Teoria kłamstwa - Lie theory

W matematyce , że matematyk Sophus Lie ( / L ı / Lee ) inicjowane linii badaniu z udziałem włączenia równań różniczkowych , grupy transformacji i kontakcie z kulek , które nazwano teorią Lie . Na przykład ten ostatni temat to geometria kuli Liego . Ten artykuł dotyczy jego podejścia do grup transformacji, które jest jednym z obszarów matematyki , i został opracowany przez Wilhelma Killinga i Élie Cartana .

Podstawą teorii Lie jest mapa wykładnicza odnoszące algebr Liego do grup Lie , która nazywana jest Lie Lie algebra grupy korespondencja . Przedmiot jest częścią geometrii różniczkowej, ponieważ grupy Liego są rozmaitościami różniczkowymi . Grupy Liego ewoluują z tożsamości (1), a wektory styczne do podgrup jednoparametrowych generują algebrę Liego. Struktura grupy Liego jest zawarta w jej algebrze, a struktura algebry Liego jest wyrażona przez systemy pierwiastkowe i dane pierwiastkowe .

Teoria leżą jest szczególnie użyteczny w fizyce matematycznych ponieważ opisano standardowe grupy Transformacja z Galilejczyk grupy , do grupy Lorentza , z grupy Poincarégo i grupy ochronnej czasoprzestrzeni .

Podstawowa teoria kłamstwa Li

Do grupy jednoparametrową to pierwszy przypadek teorii Lie. Kompaktowy przypadek zachodzi poprzez Wzór Eulera w płaszczyźnie zespolonej . Inne grupy jednoparametrowe występują na płaszczyźnie liczbowej typu split-complex jako hiperbola jednostkowa

oraz w liczbie podwójnej płaszczyźnie co linii w tych przypadkach parametry Lie algebra mają nazwy: kąt , hiperboliczny kąta i nachylenia . Kąty te są przydatne do tworzenia rozkładów biegunowych, które opisują podalgebry macierzy rzeczywistych 2 x 2 .

Istnieje klasyczna trójparametrowa grupa Liego i para algebr: kwaterniony o długości jednostki, które można utożsamić z trójkulą . Jego algebra Liego jest podprzestrzenią wektorów kwaternionów . Ponieważ komutator ij − ji = 2k, nawias Liego w tej algebrze jest dwukrotnością iloczynu krzyżowego zwykłej analizy wektorowej .

Kolejny elementarny przykład 3-parametrowy podaje grupa Heisenberga i jej algebra Liego. Standardowe traktowanie teorii Lie często zaczyna się od klasycznych grup .

Historia i zakres

Wczesne wyrażenia teorii Lie można znaleźć w książkach skomponowanych przez Sophusa Lie z Fryderykiem Engelem i Georgiem Scheffersem w latach 1888-1896.

We wczesnych pracach Lie chodziło o skonstruowanie teorii grup ciągłych , uzupełniającej teorię grup dyskretnych, która rozwinęła się w teorii form modularnych w rękach Felixa Kleina i Henri Poincarégo . Początkowe zastosowanie, które Lie miał na myśli, dotyczyło teorii równań różniczkowych . Na modelu teorii Galois i równań wielomianowych kierowała koncepcją teorii zdolnej do ujednolicenia, poprzez badanie symetrii , całego obszaru równań różniczkowych zwyczajnych .

Według historyka Thomasa W. Hawkinsa, to właśnie Élie Cartan uczynił teorię kłamstwa tym, czym jest:

Podczas gdy Lie miał wiele płodnych pomysłów, Cartan był przede wszystkim odpowiedzialny za rozszerzenia i zastosowania swojej teorii, które uczyniły z niej podstawowy element współczesnej matematyki. To on, z pewną pomocą Weyla , rozwinął przełomowe, zasadniczo algebraiczne idee Killinga w teorię struktury i reprezentacji półprostych algebr Liego, która odgrywa tak fundamentalną rolę we współczesnej teorii Liego. I chociaż Lie przewidywał zastosowania swojej teorii do geometrii, to Cartan faktycznie je stworzył, na przykład poprzez swoje teorie przestrzeni symetrycznych i uogólnionych, w tym wszystkie towarzyszące im urządzenia ( ruchome ramy , zewnętrzne formy różniczkowe itp.).

Trzy twierdzenia kłamstwa

W swojej pracy nad grupami transformacji Sophus Lie udowodnił trzy twierdzenia dotyczące grup i algebr, które noszą jego imię. Pierwsze twierdzenie wykazywało podstawy algebry poprzez nieskończenie małe przekształcenia . Drugie twierdzenie wykazywało stałe struktury algebry jako wynik iloczynów komutatorów w algebrze. Trzecie twierdzenie pokazał te stałe są anty-symetryczne i spełniają tożsamość Jacobiego . Jak pisał Robert Gilmore:

Trzy twierdzenia Liego dostarczają mechanizmu do konstruowania algebry Liego związanej z dowolną grupą Liego. Charakteryzują również właściwości algebry Liego. Odwrotności trzech twierdzeń Liego działają na odwrót: dostarczają mechanizmu powiązania grupy Liego z dowolną skończenie wymiarową algebrą Liego ... Twierdzenie Taylora pozwala na skonstruowanie kanonicznej funkcji analitycznej φ(β,α) z Liego algebra. Te siedem twierdzeń — trzy twierdzenia Liego i ich odwrotności oraz twierdzenie Taylora — stanowią zasadniczą równoważność między grupami Liego i algebrami.

Aspekty teorii kłamstwa

Teoria kłamstwa jest często budowana na badaniu klasycznych liniowych grup algebraicznych . Oddziały specjalne obejmują grupy WEYL , grupy Coxeter i budynków . Klasyczny temat został poszerzony o typ Grup kłamstwa .

W 1900 roku David Hilbert zakwestionował teoretyków kłamstwa swoim Piątym Problemem przedstawionym na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu.

Zobacz też

Uwagi i referencje

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne