Twierdzenie Schrödingera-HJW - Schrödinger–HJW theorem

W teorii informacji kwantowej i optyki kwantowej The Schrödingera-HJW twierdzenie jest wynikiem o realizacji mieszanym stanie układu Quantum zespole czystych stanów kwantowych i relacji odpowiadających oczyszczania tych podmiotów gęstości . Twierdzenie nosi imię fizyków i matematyków Erwina Schrödingera , Lane'a P. Hughstona , Richarda Jozsy i Williama Woottersa . Wynik został również znaleziony niezależnie przez Nicolasa Hadjisavvasa, opierając się na pracy Eda Jaynesa , podczas gdy znaczna jego część została również niezależnie odkryta przez N. Davida Mermina . Dzięki skomplikowanej historii, znane jest także różnymi innymi nazwami takimi jak twierdzenia GHJW , z twierdzenia HJW oraz twierdzenia oczyszczania .

Oczyszczanie mieszanego stanu kwantowego

Rozważmy stan mieszany systemu , w którym nie zakłada się , że stany są wzajemnie ortogonalne. Możemy dodać przestrzeń pomocniczą o podstawie ortonormalnej , wtedy stan mieszany można otrzymać jako operator gęstości zredukowanej z czystego stanu dwudzielnego ${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = \ suma _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle}$${\ Displaystyle {\ Mathcal {H}} _ {A}}$${\ Displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$

${\ Displaystyle | \ Psi _ {SA} \ rangle = \ suma _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ _ phi {i} \ rangle | a_ {i} \ rangle.}$

Dokładniej, . Stan nazywa się więc oczyszczeniem . Ponieważ przestrzeń pomocnicza i podstawę można wybrać dowolnie, oczyszczenie stanu mieszanego nie jest wyjątkowe; w rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele oczyszczeń danego stanu mieszanego. ${\ Displaystyle \ rho = \ operatorname {Tr} _ {A} | \ psi _ {SA} \ rangle \ langle \ psi _ {SA} |}$${\ Displaystyle | \ psi _ {SA} \ rangle }$${\ Displaystyle \ rho}$

Twierdzenie Schrödingera-HJW

Rozważ mieszany stan kwantowy z dwiema różnymi realizacjami jako zespół czystych stanów jak i . Tutaj zakłada się, że oba i nie są wzajemnie ortogonalne. Będą dwa odpowiednie oczyszczania odczytu stanu mieszanego w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = \ suma _ {i} p_ {i} | \ phi _ {i} \ rangle \ langle \ phi _ {i} |}$${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = \ suma _ {j} q_ {j} | \ varphi _ {j} \ rangle \ langle \ varphi _ {j} |}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle}$${\ Displaystyle | \ varphi _ {j} \ rangle }$${\ Displaystyle \ rho}$

Oczyszczanie 1: ;${\ Displaystyle | \ psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ suma _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | \ _ phi {i} \ rangle | a_ {i} \ rangle}$

Oczyszczanie 2: .${\ Displaystyle | \ psi _ {SA} ^ {2} \ rangle = \ suma _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {j} \ rangle | b_ {j} \ rangle}$

Zbiory i są dwoma zbiorami baz ortonormalnych odpowiednich przestrzeni pomocniczych. Te dwa oczyszczania różnią się jedynie unitarną transformacją działającą na przestrzeń pomocniczą, a mianowicie istnieje unitarna macierz taka, że . Dlatego , co oznacza, że ​​możemy realizować różne zespoły stanu mieszanego po prostu dokonując różnych pomiarów na systemie oczyszczającym. ${\ Displaystyle \ {| a_ {i} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| b_ {j} \ rangle \}}$${\ Displaystyle U_ {A}}$${\ Displaystyle | \ psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = (\ otimes U_ {A}) | \ psi _ {SA} ^ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle \ textstyle | \ psi _ {SA} ^ {1} \ rangle = \ suma _ {j} {\ sqrt {q_ {j}}} | \ varphi _ {j} \ rangle \ czasami U_ {A} |b_{j}\rangle }$

Bibliografia