Tensor symetryczny - Symmetric tensor

W matematyce , A symetryczny tensor jest tensor że jest niezmienny pod permutacji swoich argumentów wektorowej:

{\ Displaystyle T (v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {r}) = T (v _ {\ sigma 1}, v _ {\ sigma 2}, \ ldots, v _ {\ sigma r}) }

dla każdej permutacji σ symboli {1, 2, ..., r }. Alternatywnie, spełnia symetryczny tensor rzędu r reprezentowany we współrzędnych jako wielkość z r indeksami

{\ Displaystyle T_ {i_ {1} ja_ {2} \ cdots i_ {r}} = T_ {i _ {\ sigma 1} ja _ {\ sigma 2} \ cdots ja _ {\ sigma r}}.}

Przestrzeń symetrycznych tensorów o uporządkowaniu r o skończonej-wymiarowej przestrzeni wektor V jest naturalnie izomorficzne do podwójnej w przestrzeni jednorodnych wielomianów o stopniu r o V . Nad polami o charakterystycznym zera The Graded przestrzeń wektor wszystkich tensorów symetrycznych można oczywiście utożsamiać z symetrycznym algebry na V . Podobną koncepcją jest tensor antysymetryczny lub forma naprzemienna . Tensory symetryczne są szeroko stosowane w inżynierii , fizyce i matematyce .

Definicja

Niech V będzie przestrzenią wektorową i

{\ displaystyle T \ in V ^ {\ otimes k}}

tensor rzędu k . Wtedy T jest symetrycznym tensorem, jeśli

{\ Displaystyle \ tau _ {\ sigma} T = T \,}

dla map oplotu skojarzonych z każdą permutacją σ na symbolach {1, 2, ..., k } (lub równoważnie dla każdej transpozycji na tych symbolach).

Mając podstawę { e ⁱ } V , dowolny symetryczny tensor T rzędu k można zapisać jako

{\ Displaystyle T = \ suma _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k} = 1} ^ {N} T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} e ^ {i_ { 1}} \ otimes e ^ {i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes e ^ {i_ {k}}}

dla jakiejś unikalnej listy współczynników ( składowych tensora w bazie), które są symetryczne na indeksach. To jest do powiedzenia ${\ displaystyle T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}}}$

{\ displaystyle T_ {i _ {\ sigma 1} ja _ {\ sigma 2} \ cdots ja _ {\ sigma k}} = T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}}}

dla każdej permutacji σ .

Przestrzeń wszystkich symetrycznych tensorów rzędu k określonych na V jest często oznaczana przez S ^k ( V ) lub Sym ^k ( V ). Sama jest przestrzenią wektorową, a jeśli V ma wymiar N, to wymiar Sym ^k ( V ) jest współczynnikiem dwumianowym

{\ Displaystyle \ dim \ operatorname {Sym} ^ {k} (V) = {N + k-1 \ wybierz k}.}

Następnie konstruujemy Sym ( V ) jako bezpośrednią sumę Sym ^k ( V ) dla k = 0,1,2, ...

{\ displaystyle \ operatorname {Sym} (V) = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Sym} ^ {k} (V).}

Przykłady

Istnieje wiele przykładów symetrycznych tensorów. Niektóre z nich, ten tensor metryczny , The tensor Einsteina , a Ricci tensor , . ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$

Wiele właściwości materiałów i dziedzin stosowanych w fizyce i inżynierii można przedstawić jako symetryczne pola tensorowe; na przykład: stres , odkształcenie i przewodnictwo anizotropowe . Ponadto w dyfuzyjnym rezonansie magnetycznym często używa się symetrycznych tensorów do opisu dyfuzji w mózgu lub innych częściach ciała.

Elipsoidy są przykładami odmian algebraicznych ; tak więc, dla rangi ogólnej, tensory symetryczne, pod postacią jednorodnych wielomianów , są używane do definiowania odmian rzutowych i często są badane jako takie.

Symetryczna część tensora

Załóżmy, że jest przestrzenią wektorową nad ciałem o charakterystyce 0. Jeśli T ∈ V ^⊗^k jest tensorem rzędu , to część symetryczna jest tensorem symetrycznym określonym przez ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ operatorname {Sym} \, T = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}} \ tau _ {\ sigma} T,}

sumowanie rozciągające się na grupę symetryczną na k symboli. Pod względem podstawy i stosując konwencję sumowania Einsteina , jeśli

{\ Displaystyle T = T_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} \ otimes e ^ {i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes e ^ {i_ {k}},}

następnie

{\ displaystyle \ operatorname {Sym} \, T = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}} T_ {i _ {\ sigma 1 } i _ {\ sigma 2} \ cdots i _ {\ sigma k}} e ^ {i_ {1}} \ otimes e ^ {i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes e ^ {i_ {k}}.}

Składowe tensora pojawiające się po prawej stronie są często oznaczane przez

{\ Displaystyle T _ {(i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k})} = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {k}} T_ {i _ {\ sigma 1} i _ {\ sigma 2} \ cdots i _ {\ sigma k}}}

z nawiasami () wokół symetryzowanych indeksów. Nawiasy kwadratowe [] służą do wskazania anty-symetryzacji.

Produkt symetryczny

Jeśli T jest prostym tensorem, podawany jako czysty iloczyn tensorowy

{\ Displaystyle T = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r}}

wtedy symetryczna część T jest symetrycznym iloczynem czynników:

{\ Displaystyle v_ {1} \ odot v_ {2} \ odot \ cdots \ odot v_ {r}: = {\ frac {1} {r!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S} } _ {r}} v _ {\ sigma 1} \ otimes v _ {\ sigma 2} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma r}.}

Ogólnie rzecz biorąc, możemy przekształcić Sym ( V ) w algebrę , definiując iloczyn przemienny i asocjacyjny ⊙. Mając dwa tensory T ₁ ∈ Sym ^{k ₁} ( V ) i T ₂ ∈ Sym ^{k ₂} ( V ) , używamy operatora symetryzacji do zdefiniowania:

{\ displaystyle T_ {1} \ odot T_ {2} = \ operatorname {Sym} (T_ {1} \ otimes T_ {2}) \ quad \ left (\ in \ operatorname {Sym} ^ {k_ {1} + k_ {2}} (V) \ right).}

Można zweryfikować (jak uczynili to Kostrikin i Manin), że otrzymany produkt jest w rzeczywistości przemienny i asocjacyjny. W niektórych przypadkach operator jest pomijany: T ₁ T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂ .

W niektórych przypadkach używana jest notacja wykładnicza:

{\ displaystyle v ^ {\ odot k} = \ underbrace {v \ odot v \ odot \ cdots \ odot v} _ {k {\ text {razy}}} = \ underbrace {v \ otimes v \ otimes \ cdots \ otimes v} _ {k {\ text {razy}}} = v ^ {\ otimes k}.}

Gdzie v jest wektorem. W niektórych przypadkach ⊙ jest pomijany:

{\ displaystyle v ^ {k} = \ underbrace {v \, v \, \ cdots \, v} _ {k {\ text {razy}}} = \ underbrace {v \ odot v \ odot \ cdots \ odot v } _ {k {\ text {razy}}}.}

Rozkład

Analogicznie do teorii macierzy symetrycznych , (rzeczywisty) symetryczny tensor rzędu 2 może być „diagonalizowany”. Dokładniej, dla dowolnego tensora T ∈ Sym ² ( V ) istnieje liczba całkowita r , niezerowe wektory jednostkowe v ₁ , ..., v _r ∈ V i wagi λ ₁ , ..., λ _r takie, że

{\ Displaystyle T = \ suma _ {i = 1} ^ {r} \ lambda _ {i} \, v_ {i} \ otimes v_ {i}.}

Minimalna liczba r , dla których taka rozkładu jest możliwa jest (symetryczne) rangę T . Wektory pojawiające się w tym minimalnym wyrażeniu są głównymi osiami tensora i ogólnie mają ważne znaczenie fizyczne. Na przykład główne osie tensora bezwładności definiują elipsoidę Poinsota reprezentującą moment bezwładności. Zobacz także prawo bezwładności Sylvestera .

Dla symetrycznych tensorów dowolnego rzędu k , dekompozycje

{\ Displaystyle T = \ suma _ {i = 1} ^ {r} \ lambda _ {i} \, v_ {i} ^ {\ otimes k}}

są również możliwe. Minimalna liczba r , dla których taka rozkładu jest możliwa jest symetryczny stopień z T . Ten minimalny rozkład nazywany jest rozkładem Waringa; jest to symetryczna postać rozkładu rang tensorowych . W przypadku tensorów drugiego rzędu odpowiada to rangi macierzy reprezentującej tensor na dowolnej podstawie i dobrze wiadomo, że maksymalna ranga jest równa wymiarowi podstawowej przestrzeni wektorowej. Jednak w przypadku wyższych rzędów nie musi to obowiązywać: ranga może być wyższa niż liczba wymiarów w podstawowej przestrzeni wektorowej. Ponadto ranga i rząd symetryczny tensora symetrycznego mogą się różnić.

Zobacz też

Uwagi

^ ^a ^b Kostrikin, Aleksiej I ; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Algebra liniowa i geometria . Algebra, logika i aplikacje. 1 . Gordon i Breach. pp. 276–279. ISBN 9056990497 .
^ Comon, P .; Golub, G .; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). „Tensory symetryczne i ranga tensorów symetrycznych”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi : 10,1137 / 060661569 .
^ Shitov, Jarosław (2018). „Przeciwprzykład do hipotezy Comona” . SIAM Journal na temat algebry stosowanej i geometrii . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . doi : 10,1137 / 17m1131970 . ISSN 2470-6566 .

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas (1989), Elementy matematyki, Algebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Bourbaki, Nicolas (1990), Elementy matematyki, Algebra II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8 .
Greub, Werner Hildbert (1967), Multilinear algebra , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York, MR 0224623 .
Sternberg, Shlomo (1983), Wykłady z geometrii różniczkowej , Nowy Jork: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0 .

Linki zewnętrzne

Cesar O. Aguilar, Wymiar symetrycznych k-tensorów

[Kostrikin1997-1] Kostrikin, Aleksiej I ; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Algebra liniowa i geometria . Algebra, logika i aplikacje. 1 . Gordon i Breach. pp. 276–279. ISBN 9056990497 .

[Comon2008-2] Comon, P .; Golub, G .; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). „Tensory symetryczne i ranga tensorów symetrycznych”. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi : 10,1137 / 060661569 .

[3] Shitov, Jarosław (2018). „Przeciwprzykład do hipotezy Comona” . SIAM Journal na temat algebry stosowanej i geometrii . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . doi : 10,1137 / 17m1131970 . ISSN 2470-6566 .

Languages

In other projects