Forma modułowa - Modular form

W matematyce , A formę modułową oznacza (kompleks) funkcja analityczna na górnej półpłaszczyźnie spełniających pewien rodzaj wzoru funkcjonalnej w stosunku do działania grupy z grupy modułowej , oraz spełniających warunek wzrostu. Teoria form modularnych należy zatem do analizy złożonej, ale główne znaczenie tej teorii tradycyjnie ma związek z teorią liczb . Formy modułowe pojawiają się w innych dziedzinach, takich jak topologia algebraiczna , pakowanie sfer i teoria strun .

Funkcja modularna to funkcja, która podobnie jak forma modularna jest niezmienna w stosunku do grupy modularnej, ale bez warunku, że f  ( z ) jest holomorficzne w górnej półpłaszczyźnie. Zamiast tego, funkcje modułowe są meromorficzne (to znaczy, są prawie holomorficzne, z wyjątkiem zbioru izolowanych punktów).

Modularna teoria form jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnej teorii form automorficznych i dlatego może być teraz postrzegana jako tylko najbardziej konkretna część bogatej teorii grup dyskretnych .

Ogólna definicja form modułowych

Ogólnie rzecz biorąc, biorąc pod uwagę podgrupę o skończonym indeksie , zwaną grupą arytmetyczną , modułowa forma poziomu i wagi jest funkcją holomorficzną z górnej półpłaszczyzny taką, że spełnione są dwa następujące warunki:

1. ( warunek automorfii ) Dla każdego istnieje równość

2. ( warunek wzrostu ) Dla dowolnego funkcja jest ograniczona do

gdzie:

Ponadto nazywana jest formą guzkową, jeśli spełnia następujący warunek wzrostu:

3. ( warunek cuspid ) Dla dowolnej funkcji jako

Jako sekcje wiązki linii line

Formy modułowe mogą być również interpretowane jako odcinki określonych wiązek liniowych na odmianach modułowych . Dla postaci modułowej poziom i wagę można zdefiniować jako element

gdzie jest kanoniczna wiązka liniowa na krzywej modularnej

Wymiary tych przestrzeni form modułowych można obliczyć za pomocą twierdzenia Riemanna-Rocha . Klasyczne formy modułowe to odcinki wiązki liniowej na stosie modułów krzywych eliptycznych .

Formy modułowe dla SL(2, Z)

Standardowa definicja

Modularna forma wagi k dla grupy modularnej

jest funkcją o wartościach zespolonych f na górnej półpłaszczyźnie H = { zC , Im ( z ) > 0} , spełniającą następujące trzy warunki:

  1. f jest funkcją holomorficzną na H .
  2. Dla dowolnej zH i dowolnej macierzy w SL(2, Z ) jak wyżej mamy:
  3. f musi być holomorficzne, ponieważ zi .

Uwagi:

  • Waga k jest zazwyczaj dodatnią liczbą całkowitą.
  • Dla nieparzystego k , tylko funkcja zero może spełnić drugi warunek.
  • Trzeci warunek jest również sformułowany, mówiąc, że f jest „holomorficzny na wierzchołku”, terminologię wyjaśnioną poniżej.
  • Drugi warunek dla
czyta
odpowiednio. Ponieważ S i T generują grupę modularną SL(2, Z ) , drugi warunek powyżej jest równoważny tym dwóm równaniom.

Definicja w kategoriach krat lub krzywych eliptycznych

Forma modularna może być równoważnie zdefiniowana jako funkcja F ze zbioru krat w C do zbioru liczb zespolonych, który spełnia określone warunki:

  1. Jeśli wziąć pod uwagę kraty Λ = Z α + Z oo generowane przez stały alfa i zmienna Z , wtedy F (X) jest funkcją analityczną z Z .
  2. Jeśli α jest niezerową liczbą zespoloną, a α Λ jest siecią uzyskaną przez pomnożenie każdego elementu Λ przez α , wtedy F ( α Λ) = α k F (Λ) gdzie k jest stałą (zazwyczaj dodatnią liczbą całkowitą) zwana wagą formy.
  3. Wartość bezwzględna z F (Λ) pozostaje ograniczony od góry, o ile wartość bezwzględna najmniejszej niezerowej element X jest ograniczony od 0.

Kluczową ideą w udowodnieniu równoważności tych dwóch definicji jest to, że taka funkcja F jest określona, ​​ze względu na drugi warunek, przez jej wartości na sieciach postaci Z + Z τ , gdzie τH .

Przykłady

Seria Eisenstein

Najprostsze przykłady z tego punktu widzenia to seria Eisenstein . Dla każdej parzystej liczby całkowitej k > 2 definiujemy E k (Λ) jako sumę λ k po wszystkich niezerowych wektorach λ z Λ :

Wtedy E k jest modułową formą wagi k .

Dla Λ = Z + Z τ mamy

i

.

Warunek k > 2 jest potrzebny do zbieżności ; dla nieparzystego k występuje anulowanie pomiędzy λ k i ( −λ ) k , tak że takie szeregi są identycznie zerowe.

Funkcje Theta nawet sieci jednomodułowych

Nawet unimodular kraty L w R n jest kratownica generowane przez n wektorów tworzących kolumny macierzy wyznacznika 1 i spełniającego warunek kwadratu długości każdego wektora w L jest parzystą liczbą całkowitą. Tak zwana funkcja theta

jest zbieżny, gdy Im(z) > 0, iw konsekwencji wzoru na sumowanie Poissona można wykazać, że jest modułową formą wagi n /2 . Nie jest łatwo skonstruować nawet kraty jednomodułowe, ale jest jeden sposób: Niech n będzie liczbą całkowitą podzielną przez 8 i rozważ wszystkie wektory v w R n takie, że 2 v ma współrzędne całkowite, wszystkie parzyste lub wszystkie nieparzyste, i takie że suma współrzędnych v jest parzystą liczbą całkowitą. Nazywamy tę sieć L n . Gdy n = 8 , jest to siatka generowana przez korzenie w systemie korzeniowym o nazwie E 8 . Ponieważ istnieje tylko jedna modułowa forma wagi 8 aż do mnożenia przez skalar,

chociaż kraty L 8 × L 8 i L 16 nie są podobne. John Milnor zauważył, że 16-wymiarowe tori otrzymane przez podzielenie R 16 przez te dwie sieci są w konsekwencji przykładami zwartych rozmaitości riemannowskich, które są izospektralne, ale nie izometryczne (patrz Wysłuchanie kształtu bębna ).

Modułowy wyróżnik

Dedekind funkcja eta jest zdefiniowany jako

gdzie q jest nazywany nome . Następnie modułowe wyróżnik Δ ( z ) = (2π) 12 η ( z ) 24 ma formę modułową masy 12. Obecność 24 jest związany z faktem, że kratownica Leech ma 24 wymiary. Słynnym przypuszczenie z Ramanujana stwierdził, że gdy Δ ( oo ) rozszerza się szereg potęgowy q, współczynnik Q P dla każdego głównego p ma wartość bezwzględną ≤ 2 s 11/2 . Zostało to potwierdzone przez pracę Eichlera , Shimury , Kugi , Ihary i Pierre'a Deligne'a w wyniku dowodu Deligne'a na hipotezy Weila , które, jak wykazano, sugerowały przypuszczenie Ramanujana.

Drugi i trzeci przykład dają pewną wskazówkę na temat związku między formami modułowymi a klasycznymi pytaniami w teorii liczb, takimi jak reprezentacja liczb całkowitych przez formy kwadratowe i funkcja podziału . Kluczowego pojęciowego powiązania między formami modularnymi a teorią liczb dostarcza teoria operatorów Heckego , która również daje powiązanie między teorią form modularnych a teorią reprezentacji .

Funkcje modułowe

Gdy waga k wynosi zero, można wykazać za pomocą twierdzenia Liouville'a, że jedynymi formami modularnymi są funkcje stałe. Jednak złagodzenie wymogu, aby f było holomorficzne, prowadzi do pojęcia funkcji modularnych . Funkcja f  : HC nazywana jest modułową, jeśli spełnia następujące właściwości:

  1. f jest meromorficzny w otwartej górnej półpłaszczyźnie H .
  2. Dla każdej macierzy liczb całkowitych w grupie modularnej Γ , .
  3. Jak wskazano powyżej, drugi warunek implikuje, że f jest okresowe, a zatem ma szereg Fouriera . Trzecim warunkiem jest to, że ta seria ma formę

Często zapisuje się go w kategoriach (kwadrat nomu ), jako:

Jest to również określane jako q- ekspansja f . Współczynniki są znane jako współczynniki Fouriera f , a liczba m nazywana jest rzędem bieguna f w i at. Warunek ten nazywa się „meromorficznym na wierzchołku”, co oznacza, że ​​tylko skończenie wiele ujemnych n współczynników jest niezerowych, więc ekspansja q jest ograniczona poniżej, co gwarantuje, że jest meromorficzny przy q  = 0. 

Innym sposobem wyrażenia definicji funkcji modularnych jest użycie krzywych eliptycznych : każda krata Λ wyznacza krzywą eliptyczną C /Λ nad C ; dwie sieci wyznaczają izomorficzne krzywe eliptyczne wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest otrzymywana przez pomnożenie przez pewną niezerową liczbę zespoloną α . Tak więc funkcję modularną można również uznać za funkcję meromorficzną na zbiorze klas izomorfizmu krzywych eliptycznych. Na przykład j-niezmiennicza j ( z ) krzywej eliptycznej, traktowana jako funkcja na zbiorze wszystkich krzywych eliptycznych, jest funkcją modularną. Bardziej konceptualnie, funkcje modularne można traktować jako funkcje na przestrzeni moduli klas izomorfizmu złożonych krzywych eliptycznych.

Modularna forma f, która znika w momencie q = 0 (odpowiednik a 0 = 0 , również parafrazowana jako z = i ) nazywana jest formą wierzchołkową ( Spitzenform w języku niemieckim ). Najmniejsze n takie, że a n ≠ 0 jest rzędem zera f w i .

Jednostka modułowa to funkcja modułowa, której bieguny i zera są ograniczone do wierzchołków.

Modułowe formy dla bardziej ogólnych grup

Równanie funkcjonalne, tj. zachowanie f względem można złagodzić, wymagając go tylko dla macierzy w mniejszych grupach.

Powierzchnia Riemanna G \H

Niech G będzie podgrupą SL(2, Z ) o skończonym indeksie . Taka grupa G działa na H tak samo jak SL(2, Z ) . Iloraz przestrzeń topologiczna G \ H może być przedstawiony za przestrzeń Hausdorff . Zazwyczaj nie jest zwarty, ale można go zagęszczać, dodając skończoną liczbę punktów zwanych wierzchołkami . Są to punkty na granicy H , czyli w Q ∪{∞}, takie, że istnieje paraboliczny element G (macierz ze śladem ±2) ustalający punkt. Daje to zwartą przestrzeń topologiczną G \ H . Co więcej, może być obdarzony strukturą powierzchni Riemanna , co pozwala mówić o funkcjach holo- i meromorficznych.

Ważnymi przykładami są, dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej N , jedna z podgrup kongruencji

Dla G = Γ 0 ( N ) lub Γ ( N ) spacje G \ H i G \ H oznaczono odpowiednio Y 0 ( N ) i X 0 ( N ) i Y ( N ), X ( N ).

Geometrię G \ H można zrozumieć badając podstawowe domeny dla G , tj. podzbiory DH takie, że D przecina każdą orbitę akcji G na H dokładnie raz i takie, że zamknięcie D spełnia wszystkie orbity. Na przykład, rodzaju o G \ H * można obliczyć.

Definicja

Forma modułowa dla G wagi k jest funkcją na H spełniającą powyższe równanie funkcjonalne dla wszystkich macierzy w G , czyli holomorficzną na H i na wszystkich wierzchołkach G . Ponownie, formy modułowe, które znikają na wszystkich wierzchołkach, są nazywane formami wierzchołkowymi dla G . W C przestrzenie-wektor modułowych oraz guzków form masy k oznaczono M K ( G ) i S K ( G ) , odpowiednio. Podobnie funkcja meromorficzna na G \ H nazywana jest funkcją modularną dla G . W przypadku G = Γ 0 ( N ), są one również nazywane formami modularnymi/guzowymi i funkcjami poziomu N . Dla G = Γ(1) = SL(2, Z ) daje to z powrotem wspomniane wyżej definicje.

Konsekwencje

Teorię powierzchni Riemanna można zastosować do G \ H ∗ w celu uzyskania dalszych informacji o modułowych formach i funkcjach. Na przykład przestrzenie M k ( G ) i S k ( G ) są skończenie wymiarowe, a ich wymiary można obliczyć dzięki twierdzeniu Riemanna-Rocha w zakresie geometrii działania G na H . Na przykład,

gdzie oznacza funkcję podłogi i jest parzyste.

Funkcje modularne stanowią pole funkcji powierzchni Riemanna, a więc tworzą pole pierwszego stopnia transcendencji (nad C ). Jeśli modułowy funkcja f jest identyczny 0, to można wykazać, że liczba zer na f jest równa liczbie biegunów z F w zamknięciu w obszarze podstawowym R Γ .To można wykazać, że pole modułowych funkcja poziomu N ( N ≥ 1) jest generowana przez funkcje j ( z ) i j ( Nz ).

Pakiety linii Line

Sytuację można korzystnie porównać do tej, jaka powstaje przy poszukiwaniu funkcji na przestrzeni rzutowej P( V ): w takim ustawieniu idealnie byłoby jak funkcje F na przestrzeni wektorowej V, które są wielomianowe we współrzędnych v  ≠ 0 w V i spełnij równanie F ( cv ) =  F ( v ) dla wszystkich niezerowych c . Niestety jedynymi takimi funkcjami są stałe. Jeśli dopuścimy mianowniki (funkcje wymierne zamiast wielomianów), możemy przyjąć , że F będzie stosunkiem dwóch jednorodnych wielomianów tego samego stopnia. Alternatywnie możemy trzymać się wielomianów i rozluźnić zależność od c , pozwalając F ( cv ) =  c k F ( v ). Rozwiązania są wówczas wielomianami jednorodnymi stopnia k . Z jednej strony tworzą one skończenie wymiarową przestrzeń wektorową dla każdego  k , a z drugiej, jeśli pozwolimy, by k się zmieniało, możemy znaleźć liczniki i mianowniki do konstruowania wszystkich funkcji wymiernych, które są w rzeczywistości funkcjami w leżącej poniżej przestrzeni rzutowej ( V ).

Ktoś mógłby zapytać, skoro wielomiany jednorodne nie są tak naprawdę funkcjami na P( V ), czym one są geometrycznie? Algebro-geometryczny odpowiedź brzmi, że są odcinki o snopa (można też powiedzieć wiązkę linii w tym przypadku). Dokładnie analogicznie wygląda sytuacja z formami modułowymi.

Z tego kierunku geometrycznego można również korzystnie podchodzić do form modularnych, jako odcinków wiązek liniowych na przestrzeni modularnej krzywych eliptycznych.

Pierścienie form modułowych

Dla podgrupy y w SL (2, Z ) , pierścień formy modułowych, Graded pierścień generowane przez modułowe formy gamma . Innymi słowy, jeśli M k (Γ) jest pierścieniem form modularnych o masie k , to pierścień form modularnych Γ jest pierścieniem stopniowanym .

Pierścienie form modularnych podgrup kongruencji SL(2, Z ) są skończenie generowane dzięki wynikowi Pierre'a Deligne'a i Michaela Rapoporta . Takie pierścienie form modułowych są generowane z wagą co najwyżej 6, a relacje są generowane z wagą co najwyżej 12, gdy podgrupa kongruencji ma niezerowe nieparzyste formy modułowe, a odpowiadające im granice wynoszą 5 i 10, gdy nie ma niezerowych nieparzystych form modułowych .

Bardziej ogólnie, istnieją wzory na ograniczenia wag generatorów pierścienia form modularnych i ich relacje dla dowolnych grup fuchsowskich .

Rodzaje

Całe formularze

Jeśli f jest holomorficzne na wierzchołku (nie ma bieguna w q  = 0), nazywa się to całą formą modułową .

Jeśli f jest meromorficzne, ale nie holomorficzne na wierzchołku, nazywa się je niecałą formą modularną . Na przykład j-niezmiennik jest niecałą modułową formą wagi 0 i ma prosty biegun w i∞.

Nowe formularze

Formy nowe to podprzestrzeń form modułowych o stałej wadze, których nie da się zbudować z form modułowych o mniejszych wagach dzielących . Inne formy nazywane są starymi formami . Te stare formy można skonstruować stosując następujące obserwacje: jeśli to daje odwrotne włączenie form modułowych .

Formy guzkowe

Tworzą wierzchołek ma formę modułową, ze współczynnikiem zerowej stałym w jej szeregu Fouriera. Nazywa się to formą guzkową, ponieważ forma znika na wszystkich guzkach.

Uogólnienia

Istnieje wiele innych zastosowań terminu „funkcja modułowa”, oprócz tego klasycznego; na przykład w teorii miar Haara jest to funkcja Δ( g ) wyznaczona przez działanie koniugacyjne.

Formy MAAß rzeczywistym analityczne funkcje własne z Laplace'a , ale nie musi być holomorficzna . Okazuje się, że holomorficzne części pewnych słabych form fal Maassa są zasadniczo symulowanymi funkcjami teta Ramanujana. Można rozważyćgrupy, które nie są podgrupami SL(2, Z ) .

Modularne formy Hilberta są funkcjami w n zmiennych, z których każda jest liczbą zespoloną w górnej półpłaszczyźnie, spełniającą relację modularną dla macierzy 2×2 z wpisami w polu liczb całkowitych .

Modularne formy Siegela są kojarzone z większymi grupami symplektycznymi w ten sam sposób, w jaki klasyczne formy modularne są kojarzone z SL(2, R ) ; innymi słowy, są one powiązane z rozmaitościami abelowymi w tym samym sensie, w jakim klasyczne formy modularne (czasami nazywane eliptycznymi formami modularnymi dla podkreślenia punktu) są powiązane z krzywymi eliptycznymi.

Formy Jacobiego są mieszanką form modułowych i funkcji eliptycznych. Przykłady takich funkcji są bardzo klasyczne – funkcje teta Jacobiego i współczynniki Fouriera form modularnych Siegela z rodzaju drugiego – ale jest to stosunkowo niedawna obserwacja, że ​​formy Jacobiego mają teorię arytmetyczną bardzo analogiczną do zwykłej teorii form modularnych.

Formy automorficzne rozszerzają pojęcie form modularnych na ogólne grupy Liego .

Całki modularne wagi k są funkcjami meromorficznymi w górnej połowie płaszczyzny umiarkowanego wzrostu w nieskończoności, które nie są modularne względem wagi k przez funkcję wymierną.

Czynniki automorficzne to funkcje formysłużące do uogólniania relacji modularności definiującej formy modularne, tak aby:

Funkcja jest nebentypusem formy modułowej. Funkcje takie jak funkcja Dedekind eta , modułowa forma wagi 1/2, mogą być objęte teorią, dopuszczając czynniki automorficzne.

Historia

Teoria form modularnych rozwijała się w czterech okresach: pierwszy w powiązaniu z teorią funkcji eliptycznych , w pierwszej połowie XIX wieku; następnie przez Felixa Kleina i innych pod koniec XIX wieku, gdy pojęcie formy automorficznej zostało zrozumiane (dla jednej zmiennej); następnie przez Ericha Hecke z około 1925; a następnie w latach 60., gdy potrzeby teorii liczb i sformułowanie twierdzenia o modularności w szczególności pokazały, że formy modułowe są głęboko implikowane.

Termin „forma modułowa”, jako opis systematyczny, jest zwykle przypisywany Heckemu.

Uwagi

Bibliografia