Nachylenie - Slope

Nachylenie: ${\ Displaystyle m = \ lewo ({\ Frac {\ delta r} {\ delta x}} \ prawo) = \ tan (\ theta)}$

Matematyki The nachylenie lub gradientu z linii jest liczbą, która opisuje zarówno kierunek i nachylenie linii. Nachylenie jest często oznaczane literą m ; nie ma jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, dlaczego litera m jest używana dla określenia nachylenia, ale jej najwcześniejsze użycie w języku angielskim pojawia się u O'Briena (1844), który napisał równanie linii prostej jako „ y = mx + b ” i może można również znaleźć u Todhuntera (1888), który napisał to jako „ y = mx + c ”.

Nachylenie jest obliczane poprzez znalezienie stosunku „zmiany pionowej” do „zmiany poziomej” między (dowolnymi) dwoma różnymi punktami na linii. Czasami stosunek jest wyrażany jako iloraz („wzrost nad przebiegiem”), podając tę ​​samą liczbę dla każdych dwóch różnych punktów na tej samej linii. Linia opadająca ma ujemny „wzrost”. Linia może być praktyczna - określona przez geodetę drogowego lub na schemacie modelującym drogę lub dach jako opis lub plan.

Nachylenia , nachylenie albo klasy linii mierzy się wartości bezwzględnej nachylenia. Nachylenie o większej wartości bezwzględnej oznacza bardziej stromą linię. Kierunek z linii jest albo wzrasta, maleje, poziomy lub pionowy.

• Linia rośnie, jeśli idzie w górę od lewej do prawej. Nachylenie jest dodatnie , czyli .${\ Displaystyle m> 0}$
• Linia maleje, jeśli idzie w dół od lewej do prawej. Nachylenie jest ujemne , czyli .${\displaystyle m<0}$
• Jeśli linia jest pozioma, nachylenie wynosi zero . Jest to funkcja stała .
• Jeśli linia jest pionowa, nachylenie jest niezdefiniowane (patrz poniżej).

Podniesienie drogi między dwoma punktami to różnica między wysokością drogi w tych dwóch punktach, powiedzmy y ₁ i y ₂ , czyli innymi słowy podniesienie to ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . W przypadku stosunkowo krótkich odległości, przy których krzywizna ziemi może być pominięta, bieg jest różnicą odległości od ustalonego punktu mierzonego wzdłuż poziomej linii lub innymi słowy bieg wynosi ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Tutaj nachylenie drogi między dwoma punktami jest po prostu opisane jako stosunek zmiany wysokości do odległości poziomej między dowolnymi dwoma punktami na linii.

W języku matematycznym nachylenie m linii wynosi

${\ Displaystyle m = {\ Frac {y_ {2}-y_ {1}} {x_ {2}-x_ {1}}}.}$

Koncepcja stoku odnosi się bezpośrednio do klas lub gradientów w geografii i inżynierii lądowej . Dzięki trygonometrii nachylenie m prostej jest powiązane z jej kątem nachylenia θ za pomocą funkcji stycznej

${\displaystyle m=\tan(\theta)}$

Zatem linia wznosząca się pod kątem 45° ma nachylenie +1, a linia opadająca pod kątem 45° ma nachylenie -1.

Jako uogólnienie tego praktycznego opisu, matematyka rachunku różniczkowego definiuje nachylenie krzywej w punkcie jako nachylenie linii stycznej w tym punkcie. Gdy krzywa jest określona serią punktów na wykresie lub na liście współrzędnych punktów, nachylenie można obliczyć nie w punkcie, ale pomiędzy dowolnymi dwoma danymi punktami. Gdy krzywa jest podana jako funkcja ciągła, być może jako wzór algebraiczny, wówczas rachunek różniczkowy dostarcza reguł dających wzór na nachylenie krzywej w dowolnym punkcie na środku krzywej.

To uogólnienie pojęcia nachylenia pozwala na planowanie i budowanie bardzo złożonych konstrukcji, które znacznie wykraczają poza statyczne struktury, które są poziome lub pionowe, ale mogą zmieniać się w czasie, poruszać się po łukach i zmieniać w zależności od tempa zmian innych czynników . Tym samym prosta idea skarpy staje się jedną z głównych podstaw współczesnego świata zarówno pod względem technologicznym, jak i budowlanym.

Definicja

Nachylenie zilustrowane dla y  = (3/2) x  − 1. Kliknij aby powiększyć

Nachylenie prostej w układzie współrzędnych, od f(x)=-12x+2 do f(x)=12x+2

Nachylenie linii w płaszczyźnie zawierającej osie x i y jest ogólnie reprezentowane przez literę m i jest zdefiniowane jako zmiana współrzędnej y podzielona przez odpowiednią zmianę współrzędnej x , pomiędzy dwoma różnymi punktami na linii. Opisuje to następujące równanie:

${\ Displaystyle m = {\ Frac {\ Delta r} {\ Delta x}} = {\ Frac {{\ tekst {pionowy}} \ {\ tekst {zmiana}}} {{\ tekst {poziomy}} \ ,{\text{zmiana}}}}={\frac {\text{wzrost}}{\text{uruchom}}}.}$

(Grecka litera delta , Δ, jest powszechnie używana w matematyce w znaczeniu „różnica” lub „zmiana”).

Biorąc pod uwagę dwa punkty i , zmiana z jednego do drugiego to ( run ), podczas gdy zmiana to ( wzrost ). Podstawiając obie wielkości do powyższego równania, otrzymujemy wzór: ${\styl wyświetlania (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\ Displaystyle m = {\ Frac {y_ {2}-y_ {1}} {x_ {2}-x_ {1}}}.}$

Formuła kończy się niepowodzeniem dla linii pionowej równoległej do osi (patrz Dzielenie przez zero ), gdzie nachylenie można przyjąć jako nieskończone , więc nachylenie linii pionowej jest uważane za niezdefiniowane. ${\displaystyle y}$

Przykłady

Załóżmy, że prosta przechodzi przez dwa punkty: P  = (1, 2) i Q  = (13, 8). Dzieląc różnicę we współrzędnych przez różnicę we współrzędnych, można otrzymać nachylenie linii: ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle m = {\ Frac {\ Delta r} {\ Delta x}} = {\ Frac {y_ {2}-y_ {1}} {x_ {2}-x_ {1}}} = {\ Frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Ponieważ nachylenie jest dodatnie, kierunek linii rośnie. Ponieważ |m|<1, nachylenie nie jest zbyt strome (nachylenie <45°).

Jako inny przykład rozważmy linię przechodzącą przez punkty (4, 15) i (3, 21). Wtedy nachylenie linii wynosi

${\ Displaystyle m = {\ Frac {21-15} {3-4}} = {\ Frac {6} {-1}} = -6.}$

Ponieważ nachylenie jest ujemne, kierunek linii maleje. Ponieważ |m|>1 spadek ten jest dość stromy (spadek >45°).

Algebra i geometria

• Jeśli „jest funkcją liniową z ”, to współczynnik jest nachylenie linii utworzonej przez wykreślenie funkcję. Dlatego jeśli równanie prostej podane jest w postaci${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle y=mx+b}$

to jest nachylenie. Ta forma równania linii nazywana jest formą przecięcia nachylenia , ponieważ może być interpretowana jako przecięcie y linii, czyli współrzędna -, w której linia przecina oś -.${\ Displaystyle m}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

• Jeżeli nachylenie prostej i punkt na linii są znane, to równanie prostej można znaleźć za pomocą wzoru punkt-nachylenie :${\ Displaystyle m}$${\styl wyświetlania (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Nachylenie linii zdefiniowane równaniem liniowym

${\ Displaystyle topór + przez + c = 0}$

jest

${\ Displaystyle - {\ Frac {a} {b}}}$.

• Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy nie są tą samą linią (zbieżność) i albo ich nachylenia są równe, albo oba są pionowe, a zatem obie mają niezdefiniowane nachylenia. Dwie linie są prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachyleń wynosi -1 lub jedna ma nachylenie 0 (linia pozioma), a druga ma nachylenie nieokreślone (linia pionowa).
• Kąt θ pomiędzy -90° a 90°, jaki tworzy linia z osią x, jest powiązany z nachyleniem m w następujący sposób:

${\displaystyle m=\tan(\theta)}$

oraz

${\ Displaystyle \ theta = \ arctan (m)}$   (jest to odwrotna funkcja tangensa; patrz odwrotne funkcje trygonometryczne ).

Przykłady

Rozważmy na przykład linię biegnącą przez punkty (2,8) i (3,20). Ta linia ma nachylenie, m , z

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.}$

Można wtedy zapisać równanie prostej, w postaci punkt-nachylenie:

${\ Displaystyle y-8 = 12 (x-2) = 12x-24}$

lub:

${\ Displaystyle y = 12x-16.}$

Kąt θ między -90° a 90°, jaki tworzy ta linia z osią x, to

${\ Displaystyle \ theta = \ arctan (12) \ około 85,2 ^ {\ circ} \,.}$

Rozważmy dwie linie: y = −3 x + 1 i y = −3 x − 2 . Obie linie mają nachylenie m = -3 . To nie ta sama linia. Są to więc linie równoległe.

Rozważmy dwie linie y = -3 x + 1 i y = x/3− 2 . Nachylenie pierwszej linii to m ₁ = -3 . Nachylenie drugiej linii to m ₂ =1/3. Iloczyn tych dwóch nachyleń wynosi -1. Czyli te dwie linie są prostopadłe.

Statystyka

W statystyce gradient najlepiej dopasowanej linii regresji najmniejszych kwadratów dla danej próbki danych można zapisać jako:

${\ Displaystyle m = {\ Frac {rs_ {y}} {s_ {x}}}}$,

Ta wielkość m nazywana jest nachyleniem regresji dla linii . Wielkość jest współczynnikiem korelacji Pearsona , jest odchyleniem standardowym wartości y i jest odchyleniem standardowym wartości x. Można to również zapisać jako stosunek kowariancji : ${\ Displaystyle y = mx + c}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle s_{y}}$${\displaystyle s_{x}}$

${\ Displaystyle m = {\ Frac {\ Operator {cov} (Y, X)} {\ Operator {cov} (X, X)}}}$

Nachylenie drogi lub linii kolejowej

Główne artykuły: klasa (nachylenie) , separacja stopni

Są dwa popularne sposoby opisania stromości drogi lub linii kolejowej . Jeden to kąt między 0° a 90° (w stopniach), a drugi to nachylenie w procentach. Zobacz także kolejka stroma i kolej zębata .

Wzory na przeliczanie nachylenia podanego w procentach na kąt w stopniach i na odwrót to:

${\ Displaystyle {\ tekst {kąt}} = \ arctan \ lewo ({\ Frac {\ tekst {nachylenie}} {100 \%}} \ po prawej)}$  , (jest to funkcja odwrotna tangensa; patrz trygonometria )

oraz

${\ Displaystyle {\ mbox {nachylenie}} = 100 \% \ cdot \ tan ({\ mbox {kąt}}),}$

gdzie kąt jest w stopniach, a funkcje trygonometryczne działają w stopniach. Na przykład nachylenie 100 % lub 1000 ‰ to kąt 45°.

Trzecim sposobem jest podanie jednej jednostki wzrostu w, powiedzmy, 10, 20, 50 lub 100 jednostkach poziomych, np. 1:10. 1:20, 1:50 lub 1:100 (lub "1 na 10" , "1 na 20" itd.) Zauważ, że 1:10 jest bardziej stromy niż 1:20. Na przykład nachylenie 20% oznacza 1:5 lub nachylenie o kącie 11,3°.

Drogi i linie kolejowe mają zarówno spadki podłużne, jak i poprzeczne.

• 

  Znak ostrzegawczy na stoku w Holandii

• 

  Tablica ostrzegawcza skarpy w Polsce

• 

  1371-metrowy odcinek linii kolejowej o nachyleniu 20 ‰ . Republika Czeska

• 

  Słup pochylenia linii kolejowej z epoki parowej wskazujący nachylenie w obu kierunkach na stacji kolejowej Meols , Wielka Brytania

Rachunek różniczkowy

W każdym momencie, pochodna jest nachylenie linii , która jest styczna do tej krzywej w tym punkcie. Uwaga: pochodna w punkcie A jest dodatnia, gdy zielony i kreska-kropka, ujemna, gdy czerwony i kreskowany oraz zero, gdy czarny i jednolita.

Pojęcie nachylenia jest kluczowe dla rachunku różniczkowego . W przypadku funkcji nieliniowych tempo zmian zmienia się wzdłuż krzywej. Pochodną funkcji w punkcie jest nachyleniem linii stycznej do tej krzywej w tym punkcie, a zatem jest równa szybkości zmian funkcji w tym punkcie.

Jeśli pozwolimy, aby Δ x i Δ y były odległościami (odpowiednio wzdłuż osi x i y ) między dwoma punktami na krzywej, to nachylenie podane przez powyższą definicję,

${\ Displaystyle m = {\ Frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$,

jest nachyleniem siecznej linii do krzywej. W przypadku linii sieczna między dowolnymi dwoma punktami jest samą linią, ale nie dotyczy to żadnego innego rodzaju krzywej.

Na przykład nachylenie siecznej przecinającej y = x ^{2 w} punkcie (0,0) i (3,9) wynosi 3. (nachylenie stycznej w punkcie x = 3 ⁄ 2 również wynosi 3 — konsekwencja wartości średniej twierdzenie .)

Przesuwając te dwa punkty bliżej siebie tak, aby Δ y i Δ x zmniejszały się, sieczna linia bardziej przybliża linię styczną do krzywej i jako takie nachylenie siecznej zbliża się do stycznej. Używając rachunku różniczkowego , możemy określić granicę , czyli wartość , do której Δ y / Δ x zbliża się , gdy Δ y i Δ x zbliżają się do zera ; wynika z tego, że ta granica jest dokładnym nachyleniem stycznej. Jeśli y jest zależne od x , to wystarczy przyjąć granicę, w której tylko Δ x zbliża się do zera. Dlatego nachylenie stycznej jest granicą Δ y /Δ x, gdy Δ x zbliża się do zera, lub dy / dx . Limit ten nazywamy pochodną .

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = \ Lim _ {\ Delta x \ do 0} {\ Frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

Jego wartość w punkcie funkcji daje nam nachylenie stycznej w tym punkcie. Na przykład niech y = x ² . Punkt na tej funkcji to (-2,4). Pochodną tej funkcji jest ^{d y} / _{d x} =2 x . Zatem nachylenie linii stycznej do y w punkcie (-2,4) wynosi 2·(-2) = -4. Równanie tej stycznej to: y -4=(-4)( x -(-2)) lub y = -4 x - 4.

Różnica stoków

Rozszerzenie idei kąta wynika z różnicy nachyleń. Rozważ mapowanie ścinania

${\ Displaystyle (u, v) = (x, y) {\ zacząć {pmatrix} 1 i v \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}.}$

Następnie (1,0) jest mapowany na (1, v ). Nachylenie (1,0) wynosi zero, a nachylenie (1, v ) wynosi v. Mapowanie ścinania dodało nachylenie v . Dla dwóch punktów na {(1, y ): y w R } o nachyleniach m i n , obraz

${\ Displaystyle (1, y) {\ zacząć {pmatrix} 1 i v \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} = (1, y + v)}$

ma nachylenie zwiększone o v , ale różnica n − m nachyleń jest taka sama przed i po ścinaniu. Ta niezmienność różnic nachylenia sprawia, że ​​nachylenie jest miarą niezmienniczą kątową , na równi z kątem kołowym (niezmienność pod rotacją) i kątem hiperbolicznym, z grupą niezmienności odwzorowań ściskania .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• „Nachylenie linii (współrzędna geometrii)” . Otwarte odniesienie matematyczne. 2009 . Pobrano 30 października 2016 . interaktywny