Równanie różniczkowe - Differential equation
W matematyce równanie różniczkowe jest równaniem, które wiąże jedną lub więcej funkcji i ich pochodnych . W zastosowaniach funkcje ogólnie reprezentują wielkości fizyczne, pochodne reprezentują ich szybkości zmian, a równanie różniczkowe określa zależność między nimi. Takie relacje są powszechne; dlatego równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę w wielu dyscyplinach, w tym inżynierii , fizyce , ekonomii i biologii .
Głównie badanie równań różniczkowych polega na badaniu ich rozwiązań (zestawu funkcji spełniających każde równanie) oraz właściwości ich rozwiązań. Tylko najprostsze równania różniczkowe można rozwiązać za pomocą jawnych formuł; jednak wiele własności rozwiązań danego równania różniczkowego można wyznaczyć bez ich dokładnego obliczania.
Często, gdy wyrażenie w formie zamkniętej dla rozwiązań nie jest dostępne, rozwiązania mogą być aproksymowane numerycznie przy użyciu komputerów. Teoria dynamicznych systemów kładzie nacisk na jakościowej analizy systemów opisanych za pomocą równań różniczkowych, podczas gdy wiele metody numeryczne zostały opracowane w celu określenia roztworów o określonym stopniu dokładności.
Historia
Równania różniczkowe powstały po raz pierwszy wraz z wynalezieniem rachunku różniczkowego przez Newtona i Leibniza . W rozdziale 2 swojej pracy z 1671 r. Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , Isaac Newton wymienił trzy rodzaje równań różniczkowych:
We wszystkich tych przypadkach y jest nieznaną funkcją x (lub x 1 i x 2 ), a f jest daną funkcją.
Te i inne przykłady rozwiązuje za pomocą serii nieskończonych i omawia nieunikalność rozwiązań.
Jacob Bernoulli zaproponował równanie różniczkowe Bernoulliego w 1695 roku. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne postaci
dla których w następnym roku Leibniz uzyskał rozwiązania poprzez jego uproszczenie.
Historycznie problem drgającej struny, takiej jak struna instrumentu muzycznego, był badany przez Jeana le Ronda d'Alemberta , Leonharda Eulera , Daniela Bernoulliego i Josepha-Louisa Lagrange'a . W 1746 d'Alembert odkrył jednowymiarowe równanie falowe , aw ciągu dziesięciu lat Euler odkrył trójwymiarowe równanie falowe.
Równanie Eulera-Lagrange'a zostało opracowane w 1750 przez Eulera Lagrange'a w związku z ich badań nad tautochrone problemu. Jest to problem wyznaczenia krzywej, na której ważona cząstka spadnie do ustalonego punktu w ustalonym czasie, niezależnie od punktu początkowego. Lagrange rozwiązał ten problem w 1755 i wysłał rozwiązanie do Eulera. Obaj dalej rozwinęli metodę Lagrange'a i zastosowali ją do mechaniki , co doprowadziło do sformułowania mechaniki Lagrange'a .
W 1822 Fourier opublikował swoją pracę na temat przepływu ciepła w Theorie analytique de la chaleur (Analityczna teoria ciepła), w której oparł swoje rozumowanie na prawie ochładzania Newtona , a mianowicie, że przepływ ciepła między dwiema sąsiednimi cząsteczkami jest proporcjonalny do niezwykle mała różnica ich temperatur. Książka ta zawierała propozycję Fouriera dotyczącą jego równania ciepła dla przewodzącej dyfuzji ciepła. To równanie różniczkowe cząstkowe jest teraz nauczane przez każdego studenta fizyki matematycznej.
Przykład
W mechanice klasycznej ruch ciała opisuje jego położenie i prędkość wraz ze zmianą wartości czasu. Prawa Newtona pozwalają na dynamiczne wyrażanie tych zmiennych (biorąc pod uwagę położenie, prędkość, przyspieszenie i różne siły działające na ciało) jako równanie różniczkowe dla nieznanej pozycji ciała w funkcji czasu.
W niektórych przypadkach to równanie różniczkowe (nazywane równaniem ruchu ) można rozwiązać w sposób jawny.
Przykładem modelowania rzeczywistego problemu za pomocą równań różniczkowych jest wyznaczenie prędkości kuli spadającej w powietrzu, biorąc pod uwagę tylko grawitację i opór powietrza. Przyspieszenie piłki do ziemi to przyspieszenie grawitacyjne minus opóźnienie spowodowane oporem powietrza. Grawitacja jest uważana za stałą, a opór powietrza można modelować jako proporcjonalny do prędkości piłki. Oznacza to, że przyspieszenie piłki, które jest pochodną jej prędkości, zależy od prędkości (a prędkość zależy od czasu). Znalezienie prędkości w funkcji czasu polega na rozwiązaniu równania różniczkowego i sprawdzeniu jego poprawności.
Rodzaje
Równania różniczkowe można podzielić na kilka typów. Oprócz opisu właściwości samego równania, te klasy równań różniczkowych mogą pomóc w wyborze podejścia do rozwiązania. Powszechnie stosowane rozróżnienia obejmują to, czy równanie jest zwykłe czy częściowe, liniowe czy nieliniowe, jednorodne czy niejednorodne. Ta lista nie jest wyczerpująca; istnieje wiele innych właściwości i podklas równań różniczkowych, które mogą być bardzo przydatne w określonych kontekstach.
Równania różniczkowe zwyczajne
Zwykłe równania różniczkowego ( ODE ) jest równaniem zawierającym nieznaną funkcji jednej zmiennej rzeczywistej lub zespolonej x , jego pochodne i niektórych określonych funkcji X . Nieznana funkcja jest ogólnie reprezentowana przez zmienną (często oznaczaną jako y ), która w związku z tym zależy od x . Tak więc x jest często nazywana zmienną niezależną równania. Termin „ zwykły ” jest używany w przeciwieństwie do terminu równanie różniczkowe cząstkowe , które może dotyczyć więcej niż jednej zmiennej niezależnej.
Liniowe równania różniczkowe to równania różniczkowe, które są liniowe w nieznanej funkcji i jej pochodnych. Ich teoria jest dobrze rozwinięta iw wielu przypadkach można wyrazić ich rozwiązania za pomocą całek .
Większość ODE spotykanych w fizyce ma charakter liniowy. Dlatego większość funkcji specjalnych można zdefiniować jako rozwiązania liniowych równań różniczkowych (patrz funkcja Holonomic ).
Ponieważ ogólnie rozwiązań równania różniczkowego nie można wyrazić za pomocą wyrażenia w formie zamkniętej , metody numeryczne są powszechnie używane do rozwiązywania równań różniczkowych na komputerze.
Równania różniczkowe cząstkowe
Częściowy równanie różniczkowe ( PDE ) jest równanie różniczkowe, które zawiera nieznane wielozmienną funkcje i ich pochodne cząstkowe . (Jest to w przeciwieństwie do równań różniczkowych , które dotyczą funkcji jednej zmiennej lub ich pochodnych). PDE są stosowane do formułowania problemów związanych funkcję wielu zmiennych, i są albo rozwiązane w formie zamkniętej albo wykorzystywane do tworzenia odpowiedniego komputera model .
PDE mogą być używane do opisywania szerokiej gamy zjawisk w przyrodzie, takich jak dźwięk , ciepło , elektrostatyka , elektrodynamika , przepływ płynów , elastyczność czy mechanika kwantowa . Te pozornie odrębne zjawiska fizyczne można sformalizować w podobny sposób w kategoriach PDE. Podobnie jak równania różniczkowe zwyczajne często modelują jednowymiarowe układy dynamiczne , równania różniczkowe cząstkowe często modelują układy wielowymiarowe . Stochastyczne równania różniczkowe cząstkowe uogólniają równania różniczkowe cząstkowe do modelowania losowości .
Nieliniowe równania różniczkowe
Nieliniowe równanie różniczkowe JeSt równanie różniczkowe, które nie jest równaniem liniowym w nieznanej funkcji i jego pochodne (liniowość lub nieliniowość argumentów funkcji nie uważa się tutaj). Istnieje bardzo niewiele metod dokładnego rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych; te, które są znane, zwykle zależą od równania o określonej symetrii . Nieliniowe równania różniczkowe mogą wykazywać bardzo skomplikowane zachowanie w wydłużonych odstępach czasu, charakterystyczne dla chaosu . Nawet podstawowe pytania o istnienie, jednoznaczność i rozszerzalność rozwiązań dla nieliniowych równań różniczkowych, a także o prawidłowe postawienie problemów początkowych i brzegowych dla nieliniowych równań różniczkowych są trudnymi problemami, a ich rozwiązanie w szczególnych przypadkach uważa się za znaczący postęp w dziedzinie matematyki. teoria (por. istnienie i gładkość Naviera-Stokesa ). Jeśli jednak równanie różniczkowe jest poprawnie sformułowaną reprezentacją znaczącego procesu fizycznego, to oczekuje się, że będzie ono miało rozwiązanie.
Równania różniczkowe liniowe często pojawiają się jako przybliżenia równań nieliniowych. Te przybliżenia są ważne tylko w ograniczonych warunkach. Na przykład równanie oscylatora harmonicznego jest przybliżeniem nieliniowego równania wahadła, które jest ważne dla oscylacji o małej amplitudzie (patrz poniżej).
Kolejność równań
Równania różniczkowe są opisane w kolejności określonej wyrazem o najwyższych pochodnych . Równanie zawierające tylko pierwsze pochodne jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu , równanie zawierające drugą pochodną jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu i tak dalej. Równania różniczkowe opisujące zjawiska naturalne prawie zawsze mają w sobie tylko pochodne pierwszego i drugiego rzędu, ale istnieją pewne wyjątki, takie jak równanie cienkowarstwowe , które jest równaniem różniczkowym cząstkowym czwartego rzędu.
Przykłady
W pierwszej grupie przykładów u jest nieznaną funkcją x , a c i ω są stałymi, które mają być znane. Dwie główne klasyfikacje zarówno zwykłe i równań różniczkowych składa rozróżniania liniowych i nieliniowych równań różniczkowych pomiędzy jednorodnych równań różniczkowych i heterogenicznych nich.
- Heterogeniczne równanie różniczkowe zwyczajne o stałym współczynniku liniowym pierwszego rzędu:
- Jednorodne liniowe równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu:
- Jednorodne równanie różniczkowe zwyczajne o stałym współczynniku liniowym drugiego rzędu opisujące oscylator harmoniczny :
- Heterogeniczne nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu:
- Nieliniowe drugiego rzędu (ze względu na funkcję sinus) równanie różniczkowe zwyczajne opisujące ruch wahadła o długości L :
W następnej grupie przykładów nieznana funkcja u zależy od dwóch zmiennych x i t lub x i y .
- Jednorodne liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:
- Jednorodne równanie różniczkowe cząstkowe o stałym współczynniku liniowym drugiego rzędu typu eliptycznego, równanie Laplace'a :
- Jednorodne nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe trzeciego rzędu:
Istnienie rozwiązań
Rozwiązywanie równań różniczkowych nie jest jak rozwiązywanie równań algebraicznych . Nie tylko ich rozwiązania są często niejasne, ale to, czy rozwiązania są unikalne, czy w ogóle istnieją, są również godnymi uwagi obiektami zainteresowania.
W przypadku problemów z wartością początkową pierwszego rzędu twierdzenie o istnieniu Peano podaje jeden zestaw okoliczności, w których istnieje rozwiązanie. Mając dowolny punkt na płaszczyźnie xy, zdefiniuj obszar prostokątny , taki, że i znajduje się we wnętrzu . Jeśli otrzymamy równanie różniczkowe i warunek, że kiedy , to lokalnie istnieje rozwiązanie tego problemu jeśli i są ciągłe na . To rozwiązanie istnieje w pewnym odstępie, a jego środek znajduje się w . Rozwiązanie może nie być wyjątkowe. (Zobacz równanie różniczkowe zwyczajne, aby uzyskać inne wyniki).
Jednak to tylko pomaga nam w problemach z wartością początkową pierwszego rzędu . Załóżmy, że mamy liniowy problem z wartością początkową n-tego rzędu:
takie, że
Dla każdego niezerowego , jeśli i są ciągłe na pewnym przedziale zawierającym , jest unikalny i istnieje.
Pojęcia pokrewne
- Równania różnicowego opóźnienia (DDE) jest równanie funkcji pojedynczej zmiennej, zwykle zwany czas , w którym pochodną funkcji na pewien czas jest podany w odniesieniu do wartości funkcji w dawnych czasach.
- Równanie Integro różnicowego (IDE), to równanie, które łączy aspekty równania różnicowe i z równania .
- Stochastyczne równania różniczkowego (SDE) jest równaniem, w którym nieaktywny jest stochastyczny sposób i równanie obejmuje kilka znanych procesów stochastycznych, na przykład, proces Wienera w przypadku równania dyfuzyjne.
- Stochastyczne równania różniczkowego częściowe (SPDE) jest równanie uogólnia SDEs o procesy hałasu czasoprzestrzeni z zastosowań w dziedzinie teorii kwantową i mechaniki statystycznej .
- Różnica algebraiczna równanie (DAE) jest różnica równanie różniczkowe, a algebraicznych zawierający warunki, podane w postaci utajonego.
Połączenie z równaniami różnicowymi
Teoria równań różniczkowych jest ściśle powiązana z teorią równań różnicowych , w której współrzędne przyjmują tylko wartości dyskretne, a związek obejmuje wartości nieznanej funkcji lub funkcji i wartości na pobliskich współrzędnych. Wiele metod obliczania numerycznych rozwiązań równań różniczkowych lub badania właściwości równań różniczkowych obejmuje aproksymację rozwiązania równania różniczkowego przez rozwiązanie odpowiedniego równania różnicowego.
Aplikacje
Badanie równań różniczkowych to szeroka dziedzina matematyki czystej i stosowanej , fizyki i inżynierii . Wszystkie te dyscypliny zajmują się właściwościami równań różniczkowych różnych typów. Matematyka czysta skupia się na istnieniu i jednoznaczności rozwiązań, natomiast matematyka stosowana kładzie nacisk na rygorystyczne uzasadnienie metod aproksymacji rozwiązań. Równania różniczkowe odgrywają ważną rolę w modelowaniu praktycznie każdego procesu fizycznego, technicznego lub biologicznego, od ruchu ciał niebieskich, przez projektowanie mostów, po interakcje między neuronami. Równania różniczkowe, takie jak te używane do rozwiązywania rzeczywistych problemów, niekoniecznie muszą być bezpośrednio rozwiązywalne, tj. nie mają rozwiązań w postaci zamkniętej . Zamiast tego rozwiązania można aproksymować metodami numerycznymi .
Wiele podstawowych praw fizyki i chemii można sformułować jako równania różniczkowe. W biologii i ekonomii równania różniczkowe są używane do modelowania zachowania złożonych systemów. Matematyczna teoria równań różniczkowych została po raz pierwszy rozwinięta wraz z naukami, w których równania powstały i gdzie wyniki znalazły zastosowanie. Jednak różne problemy, czasem wywodzące się z całkiem odmiennych dziedzin nauki, mogą prowadzić do powstania identycznych równań różniczkowych. Ilekroć tak się dzieje, teorię matematyczną stojącą za równaniami można postrzegać jako jednoczącą zasadę stojącą za różnymi zjawiskami. Jako przykład rozważ propagację światła i dźwięku w atmosferze oraz fal na powierzchni stawu. Każdy z nich może być opisany przez tego samego drugiego rzędu równania różniczkowych cząstkowych , z równania fal , co pozwala nam myśleć światło i dźwięk w postaci fal, podobnie jak znane fal w wodzie. Przewodzenie ciepła, którego teorię opracował Joseph Fourier , jest regulowane przez inne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, równanie ciepła . Okazuje się, że wiele procesów dyfuzji , choć pozornie różnych, opisuje to samo równanie; Black Scholes równanie środków finansowych, na przykład, w odniesieniu do równania ciepła.
Liczba równań różniczkowych, które otrzymały nazwę, w różnych dziedzinach naukowych, świadczy o wadze tematu. Zobacz Lista nazwanych równań różniczkowych .
Oprogramowanie
Niektóre programy CAS mogą rozwiązywać równania różniczkowe. Warto wspomnieć o tych programach CAS i ich poleceniach:
- Klon : dsolve
- Matematyka : DSolve[]
- SageMath : desolve()
- Xcas : desolve(y'=k*y,y)
Zobacz też
- Złożone równanie różniczkowe
- Dokładne równanie różniczkowe
- Funkcjonalne równanie różniczkowe
- Stan początkowy
- Równania całkowe
- Metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych
- Metody numeryczne dla równań różniczkowych cząstkowych
- Twierdzenie Picarda-Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań
- Relacja rekurencyjna , znana również jako „równanie różnicowe”
- Abstrakcyjne równanie różniczkowe
- Układ równań różniczkowych
Bibliografia
Dalsza lektura
- Abbott, P.; Neill, H. (2003). Naucz się rachunku różniczkowego . s. 266-277.
- Blanchard, P.; Devaney, RL ; Sala, GR (2006). Równania różniczkowe . Thompsona.
- Boyce, W.; DiPrima, R.; Meade, D. (2017). Podstawowe równania różniczkowe i zagadnienia brzegowe . Wileya.
- Coddington, EA; Levinson, N. (1955). Teoria równań różniczkowych zwyczajnych . McGraw-Hill.
- Ince, EL (1956). Równania różniczkowe zwyczajne . Dover.
- Johnsona, W. (1913). Traktat o równaniach różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych . John Wiley i Synowie.W zbiorach matematyki historycznej Uniwersytetu Michigan
- Polianina, AD; Zajcew, WF (2003). Podręcznik dokładnych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych (2nd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. Numer ISBN 1-58488-297-2.
- Porter, RI (1978). „XIX równania różniczkowe”. Dalsza analiza elementarna .
- Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Daniela Zwillingera (12 maja 2014). Podręcznik równań różniczkowych . Nauka Elseviera. Numer ISBN 978-1-4832-6396-0.
Zewnętrzne linki
- Multimedia związane z równaniami różniczkowymi w Wikimedia Commons
- Wykłady z równań różniczkowych MIT Open CourseWare Videos
- Notatki online / równania różniczkowe Paul Dawkins, Uniwersytet Lamar
- Równania różniczkowe , matematyka SOS
- Wprowadzenie do modelowania za pomocą równań różniczkowych Wprowadzenie do modelowania za pomocą równań różniczkowych, z uwagami krytycznymi.
- Asystent matematyczny w narzędziu Web Symbolic ODE, przy użyciu Maxima
- Dokładne rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych
- Zbiór modeli ODE i DAE systemów fizycznych Modele MATLAB
- Uwagi na temat Diffy Qs: Differential Equations for Engineers Podręcznik wprowadzający do równań różniczkowych autorstwa Jiri Lebla z UIUC
- Khan Academy Playlista wideo o równaniach różniczkowych Tematy poruszane na pierwszym roku kursu z równań różniczkowych.
- Playlista wideo MathDiscuss na temat równań różniczkowych