Geometria sfery leżącej - Lie sphere geometry

Sophus Lie, twórca geometrii sfery Liego i korespondencji linia-kula.

Geometria sfery kłamstwa to geometryczna teoria geometrii płaskiej lub przestrzennej, w której podstawowym pojęciem jest okrąg lub kula . Został wprowadzony przez Sophusa Lie w XIX wieku. Główną ideą, która prowadzi do geometrii sfery Liego, jest to, że linie (lub płaszczyzny) należy traktować jako koła (lub kule) o nieskończonym promieniu, a punkty w płaszczyźnie (lub przestrzeni) należy traktować jako koła (lub kule) o zerowym promieniu .

Przestrzeń okręgów w płaszczyźnie (lub sfer w przestrzeni), w tym punkty i linie (lub płaszczyzny), okazuje się być rozmaitością znaną jako quadric Lie ( quadric hypersurface w przestrzeni rzutowej ). Geometria sfery Lie to geometria kwadratu Lie i transformacji Lie, które ją zachowują. Wizualizacja tej geometrii może być trudna, ponieważ przekształcenia Lie nie zachowują ogólnie punktów: punkty można przekształcić w koła (lub kule).

Aby sobie z tym poradzić, krzywe w płaszczyźnie i powierzchnie w przestrzeni są badane za pomocą ich podnoszenia kontaktowego , które jest określane przez ich przestrzenie styczne . Zapewnia to naturalne odwzorowanie oskulującego koła na krzywej i zakrzywienie sfer powierzchni. Pozwala również na naturalne leczenie cyklidów Dupina i koncepcyjne rozwiązanie problemu Apoloniusza .

Geometrię sfery kłamstwa można zdefiniować w dowolnym wymiarze, ale najważniejszy jest przypadek płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. W tym drugim przypadku Lie zauważył niezwykłe podobieństwo między kwadrykiem sfer Lie w 3 wymiarach a przestrzenią linii w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej, która jest również quadryczną hiperpowierzchnią w 5-wymiarowej przestrzeni rzutowej, zwanej Plücker lub czterokołowiec Klein . To podobieństwo doprowadziło Liego do jego słynnej „zgodności linia-kula” między przestrzenią linii a przestrzenią sfer w przestrzeni trójwymiarowej.

Podstawowe koncepcje

Kluczową obserwacją prowadzącą do geometrii sfery Liego jest to, że twierdzenia o geometrii euklidesowej w płaszczyźnie (względnie w przestrzeni), które zależą tylko od pojęć okręgów (odpowiednio sfer) i ich stycznego kontaktu mają bardziej naturalne sformułowanie w bardziej ogólnym kontekst, w którym okręgi, linie i punkty (odpowiednio sfery, płaszczyzny i punkty) są traktowane na równych zasadach. Osiąga się to w trzech krokach. Najpierw do przestrzeni euklidesowej dodaje się idealny punkt w nieskończoności, tak aby linie (lub płaszczyzny) można było traktować jako okręgi (lub kule) przechodzące przez punkt w nieskończoności (tj. Mające nieskończony promień ). To rozszerzenie jest znane jako geometria inwersyjna z automorfizmami znanymi jako „transformacje Mobiusa”. Po drugie, punkty są traktowane jako okręgi (lub kule) o zerowym promieniu. Wreszcie, ze względów technicznych, okręgi (lub kule), w tym linie (lub płaszczyzny), otrzymują orientację .

Te obiekty, tj. Punkty, zorientowane okręgi i zorientowane linie w płaszczyźnie lub punkty, zorientowane sfery i zorientowane płaszczyzny w przestrzeni, są czasami nazywane cyklami lub cyklami Lie. Okazuje się, że tworzą one czteropowierzchniową hiperpowierzchnię w przestrzeni rzutowej o wymiarze 4 lub 5, znanej jako kwadratura Liego. Naturalne symetrie tego kwadratu tworzą grupę przekształceń zwanych transformacjami Liego. Te transformacje nie zachowują ogólnie punktów: są one przekształceniami kwadratu Liego, a nie płaszczyzny / sfery plus punkt w nieskończoności. Transformacjami zachowującymi punkt są właśnie transformacje Möbiusa. Przemiany Lie które ustalają punkt idealny w nieskończoności są Laguerre'a transformacje LAGUERRE geometrii . Te dwie podgrupy generują grupę transformacji Liego, a ich przecięciem są transformaty Möbiusa, które ustalają idealny punkt w nieskończoności, a mianowicie afiniczne mapy konformalne.

Grupy te mają również bezpośrednią interpretację fizyczną: jak zauważył Harry Bateman , transformacje sfery Liego są identyczne z transformacjami fal sferycznych, które pozostawiają niezmienną postać równań Maxwella . Ponadto Élie Cartan , Henri Poincaré i Wilhelm Blaschke podkreślić, że jest to po prostu grupa Laguerre izomorficzna do grupy Lorentza w szczególnej teorii względności (patrz grupa LAGUERRE izomorficzna do grupy Lorentza ). Ostatecznie istnieje również izomorfizm między grupą Möbiusa i grupą Lorentza (patrz grupa Möbiusa # transformacja Lorentza ).

Połóż geometrię kuli na płaszczyźnie

Kwadrat Lie

Kwadrykę Lie płaszczyzny definiuje się następująco. Niech R 3,2 oznacza przestrzeń R 5 z 5-krotek liczb rzeczywistych, wyposażonych w sygnaturę (3,2) symetryczną dwuliniową postać zdefiniowaną przez

Rządzony hiperboloid jest dwuwymiarowym odpowiednikiem kwadry Liego.

Przestrzeń rzutowa R P 4 jest przestrzenią linii przechodzących przez początek w R 5 i jest przestrzenią niezerowych wektorów x w R 5 aż do skali, gdzie x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). Planarny kwadrik Lie Q składa się z punktów [ x ] w przestrzeni rzutowej reprezentowanych przez wektory x z x · x = 0.

Aby odnieść to do geometrii płaskiej, konieczne jest ustalenie zorientowanej linii czasu . Wybrane współrzędne sugerują użycie punktu [1,0,0,0,0] ∈ R P 4 . Dowolny punkt w kwadricie Liego Q można następnie przedstawić za pomocą wektora x = λ (1,0,0,0,0) + v , gdzie v jest prostopadłe do (1,0,0,0,0). Ponieważ [ x ] ∈ Q , v · v = λ 2 ≥ 0.

Przestrzeń ortogonalna do (1,0,0,0,0), przecięta z kwadratem Liego, to dwuwymiarowa sfera niebieska S w czasoprzestrzeni Minkowskiego . To jest płaszczyzna euklidesowa z idealnym punktem w nieskończoności, który przyjmujemy jako [0,0,0,0,1]: skończone punkty ( x , y ) w płaszczyźnie są następnie reprezentowane przez punkty [ v ] = [0, x , y , -1, ( x 2 + y 2 ) / 2]; zauważ, że v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 i v · (0,0,0,0,1) = −1.

Stąd punkty x = λ (1,0,0,0,0) + v na kwadry Lie z λ = 0 odpowiadają punktom na płaszczyźnie euklidesowej z idealnym punktem w nieskończoności. Z drugiej strony punkty x z λ niezerowe odpowiadają zorientowanym okręgom (lub zorientowanym liniom, które są okręgami przez nieskończoność) na płaszczyźnie euklidesowej. Łatwiej to zobaczyć w odniesieniu do sfery niebieskiej S : okrąg odpowiadający [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (z λ ≠ 0) jest zbiorem punktów y ∈ S z y · v = 0. Okrąg jest zorientowany, ponieważ v / λ ma określony znak; [- λ (1,0,0,0,0) + v ] reprezentuje ten sam okrąg o przeciwnej orientacji. Zatem izometryczna mapa odbić x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) indukuje inwolucję ρ kwadratu Liego, która odwraca orientację okręgów i linie oraz ustala punkty płaszczyzny (w tym nieskończoność).

Podsumowując: istnieje zależność jeden do jednego między punktami na kwadry Lie i cyklami w płaszczyźnie, gdzie cykl jest albo zorientowanym okręgiem (lub linią prostą), albo punktem na płaszczyźnie (lub punktem w nieskończoności) ; punkty można traktować jako okręgi o promieniu zero, ale nie są one zorientowane.

Występowanie cykli

Załóżmy, że dwa cykle są przedstawione przez punkty [ x ], [ Y ] ∈ P . Wtedy x · y = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie cykle „całują się”, to znaczy spotykają się ze zorientowanym kontaktem pierwszego rzędu . Jeśli [ x ] ∈ S ≅ R 2 ∪ {∞}, to po prostu oznacza, że ​​[ x ] leży na okręgu odpowiadającym [ y ]; przypadek ten wynika bezpośrednio z definicji tego okręgu (jeśli [ y ] odpowiada okręgowi punktowemu, to x · y = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy [ x ] = [ y ]).

Pozostaje zatem rozważyć przypadek, że ani [ x ] ani [ T ], są w S . Bez utraty ogólności możemy zatem wziąć x = (1,0,0,0,0) + v i y = (1,0,0,0,0) + w , gdzie v i w są podobnymi do przestrzeni wektorami jednostkowymi w (1,0,0,0,0) ⊥ . Zatem v ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ i w ⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ⊥ są podpisami (2,1) podprzestrzeniami (1,0,0,0, 0) ⊥ . Dlatego też pokrywają się lub przecinają w dwuwymiarowej podprzestrzeni. W tym drugim przypadku dwuwymiarowa podprzestrzeń może mieć sygnaturę (2,0), (1,0), (1,1), w którym to przypadku odpowiednie dwa okręgi w S przecinają się odpowiednio w zera, jednym lub dwóch punktach . Stąd mają kontakt pierwszego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy dwuwymiarowa podprzestrzeń jest zdegenerowana (sygnatura (1,0)), co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy rozpiętość v i w jest zdegenerowana. Zgodnie z tożsamością Lagrange'a zachodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy ( v · w ) 2 = ( v · v ) ( w · w ) = 1, tj. Wtedy i tylko wtedy, gdy v · w = ± 1, tj. X · y = 1 ± 1. Styk jest zorientowany wtedy i tylko wtedy, gdy v · w = - 1, tj. X · y = 0.

Problem Apoloniusza

Osiem rozwiązań ogólnego problemu apollińskiego. Trzy podane okręgi są oznaczone jako C1, C2 i C3 i odpowiednio pomalowane na czerwono, zielono i niebiesko. Roztwory są ułożone w cztery pary, z których każdy zawiera jeden różowy i jeden czarny okrąg oznaczony jako 1A / 1B, 2A / 2B, 3A / 3B i 4A / 4B. Każda para nawiązuje zorientowany kontakt z C1, C2 i C3 w celu odpowiedniego wyboru orientacji; istnieją cztery takie wybory, aż do ogólnego odwrócenia orientacji.

Występowanie cykli w geometrii sfery Liego dostarcza prostego rozwiązania problemu Apoloniusza . Ten problem dotyczy konfiguracji trzech odrębnych okręgów (które mogą być punktami lub liniami): celem jest znalezienie co innego okręgu (w tym punktów lub linii), który jest styczny do wszystkich trzech oryginalnych okręgów. W przypadku ogólnej konfiguracji okręgów istnieje co najwyżej osiem takich stycznych okręgów.

Rozwiązanie, używając geometrii sfery Liego, przebiega następująco. Wybierz orientację dla każdego z trzech okręgów (można to zrobić na osiem sposobów, ale są tylko cztery do odwrócenia orientacji wszystkich trzech). Określa trzy punkty [ x ], [ Y ], [ Z ] w Lie Quadric Q . Przez częstość cykli rozwiązanie problemu apollińskiej zgodnego z wybranymi orientacji jest przez punkt [ Q ] ∈ P tak, że Q jest prostopadła do x , y i z . Jeśli te trzy wektory są liniowo zależne , to odpowiadające im punkty [ x ], [ y ], [ z ] leżą na prostej w przestrzeni rzutowej. Ponieważ nietrywialne równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa rozwiązania, ta prosta leży w rzeczywistości w układzie kwadratu Liego, a każdy punkt [ q ] na tej linii definiuje cykl zdarzenie z [ x ], [ y ] i [ z ]. W tym przypadku jest więc nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeśli zamiast tego x , y i z są liniowo niezależne, to ortogonalna podprzestrzeń V do wszystkich trzech jest dwuwymiarowa. Może mieć sygnaturę (2,0), (1,0) lub (1,1), w którym to przypadku istnieje odpowiednio zero, jedno lub dwa rozwiązania dla [ q ]. (Podpis nie może być (0,1) ani (0,2), ponieważ jest ortogonalny do przestrzeni zawierającej więcej niż jedną linię zerową.) W przypadku, gdy podprzestrzeń ma podpis (1,0), unikalne rozwiązanie q leży w rozpiętości x , y i z .

Ogólne rozwiązanie problemu apollińskiego uzyskuje się poprzez odwrócenie orientacji niektórych okręgów lub równoważnie, biorąc pod uwagę trójki ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) i ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).

Zauważ, że potrójna ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) daje takie same rozwiązania jak ( x , y , z ), ale z ogólną odwróceniem orientacji. Zatem istnieje co najwyżej 8 okręgów rozwiązań problemu apollińskiego, chyba że wszystkie trzy okręgi spotykają się stycznie w jednym punkcie, gdy jest nieskończenie wiele rozwiązań.

Kłamstwo transformacje

Każdy element z grupy O (3,2) z ortogonalnym przemian z R 3,2 odwzorowuje każdą jednowymiarowy podprzestrzeni wektorów zerowych w R 3,2 do innego takiego podprzestrzeni. Stąd grupa O (3,2) działa na kwadryku Liego. Te transformacje cykli nazywane są „transformacjami Lie”. Zachowują relację częstości między cyklami. Akcja jest przechodnia, więc wszystkie cykle są równoważne Lie. W szczególności punkty nie są zachowywane przez ogólne przekształcenia Liego. Podgrupa transformacji Liego z zachowaniem cykli punktowych jest w istocie podgrupą transformacji ortogonalnych, które zachowują wybrany kierunek czasowy. Ta podgrupa jest izomorficzna z grupą O (3,1) transformacji Möbiusa tej sfery. Można go również scharakteryzować jako centralizator inwolucji ρ , która sama w sobie jest transformacją Lie.

Transformacje Lie mogą być często używane do uproszczenia problemu geometrycznego poprzez przekształcenie okręgów w linie lub punkty.

Elementy kontaktowe i podnośniki kontaktowe

Fakt, że transformacje Liego nie zachowują ogólnie punktów, może również stanowić przeszkodę w zrozumieniu geometrii sfery Liego. W szczególności pojęcie krzywej nie jest niezmienne dla Lie. Tę trudność można złagodzić obserwując, że istnieje niezmienne pojęcie elementu kontaktowego według Lie .

Zorientowany element kontaktowy w płaszczyźnie to para składająca się z punktu i zorientowanej (tj. Skierowanej) linii przechodzącej przez ten punkt. Punkt i linia to cykle incydentów. Kluczową obserwacją jest to, że zbiór wszystkich cykli występujących zarówno z punktem, jak i prostą jest niezmiennym obiektem Lie: oprócz punktu i prostej składa się ze wszystkich okręgów, które stykają się z prostą w danym punkcie. . Nazywa się to ołówkiem cykli Lie lub po prostu elementem kontaktowym .

Zwróć uwagę, że wszystkie cykle zdarzają się również ze sobą. W odniesieniu do kwadratu Liego oznacza to, że ołówek cykli jest (rzutową) linią leżącą całkowicie na kwadry Liego, tj. Jest projekcją całkowicie zerowej dwuwymiarowej podprzestrzeni R  3,2 : reprezentatywne wektory dla wszystkie cykle w ołówku są względem siebie prostopadłe.

Zbiór wszystkich linii kwadratu Liego to trójwymiarowa rozmaitość zwana przestrzenią elementów stykowych Z  3 . Transformacje Lie zachowują elementy stykowe i działają przejściowo na Z  3 . Dla danego wyboru cykli punktowych (punkty prostopadłe do wybranego wektora czasowego v ), każdy element kontaktowy zawiera unikalny punkt. To definiuje mapę od Z  3 do 2-sfery S  2, której włókna są okręgami. Ta mapa nie jest niezmiennikiem Lie, ponieważ punkty nie są niezmienne.

Niech γ : [ a , b ] → R 2 będzie krzywą zorientowaną. Następnie γ wyznacza mapę λ z przedziału [ a , b ] do Z  3 , wysyłając t do elementu stykowego odpowiadającego punktowi γ ( t ) i zorientowaną linię styczną do krzywej w tym punkcie (prostą w kierunku γ '( t )). Ta mapa λ nazywa się windą kontaktów z y .

W rzeczywistości Z  3 jest rozmaitością styków , a struktura styków jest niezmienna Lie. Wynika z tego, że krzywe zorientowane można badać w sposób niezmienniczy Lie za pomocą ich podnoszenia kontaktowego, które można scharakteryzować ogólnie jako krzywe Legendriana w Z  3 . Dokładniej, przestrzeń styczna do Z  3 w punkcie odpowiadającym zerowej 2-wymiarowej podprzestrzeni π w R 3,2 jest podprzestrzenią tych map liniowych (A mod π ): π → R 3,2 / π z

A ( x ) · y + x · A ( y ) = 0

a rozkład kontaktowy to podprzestrzeń Hom ( π , π ⊥ / π ) tej przestrzeni stycznej w przestrzeni Hom ( π , R 3,2 / π ) map liniowych.

Wynika z tego, że zanurzona krzywa Legendriana λ w Z  3 ma preferowany cykl Liego powiązany z każdym punktem krzywej: pochodna zanurzenia w punkcie t jest 1-wymiarową podprzestrzenią Hom ( π , π ⊥ / π ), gdzie π = λ ( t ); jądrem dowolnego niezerowego elementu tej podprzestrzeni jest dobrze zdefiniowana 1-wymiarowa podprzestrzeń π , tj. punkt na kwadry Liego.

Mówiąc bardziej powszechnie, jeśli λ jest uniesieniem kontaktowym krzywej γ w płaszczyźnie, to preferowanym cyklem w każdym punkcie jest oscylacyjny okrąg . Innymi słowy, po wykonaniu podnoszenia kontaktowego większość podstawowej teorii krzywych w płaszczyźnie jest niezmienna Lie.

Geometria sfery leżącej w przestrzeni i wyższych wymiarach

Ogólna teoria

Leżą kuli geometria n -wymiary uzyskuje się przez zastąpienie R 3,2 (odpowiada Quadric znajdować się w n = 2) o wymiarach R n + 1, 2 . To jest R n + 3 wyposażony w symetryczną dwuliniową formę

Kwadryczny Q n Lie jest ponownie zdefiniowany jako zbiór [ x ] ∈ R P n +2 = P ( R n +1,2 ) z x · x = 0. Kwadryczna parametryzuje zorientowane ( n - 1) -sfery w Przestrzeń n- wymiarowa, w tym hiperpłaszczyzny i sfery punktowe jako przypadki ograniczające. Zauważ, że Q n jest (n + 1) -wymiarową rozmaitością (sfery są sparametryzowane przez ich środek i promień).

Relacja występowania zachodzi bez zmian: sfery odpowiadające punktom [ x ], [ y ] ∈ Q n mają zorientowany kontakt pierwszego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy x · y = 0. Grupa przekształceń Liego jest teraz O (n + 1 , 2), a transformacje Lie zachowują częstość cykli Lie.

Przestrzeń elementów stykowych to (2 n - 1) -wymiarowa rozgałęźnik styków Z  2 n - 1 : z punktu widzenia danego wyboru sfer punktowych, te elementy stykowe odpowiadają parom składającym się z punktu w n- wymiarowej przestrzeni (która może być punktem w nieskończoności) wraz z zorientowaną hiperpłaszczyzną przechodzącą przez ten punkt. Przestrzeń Z  2 n - 1 jest zatem izomorficzne z projectivized cotangent wiązki o n -sphere. Ta identyfikacja nie jest niezmienna w przypadku przekształceń Liego: w terminach niezmienniczych Liego Z  2 n - 1 jest przestrzenią (rzutowych) linii na kwadry Liego.

Każda zorientowana zanurzona hiperpowierzchnia w przestrzeni n- wymiarowej ma siłę nośną kontaktową do Z  2 n - 1 określoną przez zorientowane przestrzenie styczne . Nie ma już preferowanego cyklu Lie powiązanego z każdym punktem: zamiast tego istnieje n - 1 takich cykli, odpowiadających sferom krzywizny w geometrii euklidesowej.

Problem Apoloniusza ma naturalne uogólnienie obejmujące n + 1 hipersfer w n wymiarach.

Trzy wymiary i zgodność linia-kula

W przypadku n = 3, quadric Q 3 w P ( R 4,2 ) opisuje (Lie) geometrię sfer w 3-przestrzeni euklidesowej. Lie zauważył niezwykłe podobieństwo do korespondencji Kleina dla linii w przestrzeni trójwymiarowej (dokładniej w R P 3 ).

Załóżmy, że [ x ], [ y ] ∈ R P 3 , z jednorodnymi współrzędnymi ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) i ( y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ). Umieść p ij = x i y j - x j y i . Są to jednorodne współrzędne linii rzutowej łączącej x i y . Istnieje sześć niezależnych współrzędnych i spełniają one jedną relację, relację Plückera

p 01 p 23 + p 02 p 31 + p 03 p 12 = 0.

Wynika z tego, że istnieje zgodność jeden do jednego między prostymi w R P 3 a punktami na kwadryku Kleina , który jest quadric hipersurface punktów [ p 01 , p 23 , p 02 , p 31 , p 03 , p 12 ] w R P 5 spełniając relację Plückera.

Kwadratowa formy określające zależność plucker wynika z symetrycznego dwuliniowa postaci podpis (3,3). Innymi słowy, przestrzeń prostych w R P 3 jest kwadratem w P ( R 3,3 ). Chociaż nie jest to to samo, co kwadryka Liego, można zdefiniować „zgodność” między liniami i sferami za pomocą liczb zespolonych : jeśli x = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) jest punkt na (złożonym) kwadrycznym Lie (tj. x i przyjmuje się jako liczby zespolone)

p 01 = x 0 + x 1 , p 23 = - x 0 + x 1
p 02 = x 2 + i x 3 , p 31 = x 2 - i x 1
p 03 = x 4 , p 12 = x 5

definiuje punkt na złożonym kwadryku Kleina (gdzie i 2 = –1).

Cyklidy Dupina

Cyklid Dupina.

Geometria sfery Lie zapewnia naturalny opis cyklidów Dupina . Są one scharakteryzowane jako wspólna obwiednia dwóch jednoparametrowych rodzin sfer S ( s ) i T ( t ), gdzie S i T są odwzorowaniami z przedziałów do kwadratu Liego. Aby istniała wspólna obwiednia, S ( s ) i T ( t ) muszą występować incydentalnie dla wszystkich s i t , tj. Ich reprezentatywne wektory muszą obejmować zerową 2-wymiarową podprzestrzeń R 4,2 . Stąd definiują mapę w przestrzeń elementów stykowych Z 5 . Ta mapa jest legendarna wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne S (lub T ) są ortogonalne do T (lub S ), tj. Wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje ortogonalna dekompozycja R 4,2 na bezpośrednią sumę trójwymiarowych podprzestrzeni σ i τ podpisu (2,1), takie, że S przyjmuje wartości w σ, a T przyjmuje wartości w τ . Odwrotnie, taki rozkład w unikalny sposób określa siłę nośną kontaktową powierzchni, która otacza dwie jednoparametrowe rodziny sfer; obraz tego podnoszenia kontaktowego jest przedstawiony przez zerowe 2-wymiarowe podprzestrzenie, które przecinają σ i τ w parze zerowych linii.

Taki rozkład jest równoważnie dany, aż do wyboru znaku, przez symetryczny endomorfizm R 4,2, którego kwadrat jest tożsamością i którego ± 1 przestrzenie własne to σ i τ . Używając iloczynu wewnętrznego R 4,2 , jest to określane przez kwadratową postać na R 4,2 .

Podsumowując, cyklidy Dupina są określone przez formy kwadratowe na R 4,2 tak, że związany z nimi symetryczny endomorfizm ma kwadrat równy tożsamości i przestrzeniom własnym sygnatury (2,1).

Daje to jeden sposób, aby zobaczyć, że cyklidy Dupina są cyklidami w tym sensie, że są zerowymi zbiorami kwartyków o określonej formie. W tym celu należy zauważyć, że podobnie jak w przypadku planarnym, trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa osadza się w kwadrycznym Q 3 Liego jako zbiór sfer punktowych poza idealnym punktem w nieskończoności. Wyraźnie punkt (x, y, z) w przestrzeni euklidesowej odpowiada punktowi

[0, x , y , z , –1, ( x 2 + y 2 + z 2 ) / 2]

w pytaniu 3 . Cyklid składa się z punktów [0, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ] ∈ Q 3, które spełniają dodatkową relację kwadratową

dla niektórych symetrycznych 5 ×; 5 macierzy A = ( a ij ). Klasa cyklidów to naturalna rodzina powierzchni w geometrii sfery Liego, a cyklidy Dupin tworzą naturalną podrodzinę.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Walter Benz (2007) Classical Geometries in Modern Contexts: Geometry of Real Inner Product Spaces , rozdział 3: Sphere geometries of Möbius and Lie, strony 93–174, Birkhäuser , ISBN   978-3-7643-8541-5 .
  • Blaschke, Wilhelm (1929), "Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln", Vorlesungen über Differentialgeometrie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 3 , Springer .
  • Cecil, Thomas E. (1992), Geometria sfery Lie , Universitext, Springer-Verlag, Nowy Jork, ISBN   978-0-387-97747-8 .
  • Helgason, Sigurdur (1994), „Sophus Lie, the Mathematician” (PDF) , Proceedings of the Sophus Lie Memorial Conference, Oslo, sierpień 1992 , Oslo: Scandinavian University Press, s. 3–21 .
  • Knight, Robert D. (2005), „The Apollonius contact problem and Lie contact geometry”, Journal of Geometry , Basel: Birkhäuser, 83 (1–2): 137–152, doi : 10.1007 / s00022-005-0009-x , ISSN   0047-2468 .
  • Milson, R. (2000) „An overview of Lie's line-sphererespondence”, str. 1–10 w The Geometric Study of Differential Equations , JA Leslie & TP Robart redaktorzy, American Mathematical Society ISBN   0-8218-2964-5 .
  • Zlobec, Borut Jurčič; Mramor Kosta, Neža (2001), „Konfiguracje cykli i problem Apolloniusa” , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 31 (2): 725–744, doi : 10.1216 / rmjm / 1020171586 , ISSN   0035-7596 .

Linki zewnętrzne