez zamianę splątania między dwiema parami splątanych fotonów po zmierzeniu polaryzacji jednego fotonu z wczesnej pary i dowodzi, że nielokalność kwantowa dotyczy nie tylko przestrzeni, ale także czasu.

W trzech niezależnych eksperymentach w 2013 roku wykazano, że klasycznie komunikowane separowalne stany kwantowe mogą być wykorzystywane do przenoszenia stanów splątanych. Pierwszy wolny od luk test Bella odbył się w TU Delft w 2015 r., potwierdzając naruszenie nierówności Bella.

W sierpniu 2014 roku brazylijska badaczka Gabriela Barreto Lemos i jej zespół byli w stanie „robić zdjęcia” obiektów za pomocą fotonów, które nie wchodziły w interakcję z badanymi, ale były splątane z fotonami, które wchodziły w interakcję z takimi obiektami. Lemos z Uniwersytetu Wiedeńskiego jest przekonany, że ta nowa technika obrazowania kwantowego może znaleźć zastosowanie tam, gdzie konieczne jest obrazowanie w słabym świetle, w dziedzinach takich jak obrazowanie biologiczne lub medyczne.

Od 2016 r. różne firmy, takie jak IBM, Microsoft itp., z powodzeniem stworzyły komputery kwantowe i pozwoliły programistom i entuzjastom technologii na otwarte eksperymentowanie z koncepcjami mechaniki kwantowej, w tym ze splątaniem kwantowym.

Tajemnica czasu

Pojawiły się sugestie, aby spojrzeć na koncepcję czasu jako na zjawisko emergentne, które jest efektem ubocznym splątania kwantowego. Innymi słowy, czas jest zjawiskiem splątania, które umieszcza wszystkie równe odczyty zegarów (właściwie przygotowanych zegarów lub dowolnych przedmiotów używanych jako zegary) w tej samej historii. Zostało to po raz pierwszy w pełni sformułowane przez Dona Page'a i Williama Woottersa w 1983 roku. Równanie Wheelera-DeWitta, które łączy ogólną teorię względności i mechanikę kwantową – poprzez całkowite pominięcie czasu – zostało wprowadzone w latach 60. XX wieku i zostało ponownie podjęte w 1983 roku, kiedy Page i Wootters stworzył rozwiązanie oparte na splątaniu kwantowym. Page i Wootters argumentowali, że splątanie można wykorzystać do pomiaru czasu.

Pojawiająca się grawitacja

Na podstawie korespondencji AdS/CFT Mark Van Raamsdonk zasugerował, że czasoprzestrzeń powstaje jako zjawisko emergentne kwantowych stopni swobody, które są splątane i żyją w granicach czasoprzestrzeni. Indukowana grawitacja może wyłonić się z pierwszego prawa splątania.

Nielokalizacja i uwikłanie

W mediach i popularnonauce nielokalność kwantowa jest często przedstawiana jako równoważna ze splątaniem. Chociaż dotyczy to czystych dwudzielnych stanów kwantowych, ogólnie splątanie jest konieczne tylko w przypadku korelacji nielokalnych, ale istnieją mieszane stany splątane, które nie dają takich korelacji. Dobrze znanym przykładem są stany Wernera, które są splątane dla pewnych wartości , ale zawsze można je opisać za pomocą lokalnych ukrytych zmiennych. Wykazano ponadto, że dla dowolnej liczby partii istnieją państwa, które są rzeczywiście uwikłane, ale dopuszczają model lokalny. Wspomniane dowody na istnienie modeli lokalnych zakładają, że w danym momencie dostępna jest tylko jedna kopia stanu kwantowego. Jeśli strony mogą wykonywać lokalne pomiary na wielu kopiach takich stanów, wówczas wiele pozornie lokalnych stanów (np. stany kubitowe Wernera) nie może być już opisanych przez model lokalny. Dotyczy to w szczególności wszystkich stanów destylacyjnych . Otwartą kwestią pozostaje jednak, czy wszystkie uwikłane stany stają się nielokalne przy wystarczającej liczbie kopii.

Krótko mówiąc, uwikłanie państwa dzielonego przez dwie strony jest konieczne, ale niewystarczające, aby państwo to było nielokalne. Należy zauważyć, że splątanie jest częściej postrzegane jako pojęcie algebraiczne, znane jako warunek wstępny dla nielokalności, jak również teleportacji kwantowej i kodowania supergęstego , podczas gdy nielokalność jest definiowana zgodnie ze statystykami eksperymentalnymi i jest znacznie bardziej zajmuje się podstawami i interpretacjami mechaniki kwantowej .

Struktura mechaniczna kwantowa

Poniższe podrozdziały są przeznaczone dla osób z dobrą praktyczną znajomością formalnego, matematycznego opisu mechaniki kwantowej , w tym znajomości formalizmu i ram teoretycznych opracowanych w artykułach: notacja klamrowa i matematyczne sformułowanie mechaniki kwantowej .

Czyste stany

Rozważmy dwa dowolne układy kwantowe A i B , z odpowiednimi przestrzeniami Hilberta H A i H B . Przestrzeń Hilberta układu złożonego jest iloczynem tensorowym

Jeżeli pierwszy układ jest w stanie , a drugi w stanie , stan układu złożonego jest

Stany systemu złożonego, które mogą być reprezentowane w tej postaci, nazywane są stanami separowalnymi lub stanami produktu .

Nie wszystkie stany są stanami separowalnymi (a więc stanami iloczynowymi). Ustal podstawę dla H A i podstawę dla H B . Najbardziej ogólny stan w H AH B ma postać

.

Stan ten jest rozłączny, jeśli istnieją wektory tak, że uleganie i Jest nierozłączny, jeśli dla dowolnych wektorów przynajmniej dla jednej pary współrzędnych mamy Jeśli stan jest nierozłączny, nazywamy go „stanem splątanym”.

Na przykład, biorąc pod uwagę dwa wektory bazowe H A i dwa wektory bazowe H B , poniższy stan jest stanem splątanym:

Jeśli system złożony jest w tym stanie, nie można przypisać ani systemowi A ani systemowi B określonego czystego stanu . Innym sposobem powiedzenia tego jest to, że podczas gdy entropia von Neumanna całego stanu wynosi zero (jak w przypadku każdego czystego stanu), entropia podsystemów jest większa od zera. W tym sensie systemy są „uwikłane”. Ma to specyficzne konsekwencje empiryczne dla interferometrii. Powyższy przykład jest jednym z czterech stanów Bella , które są (maksymalnie) splątanymi czystymi stanami (czystymi stanami przestrzeni H AH B , ale których nie można rozdzielić na czyste stany każdego H A i H B ).

Załóżmy teraz, że Alicja jest obserwatorem systemu A , a Bob jest obserwatorem systemu B. Jeśli w podanym powyżej stanie splątanym Alicja dokonuje pomiaru w podstawie własnej A , możliwe są dwa wyniki, występujące z równym prawdopodobieństwem:

  1. Alicja mierzy 0, a stan systemu spada do .
  2. Alicja mierzy 1, a stan systemu spada do .

Jeśli wystąpi to pierwsze, każdy kolejny pomiar wykonany przez Boba, na tej samej podstawie, zawsze zwróci 1. Jeśli wystąpi to drugie, (Alice mierzy 1), pomiar Boba zwróci 0 z pewnością. W ten sposób system B został zmieniony przez Alice wykonującą lokalny pomiar w systemie A . Pozostaje to prawdą, nawet jeśli systemy A i B są przestrzennie rozdzielone. To jest podstawa paradoksu EPR .

Wynik pomiaru Alicji jest losowy. Alicja nie może zdecydować, do którego stanu ma zwinąć system złożony, a zatem nie może przesyłać informacji do Boba, działając na swoim systemie. W ten sposób zachowana jest przyczynowość w tym konkretnym schemacie. Aby zapoznać się z ogólnym argumentem, zobacz twierdzenie o braku komunikacji .

Zespoły

Jak wspomniano powyżej, stan układu kwantowego jest określony przez wektor jednostkowy w przestrzeni Hilberta. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli mamy mniej informacji o systemie, to nazywamy go „zespołem” i opisujemy go za pomocą macierzy gęstości , która jest macierzą dodatnio-półokreśloną , lub klasą śladu, gdy przestrzeń stanów jest nieskończenie wymiarowa, a ma ślad 1. Ponownie, zgodnie z twierdzeniem spektralnym , taka macierz przyjmuje ogólną postać:

gdzie w i są prawdopodobieństwami o wartościach dodatnich (sumują się do 1), wektory α i są wektorami jednostkowymi, a w przypadku nieskończeniewymiarowym przyjęlibyśmy domknięcie takich stanów w normie śladowej. Możemy zinterpretować ρ jako reprezentujący zespół, w którym w i jest proporcją zespołu, którego stany są . Kiedy stan mieszany ma rangę 1, opisuje zatem „czysty zespół”. Gdy jest mniej niż całkowita informacja o stanie układu kwantowego, do reprezentacji stanu potrzebne są macierze gęstości .

Eksperymentalnie zespół mieszany można zrealizować w następujący sposób. Rozważmy aparat „czarnej skrzynki”, który pluje elektronami w kierunku obserwatora. Przestrzenie Hilberta elektronów są identyczne . Aparat może wytwarzać elektrony, które są w tym samym stanie; w tym przypadku elektrony odbierane przez obserwatora są wtedy czystym zespołem. Jednak aparat mógł wytwarzać elektrony w różnych stanach. Na przykład może wytworzyć dwie populacje elektronów: jedną ze stanem o spinach ustawionych w dodatnim kierunku z , a drugą o stanie ze spinami ustawionymi w ujemnym kierunku y . Generalnie jest to zespół mieszany, ponieważ może istnieć dowolna liczba populacji, z których każda odpowiada innemu stanowi.

Zgodnie z powyższą definicją, dla dwudzielnego układu złożonego, stany mieszane są po prostu macierzami gęstości na H AH B . Oznacza to, że ma formę ogólną

gdzie w i są prawdopodobieństwami o wartościach dodatnich , a wektory są wektorami jednostkowymi. To jest samoprzylepne i pozytywne i ma ślad 1.

Rozszerzając definicję rozdzielności z przypadku czystego, mówimy, że stan mieszany jest rozdzielny, jeśli można go zapisać jako

gdzie w i są prawdopodobieństwami o wartościach dodatnich, a 'i ' są same stanami mieszanymi (operatorami gęstości) odpowiednio w podsystemach A i B. Innymi słowy, stan można rozdzielić, jeśli jest rozkładem prawdopodobieństwa na nieskorelowane stany lub stany produktu. Pisząc macierze gęstości jako sumy czystych zespołów i rozszerzając, możemy bez utraty ogólności przyjąć, że i same w sobie są czystymi zespołami. Wtedy mówi się, że stan jest uwikłany, jeśli nie można go rozdzielić.

Ogólnie rzecz biorąc, ustalenie, czy stan mieszany jest uwikłany, jest uważane za trudne. Wykazano, że ogólny przypadek obustronny jest NP-trudny . Dla przypadków 2 × 2 i 2 × 3 koniecznym i wystarczającym kryterium rozdzielności jest słynny warunek pozytywnej częściowej transpozycji (PPT) .

Matryce o zmniejszonej gęstości

Pomysł macierzy zredukowanej gęstości został wprowadzony przez Paula Diraca w 1930 roku. Rozważmy jak powyżej układy A i B każdy z przestrzenią Hilberta HA , H B . Niech stan układu złożonego będzie

Jak wskazano powyżej, generalnie nie ma możliwości powiązania stanu czystego z układem składowym A . Jednak nadal można powiązać macierz gęstości. Pozwalać

.

który jest operatorem projekcji na ten stan. Stan A jest cząstkowym śladem ρ T nad bazą układu B :

Suma występuje nad i operator tożsamości w . ρ A jest czasami nazywana macierzą zredukowaną gęstości ρ w podsystemie A . Potocznie „prześledzimy” układ B , aby otrzymać zredukowaną macierz gęstości na A .

Na przykład zredukowana macierz gęstości A dla stanu splątanego

omówione powyżej jest

Pokazuje to, że zgodnie z oczekiwaniami macierz o zmniejszonej gęstości dla splątanego czystego zespołu jest zespołem mieszanym. Nie jest również zaskakujące, że macierz gęstości A dla omówionego powyżej stanu czystego produktu to

.

Ogólnie rzecz biorąc, dwudzielny stan czysty ρ jest splątany wtedy i tylko wtedy, gdy jego stany zredukowane są raczej mieszane niż czyste.

Dwie aplikacje, które z nich korzystają

Macierze o zmniejszonej gęstości zostały wyraźnie obliczone w różnych łańcuchach spinowych z unikalnym stanem podstawowym. Przykładem jest jednowymiarowy łańcuch spinowy AKLT : stan podstawowy można podzielić na blok i środowisko. Zredukowana macierz gęstości bloku jest proporcjonalna do rzutnika do zdegenerowanego stanu podstawowego innego hamiltonianu.

Macierz o zmniejszonej gęstości została również oceniona dla łańcuchów spinowych XY , gdzie ma pełny szereg. Wykazano, że w granicy termodynamicznej widmo zredukowanej macierzy gęstości dużego bloku spinów jest w tym przypadku dokładnym ciągiem geometrycznym.

Uwikłanie jako zasób

W teorii informacji kwantowej stany splątane uważane są za „zasób”, czyli coś, co jest kosztowne w produkcji i co pozwala na przeprowadzanie wartościowych przekształceń. Otoczenie, w którym ta perspektywa jest najbardziej ewidentna, to „odległe laboratoria”, tj. dwa systemy kwantowe oznaczone „A” i „B”, na każdym z których można wykonać dowolne operacje kwantowe , ale które nie oddziałują na siebie nawzajem. mechanicznie. Jedyną dozwoloną interakcją jest wymiana klasycznych informacji, co w połączeniu z najogólniejszymi lokalnymi operacjami kwantowymi daje początek klasie operacji zwanej LOCC (operacje lokalne i klasyczna komunikacja). Operacje te nie pozwalają na generowanie stanów splątanych między systemami A i B. Jeśli jednak A i B zaopatrzyć się w zapas stanów splątanych, to razem z operacjami LOCC mogą umożliwić większą klasę przekształceń. Na przykład interakcja między kubitem z A i kubitem z B może zostać zrealizowana poprzez teleportację kubitu A do B, a następnie umożliwienie mu interakcji z kubitem B (co jest teraz operacją LOCC, ponieważ oba kubity znajdują się w laboratorium B) i następnie teleportuje kubit z powrotem do A. W tym procesie wykorzystywane są dwa maksymalnie splątane stany dwóch kubitów. Zatem stany splątane są zasobem, który umożliwia realizację oddziaływań kwantowych (lub kanałów kwantowych) w otoczeniu, w którym dostępne są tylko LOCC, ale są one zużywane w procesie. Istnieją inne zastosowania, w których splątanie może być postrzegane jako zasób, np. prywatna komunikacja czy rozróżnianie stanów kwantowych.

Klasyfikacja splątania

Nie wszystkie stany kwantowe są równie cenne jako zasób. Aby określić ilościowo tę wartość, można użyć różnych miar splątania (patrz poniżej), które przypisują wartość liczbową do każdego stanu kwantowego. Jednak często warto zadowolić się grubszym sposobem porównywania stanów kwantowych. Daje to początek różnym schematom klasyfikacji. Większość klas splątania jest definiowana na podstawie tego, czy stany mogą być konwertowane na inne stany przy użyciu LOCC lub podklasy tych operacji. Im mniejszy zestaw dozwolonych operacji, tym dokładniejsza klasyfikacja. Ważnymi przykładami są:

  • Jeśli dwa stany mogą zostać przekształcone w siebie przez lokalną operację unitarną, mówi się, że należą do tej samej klasy LU . To najlepsza z najczęściej rozważanych klas. Dwa stany w tej samej klasie LU mają taką samą wartość dla miar splątania i taką samą wartość jak zasób w ustawieniu odległych laboratoriów. Istnieje nieskończona liczba różnych klas LU (nawet w najprostszym przypadku dwóch kubitów w stanie czystym).
  • Jeśli dwa stany mogą zostać przekształcone w siebie przez operacje lokalne, w tym pomiary z prawdopodobieństwem większym niż 0, mówi się, że należą one do tej samej „klasy SLOCC” („stochastyczne LOCC”). Jakościowo dwa stany i w tej samej klasie SLOCC są równie potężne (bo mogę przekształcić jeden w drugi, a potem robić to, na co mi pozwala), ale ponieważ transformacje i mogą się udać z różnym prawdopodobieństwem, nie są już równie cenne . Np. dla dwóch czystych kubitów istnieją tylko dwie klasy SLOCC: stany splątane (zawierające zarówno stany Bella (maksymalnie splątane) jak i stany słabo splątane, takie jak ) oraz stany separowalne (tzn. stany produktu, takie jak ).
  • Zamiast rozważać przekształcenia pojedynczych kopii stanu (takiego jak ) można zdefiniować klasy w oparciu o możliwość przekształceń wielu kopii. Np. istnieją przykłady, kiedy jest to niemożliwe przez LOCC, ale jest możliwe. Bardzo ważna (i bardzo zgrubna) klasyfikacja opiera się na właściwości, czy możliwe jest przekształcenie dowolnie dużej liczby kopii stanu w co najmniej jeden czysto splątany stan. Stany, które mają tę właściwość, nazywane są destylowanymi . Te stany są najbardziej użytecznymi stanami kwantowymi, ponieważ przy wystarczającej ich liczbie można je przekształcić (za pomocą lokalnych operacji) w dowolny stan splątany, a tym samym pozwalają na wszystkie możliwe zastosowania. Na początku było zaskoczeniem, że nie wszystkie stany splątane nadają się do destylacji, te, które nie są, nazywane są „ splątanymi związanymi ”.

Inna klasyfikacja splątania opiera się na tym, na co pozwalają A i B obecne w stanie korelacje kwantowe: wyróżnia się trzy podzbiory stanów splątanych: (1) stany nielokalne , które wytwarzają korelacje, których nie można wyjaśnić za pomocą lokalnego ukrytego zmienny model, a tym samym narusza nierówność Bella, (2) stany sterowalne , które zawierają wystarczające korelacje, aby A mógł zmodyfikować („sterować”) przez lokalne pomiary warunkowy stan zredukowany B w taki sposób, że A może udowodnić B, że stan, który posiadają, jest rzeczywiście splątany, i wreszcie (3) te splątane stany, które nie są ani nielokalne, ani sterowalne. Wszystkie trzy zestawy nie są puste.

Entropia

W tej sekcji omówiono entropię stanu mieszanego oraz sposób, w jaki można ją postrzegać jako miarę splątania kwantowego.

Definicja

Wykres entropii von Neumanna Vs wartości własnej dla dwudzielnego 2-poziomowego stanu czystego. Gdy wartość własna ma wartość 0,5, entropia von Neumanna jest maksymalna, odpowiadająca maksymalnemu splątaniu.

W klasycznej teorii informacji H entropia Shannona jest powiązana z rozkładem prawdopodobieństwa , w następujący sposób:

Ponieważ stan mieszany ρ jest rozkładem prawdopodobieństwa w zespole, prowadzi to naturalnie do definicji entropii von Neumanna :

Ogólnie rzecz biorąc, do obliczenia funkcji niewielomianowej, takiej jak log 2 ( ρ ) , używa się rachunku funkcyjnego Borela . Jeśli nieujemny operator ρ działa na skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta i ma wartości własne , log 2 ( ρ ) okazuje się niczym więcej niż operatorem z tymi samymi wektorami własnymi, ale z wartościami własnymi . Entropia Shannona jest zatem:

.

Ponieważ zdarzenie o prawdopodobieństwie 0 nie powinno przyczyniać się do entropii, a biorąc pod uwagę to

przyjęto konwencję 0 log(0) = 0 . Rozciąga się to również na przypadek nieskończenie wymiarowy: jeśli ρ ma rozdzielczość widmową

przyjąć tę samą konwencję przy obliczaniu

Podobnie jak w mechanice statystycznej , im większą niepewność (liczbę mikrostanów) powinien posiadać układ, tym większa entropia. Na przykład entropia dowolnego czystego stanu wynosi zero, co nie jest zaskakujące, ponieważ nie ma niepewności co do układu w stanie czystym. Entropia dowolnego z dwóch podsystemów stanu splątanego omówionych powyżej wynosi log(2) (która może być wykazana jako maksymalna entropia dla stanów mieszanych 2 × 2 ).

Jako miara splątania

Entropia zapewnia jedno narzędzie, które można wykorzystać do ilościowego określenia splątania, chociaż istnieją inne miary splątania. Jeśli cały system jest czysty, entropia jednego podsystemu może być wykorzystana do pomiaru jego stopnia splątania z innymi podsystemami.

W przypadku dwudzielnych stanów czystych entropia stanów zredukowanych von Neumanna jest unikalną miarą splątania w tym sensie, że jest to jedyna funkcja w rodzinie stanów, która spełnia pewne aksjomaty wymagane od miary splątania.

Jest to klasyczny wynik, że entropia Shannona osiąga swoje maksimum przy i tylko przy jednorodnym rozkładzie prawdopodobieństwa {1/ n ,...,1/ n }. Dlatego mówimy, że dwudzielny stan czysty ρH AH B jest stanem maksymalnie splątanym, jeśli stan zredukowany każdego podsystemu ρ jest macierzą diagonalną

Dla stanów mieszanych zredukowana entropia von Neumanna nie jest jedyną rozsądną miarą splątania.

Na marginesie, definicja informacyjno-teoretyczna jest ściśle związana z entropią w sensie mechaniki statystycznej (porównując obie definicje w obecnym kontekście, zwyczajowo ustala się stałą Boltzmanna k = 1 ). Na przykład, z własności Borelowskiego rachunku funkcjonalnego widzimy, że dla dowolnego operatora unitarnego U ,

Rzeczywiście, bez tej własności entropia von Neumanna nie byłaby dobrze zdefiniowana.

W szczególności U może być operatorem ewolucji systemu w czasie, tj.

gdzie H jest hamiltonianem układu. Tutaj entropia pozostaje niezmieniona.

Odwracalność procesu jest związana z wynikającą z tego zmianą entropii, tj. proces jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy pozostawia niezmienną entropię układu. Dlatego marsz strzałki czasu w kierunku równowagi termodynamicznej jest po prostu rosnącym rozprzestrzenianiem się splątania kwantowego. Zapewnia to połączenie między teorią informacji kwantowej a termodynamiką .

Entropia Rényi może być również użyta jako miara splątania.

Środki splątania

Miary splątania określają ilość splątania w (często postrzeganym jako dwuczęściowy) stanie kwantowym. Jak wspomniano powyżej, entropia splątania jest standardową miarą splątania dla stanów czystych (ale nie jest już miarą splątania dla stanów mieszanych). W przypadku stanów mieszanych w literaturze istnieją pewne miary splątania i żadna z nich nie jest standardem.

Większość (ale nie wszystkie) z tych miar splątania redukuje się dla stanów czystych do entropii splątania i są one trudne ( NP-trudne ) do obliczenia.

Kwantowa teoria pola

Twierdzenie Reeha-Schliedera z kwantowej teorii pola jest czasami postrzegane jako analogia kwantowego splątania.

Aplikacje

Splątanie ma wiele zastosowań w teorii informacji kwantowej . Za pomocą splątania można wykonać zadania niemożliwe w innym przypadku.

Do najbardziej znanych zastosowań splątania należą kodowanie supergęste i teleportacja kwantowa .

Większość badaczy uważa, że ​​splątanie jest niezbędne do realizacji obliczeń kwantowych (chociaż niektórzy to kwestionują).

Splątanie jest używane w niektórych protokołach kryptografii kwantowej , ale do udowodnienia bezpieczeństwa QKD przy standardowych założeniach nie wymaga splątania. Wykazano jednak, że niezależne od urządzenia bezpieczeństwo QKD wykorzystuje uwikłanie między partnerami komunikacji.

Stany uwikłane

Istnieje kilka kanonicznych stanów uwikłanych, które często pojawiają się w teorii i eksperymentach.

Dla dwóch kubitów stany Bell

Wszystkie te cztery czyste stany są maksymalnie splątane (zgodnie z entropią splątania ) i tworzą bazę ortonormalną (algebrę liniową) przestrzeni Hilberta dwóch kubitów. Odgrywają one zasadniczą rolę w twierdzeniu Bella .

Dla M>2 kubitów stan GHZ to

co sprowadza się do stanu dzwonka dla . Tradycyjny stan GHZ został zdefiniowany dla . Stany GHZ są czasami rozszerzane na qudits , tj. systemy d zamiast 2 wymiarów.

Również dla M>2 kubitów istnieją ściśnięte stany spinowe , klasa ściśniętych stanów koherentnych spełniających pewne ograniczenia niepewności pomiarów spinu, które z konieczności są splątane. Stany spinu ściśniętego są dobrymi kandydatami do zwiększenia precyzji pomiarów przy użyciu splątania kwantowego.

W przypadku dwóch trybów bozonowych stanem POŁUDNIOWYM jest

Przypomina to stan Bella, z wyjątkiem tego, że kety bazowe 0 i 1 zostały zastąpione przez „ N fotony są w jednym trybie” i „ N fotony są w innym trybie”.

Wreszcie, istnieją również bliźniacze stany Focka dla modów bozonowych, które można utworzyć, wprowadzając stan Focka do dwóch ramion prowadzących do dzielnika wiązki. Są sumą wielokrotności stanów NOON i można je wykorzystać do osiągnięcia granicy Heisenberga.

Dla odpowiednio dobranych miar splątania stany Bell, GHZ i NOON są maksymalnie splątane, natomiast stany spin ściśnięte i bliźniacze stany Focka są tylko częściowo splątane. Stany częściowo splątane są generalnie łatwiejsze do przygotowania eksperymentalnie.

Metody tworzenia splątania

Splątanie jest zwykle tworzone przez bezpośrednie interakcje między cząstkami subatomowymi. Te interakcje mogą przybierać różne formy. Jedną z najczęściej stosowanych metod jest spontaniczna parametryczna konwersja w dół w celu wygenerowania pary fotonów splątanych w polaryzacji. Inne metody obejmują zastosowanie sprzęgacza światłowodowego do ograniczania i mieszania fotonów, fotonów emitowanych z kaskady rozpadu bi-ekscytonu w kropce kwantowej , wykorzystanie efektu Hong-Ou-Mandela itp. W najwcześniejszych testach twierdzenia Bella splątane cząstki zostały wygenerowane przy użyciu kaskad atomowych .

Możliwe jest również tworzenie splątania między systemami kwantowymi, które nigdy nie wchodziły w bezpośrednią interakcję, dzięki zastosowaniu zamiany splątania . Dwie niezależnie przygotowane, identyczne cząstki mogą być również splątane, jeśli ich funkcje falowe tylko częściowo zachodzą na siebie.

Testowanie systemu pod kątem splątania

Macierz gęstości ρ nazywa się separowalną , jeśli można ją zapisać jako wypukłą sumę stanów iloczynowych, a mianowicie

z prawdopodobieństwami. Z definicji stan jest splątany, jeśli nie można go rozdzielić.

Dla systemów 2-Qubit i Qubit-Qutrit (odpowiednio 2 × 2 i 2 × 3) proste kryterium Peresa–Horodeckiego dostarcza zarówno koniecznego, jak i wystarczającego kryterium separowalności, a zatem – nieumyślnie – wykrywania splątania. Jednak w przypadku ogólnym kryterium jest jedynie niezbędne do rozdzielności, ponieważ problem staje się NP-trudny po uogólnieniu. Inne kryteria separowalności obejmują (ale nie ograniczają się do) kryterium rozstępu , kryterium redukcji oraz te oparte na relacjach niepewności. Zobacz ref. do przeglądu kryteriów separowalności w systemach dyskretnych-zmiennych i ref. dla przeglądu technik i wyzwań w eksperymentalnej certyfikacji splątania w systemach dyskretnych-zmiennych.

Numeryczne podejście do problemu proponują Jon Magne Leinaas , Jan Myrheim i Eirik Ovrum w artykule „Geometryczne aspekty splątania”. Leinaasa i in. oferują podejście numeryczne, iteracyjnie dopracowując oszacowany stan rozłączny w kierunku testowanego stanu docelowego i sprawdzając, czy rzeczywiście można osiągnąć stan docelowy. Implementacją algorytmu (wraz z wbudowanym testowaniem kryterialnym Peresa-Horodeckiego ) jest aplikacja webowa „StateSeparator” .

W układach ciągłych zmiennych obowiązuje również kryterium Peresa-Horodeckiego . W szczególności Simon sformułował konkretną wersję kryterium Peresa-Horodeckiego w kategoriach momentów drugiego rzędu operatorów kanonicznych i wykazał, że jest ono konieczne i wystarczające dla stanów -modu Gaussa (patrz: pozornie odmienne, ale zasadniczo równoważne podejście). . Później stwierdzono, że warunek Simona jest również konieczny i wystarczający dla -modowych stanów gaussowskich, ale już nie wystarcza dla -modowych stanów gaussowskich. Warunek Simona można uogólnić, biorąc pod uwagę momenty wyższego rzędu operatorów kanonicznych lub stosując miary entropiczne.

W 2016 roku Chiny uruchomiły pierwszego na świecie kwantowego satelitę komunikacyjnego. Misja Quantum Experiments at Space Scale (QUESS) o wartości 100 milionów dolarów została wystrzelona 16 sierpnia 2016 r. z Centrum Wystrzeliwania Satelitarnego Jiuquan w północnych Chinach o 01:40 czasu lokalnego.

Przez następne dwa lata statek – nazywany „Micius” na cześć starożytnego chińskiego filozofa – będzie demonstrować wykonalność komunikacji kwantowej między Ziemią a kosmosem i testować splątanie kwantowe na niespotykanych dotąd odległościach.

W wydaniu Science z 16 czerwca 2017 r . Yin i in. raport ustanawiający nowy rekord odległości splątania kwantowego wynoszący 1203 km, wykazujący przetrwanie pary dwóch fotonów i naruszenie nierówności Bella, osiągając wycenę CHSH 2,37 ± 0,09, w ściśle określonych warunkach lokalizacyjnych Einsteina, od satelity Micius do baz w Lijian, Yunnan i Delingha, Quinhai, zwiększając wydajność transmisji w porównaniu z wcześniejszymi eksperymentami światłowodowymi o rząd wielkości.

Naturalnie splątane systemy

Powłoki elektronowe atomów wieloelektronowych zawsze składają się ze splątanych elektronów. Prawidłową energię jonizacji można obliczyć tylko biorąc pod uwagę splątanie elektronów.

Fotosynteza

Sugeruje się, że w procesie fotosyntezy splątanie bierze udział w przekazywaniu energii między kompleksami światłoczułymi a centrami reakcji fotosyntezy, gdzie energia każdego zaabsorbowanego fotonu jest zbierana w postaci energii chemicznej. Bez takiego procesu nie da się wytłumaczyć efektywnej konwersji światła na energię chemiczną. Przy użyciu spektroskopii femtosekundowej spójność splątania w kompleksie Fenna-Matthews-Olson została zmierzona przez setki femtosekund (stosunkowo długi czas w tym względzie), potwierdzając tę ​​teorię. Jednak krytyczne badania uzupełniające kwestionują interpretację tych wyników i przypisują zgłoszone sygnatury elektronowej spójności kwantowej dynamice jądrowej w chromoforach lub eksperymentom przeprowadzanym w temperaturach kriogenicznych, a nie fizjologicznych.

Splątanie obiektów makroskopowych

W 2020 roku badacze donieśli o splątaniu kwantowym między ruchem oscylatora mechanicznego wielkości milimetra a odległym układem spinu chmury atomów. Późniejsze prace uzupełniły tę pracę o splątanie kwantowe dwóch oscylatorów mechanicznych.

Splątanie elementów systemów żywych

W październiku 2018 r. fizycy donieśli o splątaniu kwantowym przy użyciu żywych organizmów , szczególnie między cząsteczkami fotosyntezy w żywych bakteriach a skwantowanym światłem .

Żywe organizmy (zielone bakterie siarkowe) były badane jako mediatory do tworzenia splątania kwantowego między inaczej nieoddziałującymi trybami światła, wykazując wysokie splątanie między trybami światła i bakterii, a do pewnego stopnia nawet splątanie w obrębie bakterii.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsze czytanie

Zewnętrzne linki