Geometria rzutowa - Projective geometry

Geometria
Wystające do sfery na płaszczyznę
Zarys Historia
Gałęzie Euklidesa Nieeuklidesowy Eliptyczny Kulisty Hiperboliczny Geometria niearchimedesowa Rzutowy Affine Syntetyczny Analityczny Algebraiczny Arytmetyka diofantyna Mechanizm różnicowy Riemanna Symplektyczny Dyskretna różnica Złożony Skończone Dyskretny/Kombinatoryczny Cyfrowy Wypukły Obliczeniowa Fraktal Zakres
Koncepcje Cechy Wymiar Konstrukcje prostoliniowe i kompasowe Kąt Krzywa Przekątna Ortogonalność ( prostopadłość ) Równoległy Wierzchołek Stosowność Podobieństwo Symetria
Zerowymiarowy Punkt
Jednowymiarowy Linia człon promień Długość
Dwuwymiarowy Samolot Powierzchnia Wielokąt Trójkąt Wysokość Przeciwprostokątna twierdzenie Pitagorasa Równoległobok Kwadrat Prostokąt Romb Romboid Czworoboczny trapez latawiec Koło Średnica Obwód Powierzchnia
Trójwymiarowy Tom Sześcian prostopadłościan Cylinder Piramida Kula
Cztero- /inny wymiar Teserakt Hipersfera
Geometry
wg nazwy Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apoloniusz Archimedesa Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Kartezjusz Euklides Euler Gaus Gromow Hilbert Jyeṣṭhadewa Katjajanah Chajjam Klein Łobaczewski Manawa Minkowskiego Minggatu Pascal Pitagoras Parameśwara Poincaré Riemanna Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista geometrii
przez okres p.n.e. Ahmes Baudhayana Manawa Pitagoras Euklides Archimedesa Apoloniusz 1-1400s Zhang Katjajanah Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Chajjam al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameśwara 1400-1700 Jyeṣṭhadewa Kartezjusz Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gaus Łobaczewski Bolyai Riemanna Klein Poincaré Hilbert Minkowskiego Cartan Veblen Coxeter Dzień dzisiejszy Atiyah Gromow
v T mi

W matematyce , geometria rzutowe jest badanie właściwości geometrycznych, które są niezmienne względem projekcyjnych przemian . Oznacza to, że w porównaniu do elementarnej geometrii euklidesowej geometria rzutowa ma inne ustawienie, przestrzeń rzutową i selektywny zestaw podstawowych pojęć geometrycznych. Podstawowa intuicja jest taka, że ​​przestrzeń rzutowa ma więcej punktów niż przestrzeń euklidesowa dla danego wymiaru i że dozwolone są przekształcenia geometryczne, które przekształcają dodatkowe punkty (zwane „ punktami w nieskończoności ”) w punkty euklidesowe i vice versa.

Właściwości istotne dla geometrii rzutowej są respektowane przez tę nową ideę transformacji, która w swoich skutkach jest bardziej radykalna niż może być wyrażona przez macierz transformacji i translacje ( transformacje afiniczne ). Pierwszym problemem dla geometrów jest to, jaki rodzaj geometrii jest odpowiedni w nowej sytuacji. Nie można odnosić się do kątów w geometrii rzutowej tak jak w geometrii euklidesowej , ponieważ kąt jest przykładem koncepcji niezmiennej względem przekształceń rzutowych, jak widać na rysunku perspektywicznym . Jednym ze źródeł geometrii rzutowej była rzeczywiście teoria perspektywy. Kolejną różnicą w stosunku do geometrii elementarnej jest sposób, w jaki można powiedzieć, że linie równoległe spotykają się w punkcie w nieskończoności , po przełożeniu koncepcji na terminy geometrii rzutowej. Ponownie pojęcie to ma intuicyjną podstawę, jak tory kolejowe spotykające się na horyzoncie w rysunku perspektywicznym. Zobacz płaszczyznę rzutową, aby poznać podstawy geometrii rzutowej w dwóch wymiarach.

Chociaż pomysły były dostępne wcześniej, geometria rzutowa była głównie rozwinięciem XIX wieku. Obejmowało to teorię złożonej przestrzeni rzutowej , której współrzędne ( współrzędne jednorodne ) są liczbami zespolonymi . Kilka głównych typów bardziej abstrakcyjnej matematyki (w tym teoria niezmiennicza , włoska szkoła geometrii algebraicznej i program Erlangen Felixa Kleina , którego rezultatem było badanie grup klasycznych ) było opartych na geometrii rzutowej. Był to również temat dla wielu praktykujących sam w sobie, jak geometria syntetyczna . Innym tematem, który rozwinął się z aksjomatycznych badań geometrii rzutowej, jest geometria skończona .

Sam temat geometrii rzutowej jest obecnie podzielony na wiele podtematów badawczych, których dwoma przykładami są rzutowa geometria algebraiczna (badanie rozmaitości rzutowych ) i rzutowa geometria różniczkowa (badanie niezmienników różniczkowych przekształceń rzutowych).

Przegląd

Geometria rzutowa jest podstawową niemetryczną formą geometrii, co oznacza, że ​​nie opiera się na pojęciu odległości. W dwóch wymiarach zaczyna się od badania konfiguracjach z punktów i linii . To, że rzeczywiście istnieje pewne geometryczne zainteresowanie tym rzadkim ustawieniem, zostało po raz pierwszy stwierdzone przez Desarguesa i innych, którzy zgłębiali zasady sztuki perspektywicznej . W przestrzeniach wyższych wymiarów rozpatruje się hiperpłaszczyzny (które zawsze się spotykają) oraz inne liniowe podprzestrzenie, które wykazują zasadę dualności . Najprostszą ilustracją dwoistości jest płaszczyzna rzutowa, gdzie zdania „dwa różne punkty wyznaczają niepowtarzalną linię” (tj. przechodzącą przez nie linię) i „dwie odrębne linie wyznaczają niepowtarzalny punkt” (tj. ich punkt przecięcia) pokazują to samo. struktura jako propozycje. Geometria rzutowa może być również postrzegana jako geometria konstrukcji z samą prostą krawędzią . Ponieważ geometria rzutowa wyklucza konstrukcje kompasowe , nie ma okręgów, kątów, pomiarów, równoleżników ani koncepcji pośrednictwa . Zrozumiano, że twierdzenia, które mają zastosowanie do geometrii rzutowej, są prostszymi twierdzeniami. Na przykład różne sekcje stożkowe są równoważne w (złożonej) geometrii rzutowej, a niektóre twierdzenia dotyczące okręgów można uznać za szczególne przypadki tych ogólnych twierdzeń.

Na początku XIX wieku prace Jean-Victora Ponceleta , Lazare Carnota i innych ustanowiły geometrię rzutową jako niezależną dziedzinę matematyki . Jego rygorystyczne fundamenty zostały podjęte przez Karla von Staudta i udoskonalone przez Włochów Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa i Gino Fano pod koniec XIX wieku. Geometrię rzutową, taką jak geometria afiniczna i euklidesowa , można również opracować z programu Erlangen Felixa Kleina; rzutowa geometria charakteryzuje invarianty pod przemian z rzutowej grupy .

Po wielu pracach nad bardzo dużą liczbą twierdzeń na ten temat zrozumiałe zostały podstawy geometrii rzutowej. Struktura padania i współczynnik krzyżowy są podstawowymi niezmiennikami w transformacjach rzutowych. Geometrię rzutową można modelować za pomocą płaszczyzny afinicznej (lub przestrzeni afinicznej) oraz linii (hiperpłaszczyzny) „w nieskończoności”, a następnie traktować tę linię (lub hiperpłaszczyznę) jako „zwykłą”. Model algebraiczny do wykonywania geometrii rzutowej w stylu geometrii analitycznej jest określony przez współrzędne jednorodne. Z drugiej strony, badania aksjomatyczne ujawniły istnienie płaszczyzn niedesargueskich , przykładów pokazujących, że aksjomaty zapadalności mogą być modelowane (tylko w dwóch wymiarach) przez struktury niedostępne dla rozumowania poprzez jednorodne układy współrzędnych.

W sensie podstawowym, geometria rzutowa i geometria uporządkowana są elementarne, ponieważ zawierają minimum aksjomatów i mogą być użyte jako podstawa geometrii afinicznej i euklidesowej . Geometria rzutowa nie jest „uporządkowana”, a więc stanowi odrębną podstawę geometrii.

Historia

Pierwsze właściwości geometryczne o charakterze rzutowym odkrył w III wieku Pappus z Aleksandrii . Filippo Brunelleschi (1404–1472) zaczął badać geometrię perspektywy w 1425 roku (zobacz historię perspektywy dla dokładniejszego omówienia prac w sztukach pięknych, które motywowały znaczną część rozwoju geometrii rzutowej). Johannes Kepler (1571-1630) i Gérard Desargues (1591-1661) niezależnie opracowali koncepcję „punktu nieskończoności”. Desargues opracował alternatywny sposób konstruowania rysunków perspektywicznych, uogólniając użycie punktów zbiegu na przypadek, gdy są one nieskończenie odległe. Uczynił geometrię euklidesową , w której równoległe linie są naprawdę równoległe, specjalnym przypadkiem wszechogarniającego układu geometrycznego. Badania Desarguesa dotyczące przekrojów stożkowych zwróciły uwagę 16-letniego Blaise'a Pascala i pomogły mu sformułować twierdzenie Pascala . Prace Gasparda Monge z przełomu XVIII i XIX wieku były ważne dla późniejszego rozwoju geometrii rzutowej. Praca Desarguesa została zignorowana, dopóki Michel Chasles nie natknął się na odręczną kopię w 1845 r. Tymczasem Jean-Victor Poncelet opublikował w 1822 r. fundamentalny traktat o geometrii rzutowej. opierając swoją teorię na betonowym słupie i relacji biegunowej względem koła, ustalił związek między właściwościami metrycznymi i rzutowymi. W nieeuklidesowa geometrie odkrył wkrótce potem zostały ostatecznie wykazano, że modele, takie jak modelu Klein z hiperbolicznej przestrzeni , w odniesieniu do geometrii rzutowej.

W 1855 AF Möbius napisał artykuł o permutacjach, obecnie nazywanych transformacjami Möbiusa , uogólnionych okręgów na płaszczyźnie zespolonej . Te przekształcenia reprezentują rzuty złożonej linii rzutowej . W badaniu linii w przestrzeni Julius Plücker użył w swoim opisie współrzędnych jednorodnych , a zbiór linii był oglądany na kwadrze Kleina , jednym z wczesnych wkładów geometrii rzutowej do nowej dziedziny zwanej geometrią algebraiczną , odgałęzieniem geometrii analitycznej z projekcyjnymi pomysłami.

Geometria rzutowa walnie walidacji spekulacji Lobachevski i Bolyai dotyczących geometrii hiperboliczny , dostarczając modeli dla hiperbolicznej powierzchni : na przykład modelem płyty Poincare gdzie uogólnione koła prostopadła do okrąg jednostkowy odpowiadają „hiperbolicznej linii” ( geodezyjnych ) i „tłumaczenia” tego modelu są opisane przez transformacje Möbiusa, które mapują dysk jednostkowy na siebie. Odległość między punktami jest określona przez metrykę Cayleya-Kleina , o której wiadomo, że jest niezmienna w tłumaczeniach, ponieważ zależy od współczynnika krzyżowego , kluczowego niezmiennika rzutowego. Translacje są różnie opisywane jako izometrie w teorii przestrzeni metrycznej , formalnie jako liniowe przekształcenia ułamkowe oraz jako rzutowe przekształcenia liniowe rzutowej grupy liniowej , w tym przypadku SU(1, 1) .

Praca Ponceleta , Jakoba Steinera i innych nie miała na celu rozszerzenia geometrii analitycznej. Techniki miały być syntetyczne : w efekcie przestrzeń projekcyjna w dzisiejszym rozumieniu miała być wprowadzona aksjomatycznie. W rezultacie przeformułowanie wczesnych prac w geometrii rzutowej, tak aby spełniały obecne standardy rygoru, może być nieco trudne. Nawet w przypadku samej płaszczyzny rzutowej podejście aksjomatyczne może skutkować modelami, których nie da się opisać za pomocą algebry liniowej .

Ten okres geometrii zostało przejęte przez badania na ogólny algebraicznej krzywej przez Clebsch , Riemann , Max Noether i innych, która rozciągała istniejących technik, a następnie teorii stałych . Pod koniec wieku włoska szkoła geometrii algebraicznej ( Enriques , Segre , Severi ) wyrwała się z tradycyjnej tematyki na obszar wymagający głębszych technik.

W drugiej połowie XIX wieku szczegółowe badania geometrii rzutowej stały się mniej modne, chociaż literatura jest obszerna. Niektóre ważne praca została wykonana w enumeratywnej geometrii w szczególności przez Schuberta, który jest obecnie uważany za przewidywanie teorii klas Cherna , traktowanym jako reprezentujący topologii algebraicznej z Grassmannians .

Paul Dirac studiował geometrię rzutową i wykorzystywał ją jako podstawę do rozwijania swoich koncepcji mechaniki kwantowej , chociaż jego publikowane wyniki były zawsze w formie algebraicznej. Zobacz artykuł na blogu odnoszący się do artykułu i książki na ten temat, a także do przemówienia Diraca wygłoszonego do szerokiej publiczności w 1972 roku w Bostonie na temat geometrii rzutowej, bez szczegółowych informacji na temat jej zastosowania w jego fizyce.

Opis

Geometria rzutowa jest mniej restrykcyjna niż geometria euklidesowa lub geometria afiniczna . Jest to samoistnie nie- metryczny geometria, co oznacza, że fakty są niezależne od jakiejkolwiek struktury metrycznej. W ramach przekształceń projekcyjnych zachowana jest struktura padania i relacja sprzężeń projekcyjnych harmonicznych . Rzutowe zakres jest podstawą jednowymiarowy. Geometria rzutowa formalizuje jedną z głównych zasad sztuki perspektywicznej: równoległe linie spotykają się w nieskończoności , a zatem są rysowane w ten sposób. Zasadniczo geometrię rzutową można traktować jako rozszerzenie geometrii euklidesowej, w której „kierunek” każdej linii jest zawarty w linii jako dodatkowy „punkt”, i w którym „horyzont” kierunków odpowiadających liniom współpłaszczyznowym jest uważany za „linię”. W ten sposób dwie równoległe linie spotykają się na linii horyzontu, ponieważ zawierają ten sam kierunek.

Wyidealizowane kierunki nazywane są punktami w nieskończoności, podczas gdy wyidealizowane horyzonty nazywane są liniami w nieskończoności. Z kolei wszystkie te linie leżą w płaszczyźnie w nieskończoności. Jednak nieskończoność jest pojęciem metrycznym, więc geometria czysto rzutowa nie wyróżnia pod tym względem żadnych punktów, linii ani płaszczyzn – te w nieskończoności są traktowane jak wszystkie inne.

Ponieważ geometria euklidesowa jest zawarta w geometrii rzutowej — przy czym geometria rzutowa ma prostsze podstawy — ogólne wyniki w geometrii euklidesowej można wyprowadzić w bardziej przejrzysty sposób, gdzie oddzielne, ale podobne twierdzenia geometrii euklidesowej mogą być obsługiwane wspólnie w ramach rzutowej geometria. Na przykład linie równoległe i nierównoległe nie muszą być traktowane jako oddzielne przypadki; raczej arbitralna płaszczyzna rzutowa jest wyróżniona jako idealna płaszczyzna i umieszczona „w nieskończoności” przy użyciu jednorodnych współrzędnych .

Dodatkowe własności o fundamentalnym znaczeniu to twierdzenie Desarguesa i twierdzenie Pappusa . W przestrzeniach rzutowych o wymiarze 3 lub większym istnieje konstrukcja pozwalająca na udowodnienie Twierdzenia Desarguesa . Ale w przypadku wymiaru 2 należy go postulować osobno.

Korzystając z twierdzenia Desarguesa w połączeniu z innymi aksjomatami, można geometrycznie zdefiniować podstawowe operacje arytmetyczne. Wynikające z tego operacje spełniają aksjomaty pola — z tym wyjątkiem, że przemienność mnożenia wymaga twierdzenia Pappusa o sześciokątach . W rezultacie punkty każdej linii odpowiadają jeden do jednego z danym polem F , uzupełnionym o dodatkowy element ∞ w taki sposób, że r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ − r = r − ∞ = ∞ , z wyjątkiem 0 / 0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ i ∞ ⋅ 0 pozostają niezdefiniowane .

Geometria rzutowa obejmuje również pełną teorię przekrojów stożkowych , temat również szeroko rozwijany w geometrii euklidesowej. Umiejętność myślenia o hiperboli i elipsie jako rozróżnianych tylko przez sposób, w jaki hiperbola leży w poprzek linii w nieskończoności , ma swoje zalety ; i że parabola wyróżnia się tylko tym, że jest styczna do tej samej linii. Cała rodzina okręgów może być traktowana jako stożki przechodzące przez dwa dane punkty na linii w nieskończoności — kosztem wymagania skomplikowanych współrzędnych. Ponieważ współrzędne nie są „syntetyczne”, zastępujemy je ustalając na niej prostą i dwa punkty, a za podstawowy przedmiot badań uznajemy liniowy układ wszystkich stożków przechodzących przez te punkty. Ta metoda okazała się bardzo atrakcyjna dla utalentowanych geometrów, a temat został dokładnie przestudiowany. Przykładem tej metody jest wielotomowy traktat autorstwa HF Baker .

Istnieje wiele geometrii rzutowych, które można podzielić na dyskretne i ciągłe: geometria dyskretna zawiera zbiór punktów, których liczba może być skończona lub nie , podczas gdy geometria ciągła ma nieskończenie wiele punktów bez przerw pomiędzy nimi.

Jedyną geometrią rzutową wymiaru 0 jest pojedynczy punkt. Geometria rzutowa wymiaru 1 składa się z pojedynczej linii zawierającej co najmniej 3 punkty. W żadnym z tych przypadków nie można wykonać geometrycznej konstrukcji operacji arytmetycznych. Dla wymiaru 2 istnieje bogata struktura ze względu na brak twierdzenia Desarguesa .

Najmniejsza dwuwymiarowa geometria rzutowa (ta z najmniejszą liczbą punktów) to płaszczyzna Fano , która ma 3 punkty na każdej linii, z 7 punktami i 7 liniami, o następujących współliniowościach:

o jednorodnych współrzędnych A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) , lub we współrzędnych afinicznych, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) i G = (1) . Współrzędne afiniczne na płaszczyźnie Desarguesa dla punktów wyznaczonych jako punkty w nieskończoności (w tym przykładzie: C, E i G) można zdefiniować na kilka innych sposobów.

W standardowym zapisie skończoną geometrię rzutową zapisuje się PG( a , b ) gdzie:

a jest wymiarem rzutowym (lub geometrycznym), a

b jest o jeden mniej niż liczba punktów na prostej (zwanej porządkiem geometrii).

Tak więc przykład mający tylko 7 punktów jest napisany PG(2,2) .

Termin „geometria projekcyjna” jest czasami używany do wskazania uogólnionej podstawowej geometrii abstrakcyjnej, a czasami do wskazania konkretnej geometrii będącej przedmiotem szerokiego zainteresowania, takiej jak geometria metryczna płaskiej przestrzeni, którą analizujemy za pomocą współrzędnych jednorodnych i w której euklidesowa geometria może być osadzona (stąd jej nazwa, Rozszerzona płaszczyzna euklidesowa ).

Podstawową właściwością, która wyróżnia wszystkie geometrie rzutowe, jest właściwość padania eliptycznego polegająca na tym, że dowolne dwie odrębne linie L i M na płaszczyźnie rzutowej przecinają się dokładnie w jednym punkcie P . Szczególny przypadek, w geometrii analitycznej w równoległych liniach jest uwzględniana w płynną postać linii w nieskończoności , w którym P leży. Linii w nieskończoności zatem linia jak inne teorią: nie jest w żaden szczególny sposób i odróżnić. (W późniejszym duchu programu Erlangen można by wskazać, w jaki sposób grupa przekształceń może przesunąć dowolną linię do prostej w nieskończoność ).

Równoległe właściwości geometrii eliptycznej, euklidesowej i hiperbolicznej kontrastują w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę prostą l i punkt P nie na prostej,

Eliptyczny

nie istnieje linia przechodząca przez P , która nie spełnia l

Euklidesa

istnieje dokładnie jedna linia przechodząca przez P , która nie spełnia l

Hiperboliczny

istnieje więcej niż jedna linia przechodząca przez P , która nie spełnia l

Równoległość geometrii eliptycznej jest kluczową ideą, która prowadzi do zasady dualności projekcyjnej, być może najważniejszej właściwości wspólnej dla wszystkich geometrii projekcyjnych.

Dwoistość

W 1825 roku Joseph Gergonne zauważył zasadę dwoistości charakteryzującą rzutową geometrię płaszczyzny: biorąc pod uwagę dowolne twierdzenie lub definicję tej geometrii, podstawienie punktu za linię , leżeć za przejście , współliniowe za współbieżność , przecięcie za połączenie lub vice versa, skutkuje innym twierdzenie lub poprawna definicja, „dual” pierwszego. Podobnie w 3 wymiarach, relacja dualności zachodzi między punktami i płaszczyznami, umożliwiając przekształcenie dowolnego twierdzenia przez zamianę punktu i płaszczyzny, jest zawarta i zawiera. Bardziej ogólnie, dla przestrzeni rzutowych wymiaru N istnieje dwoistość między podprzestrzeniami wymiaru R i wymiaru N−R−1. Dla N = 2, jest to wyspecjalizowane w najbardziej znanej formie dualności — między punktami i liniami. Zasada dwoistości została również odkryta niezależnie przez Jean-Victora Ponceleta .

Ustalenie dualności wymaga jedynie ustalenia twierdzeń, które są podwójnymi wersjami aksjomatów dla danego wymiaru. Tak więc dla przestrzeni trójwymiarowych należy wykazać, że (1*) każdy punkt leży w 3 różnych płaszczyznach, (2*) każde dwie płaszczyzny przecinają się w unikalną linię i podwójną wersję (3*) w efekcie: jeśli przecięcie płaszczyzn P i Q jest współpłaszczyznowe z przecięciem płaszczyzn R i S, to takie same przecięcia się płaszczyzn P i R, Q i S (zakładając, że płaszczyzny P i S są różne od Q i R).

W praktyce zasada dualności pozwala na ustalenie podwójnej korespondencji między dwiema konstrukcjami geometrycznymi. Najbardziej znanym z nich jest biegunowość lub wzajemność dwóch figur w krzywej stożkowej (w 2 wymiarach) lub powierzchni kwadratowej (w 3 wymiarach). Powszechnym przykładem jest odwrotność symetrycznego wielościanu w koncentrycznej sferze w celu uzyskania wielościanu podwójnego.

Innym przykładem jest twierdzenie Brianchona , dualność wspomnianego już twierdzenia Pascala , którego jeden z dowodów polega po prostu na zastosowaniu zasady dualności do twierdzenia Pascala. Oto stwierdzenia porównawcze tych dwóch twierdzeń (w obu przypadkach w ramach płaszczyzny rzutowej):

• Pascal: Jeśli wszystkie sześć wierzchołków sześciokąta leżą na stożku , to przecięcia jego przeciwległych boków (traktowane jako pełne linie, ponieważ w płaszczyźnie rzutowej nie ma czegoś takiego jak „odcinek linii”) są trzema punktami współliniowymi. Linia łącząca je nazywana jest linią Pascala sześciokąta.
• Brianchon: Jeśli wszystkie sześć boków sześciokąta jest stycznych do stożka, to jego przekątne (tj. linie łączące przeciwległe wierzchołki) są trzema równoległymi liniami. Ich punkt przecięcia nazywa się wtedy punktem Brianchona sześciokąta.

(Jeśli stożek degeneruje się w dwie proste linie, to twierdzenie Pascala staje się twierdzeniem Pappusa , które nie ma interesującego dualizmu, ponieważ punkt Brianchona staje się w trywialny sposób punktem przecięcia dwóch linii.)

Aksjomaty geometrii rzutowej

Dowolną daną geometrię można wyprowadzić z odpowiedniego zbioru aksjomatów . Geometrie rzutowe charakteryzują się aksjomatem "równoległości eliptycznej", że dowolne dwie płaszczyzny zawsze spotykają się tylko w jednej linii , lub w płaszczyźnie dowolne dwie linie zawsze spotykają się tylko w jednym punkcie. Innymi słowy, w geometrii rzutowej nie ma takich rzeczy jak linie równoległe lub płaszczyzny.

Zaproponowano wiele alternatywnych zbiorów aksjomatów dla geometrii rzutowej (patrz na przykład Coxeter 2003, Hilbert i Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Aksjomaty Whiteheada

Te aksjomaty są oparte na Whitehead , „Aksjomatach geometrii rzutowej”. Istnieją dwa typy, punkty i linie oraz jedna relacja „przypadku” między punktami i liniami. Trzy aksjomaty to:

• G1: Każda linia zawiera co najmniej 3 punkty
• G2: Każde dwa odrębne punkty, A i B, leżą na unikalnej linii AB.
• G3: Jeśli przecinają się proste AB i CD, to przecinają się również proste AC i BD (gdzie zakłada się, że A i D są różne od B i C).

Powodem, dla którego zakłada się, że każda linia zawiera co najmniej 3 punkty, jest wyeliminowanie niektórych zdegenerowanych przypadków. Przestrzenie spełniające te trzy aksjomaty albo mają co najwyżej jedną linię, albo są przestrzeniami rzutowymi pewnego wymiaru nad pierścieniem podziału , albo są płaszczyznami niedesarguesowskimi .

Dodatkowe aksjomaty

Można dodać kolejne aksjomaty ograniczające wymiar lub pierścień współrzędnych. Na przykład Geometria projekcyjna Coxetera odwołuje się do Veblena w trzech powyższych aksjomatach, wraz z kolejnymi 5 aksjomatami, które sprawiają, że wymiar 3 i pierścień współrzędnych są przemiennym polem charakterystyki, a nie 2.

Aksjomaty wykorzystujące relację trójskładnikową

Można dążyć do aksjomatyzacji, postulując relację trójskładnikową, [ABC], aby wskazać, kiedy trzy punkty (nie wszystkie koniecznie różne) są współliniowe. Aksjomatyzację można również zapisać pod kątem tej relacji:

• C0: [ABA]
• C1: Jeśli A i B są dwoma punktami takimi, że [ABC] i [ABD] to [BDC]
• C2: Jeśli A i B są dwoma punktami, to istnieje trzeci punkt C taki, że [ABC]
• C3: Jeśli A i C są dwoma punktami, B i D również, z [BCE], [ADE], ale nie [ABE], to istnieje punkt F taki, że [ACF] i [BDF].

Dla dwóch różnych punktów, A i B, prostą AB definiuje się jako składającą się ze wszystkich punktów C, dla których [ABC]. Aksjomaty C0 i C1 zapewniają następnie formalizację G2; C2 dla G1 i C3 dla G3.

Pojęcie linii uogólnia się na płaszczyzny i podprzestrzenie wyższych wymiarów. Podprzestrzeń AB...XY może być zatem zdefiniowana rekurencyjnie w kategoriach podprzestrzeni AB...X jako zawierającej wszystkie punkty wszystkich prostych YZ, ponieważ Z rozciąga się na AB...X. Kolinearność uogólnia się wówczas na relację „niezależności”. Zbiór {A, B, ..., Z} punktów jest niezależny, [AB...Z] jeśli {A, B, ..., Z} jest minimalnym podzbiorem generującym dla podprzestrzeni AB...Z .

Aksjomaty rzutowe mogą być uzupełnione o kolejne aksjomaty postulujące ograniczenia wymiaru przestrzeni. Minimalny wymiar jest określony przez istnienie niezależnego zestawu o wymaganej wielkości. Dla najniższych wymiarów odpowiednie warunki mogą być podane w równoważnej formie w następujący sposób. Przestrzeń rzutowa składa się z:

• (L1) co najmniej wymiar 0, jeśli ma co najmniej 1 punkt,
• (L2) co najmniej wymiar 1, jeśli ma co najmniej 2 różne punkty (a więc linię),
• (L3) co najmniej wymiar 2, jeśli ma co najmniej 3 punkty niewspółliniowe (lub dwie linie lub linię i punkt nie na linii),
• (L4) co najmniej wymiar 3, jeśli ma co najmniej 4 punkty niewspółpłaszczyznowe.

W podobny sposób można również określić wymiar maksymalny. Dla najniższych wymiarów przybierają następujące formy. Przestrzeń rzutowa składa się z:

• (M1) co najwyżej wymiar 0, jeśli ma nie więcej niż 1 punkt,
• (M2) co najwyżej wymiar 1, jeśli ma nie więcej niż 1 linię,
• (M3) najwyżej wymiar 2, jeśli ma nie więcej niż 1 płaszczyznę,

i tak dalej. Jest to ogólne twierdzenie (konsekwencja aksjomatu (3)), że wszystkie współpłaszczyznowe linie przecinają się — ta sama zasada Geometria Projekcyjna została pierwotnie urzeczywistniona. Dlatego właściwość (M3) można równoważnie stwierdzić, że wszystkie linie przecinają się.

Ogólnie przyjmuje się, że przestrzenie rzutowe mają co najmniej wymiar 2. W niektórych przypadkach, jeśli nacisk kładzie się na płaszczyzny rzutowe, można postulować wariant M3. Aksjomaty (Eves 1997: 111) obejmują na przykład (1), (2), (L3) i (M3). Aksjomat (3) staje się bezsensownie prawdziwy pod (M3) i dlatego nie jest potrzebny w tym kontekście.

Aksjomaty dla płaszczyzn rzutowych

W geometrii padania większość autorów traktuje płaszczyznę Fano PG(2,2) jako najmniejszą skończoną płaszczyznę rzutową. System aksjomatów, który to osiąga, jest następujący:

• (P1) Dowolne dwa różne punkty leżą na unikalnej linii.
• (P2) Dwie różne linie spotykają się w unikalnym punkcie.
• (P3) Istnieją co najmniej cztery punkty, z których żadne trzy nie są współliniowe.

Wprowadzenie do geometrii Coxetera podaje listę pięciu aksjomatów dla bardziej restrykcyjnego pojęcia płaszczyzny rzutowej przypisywanej Bachmannowi, dodając twierdzenie Pappusa do powyższej listy aksjomatów (która eliminuje płaszczyzny niedesargueskie ) i wyłączając płaszczyzny rzutowe nad polami o charakterystyce 2 ( te, które nie spełniają aksjomatu Fano). Płaszczyzny ograniczone podane w ten sposób bardziej przypominają rzeczywistą płaszczyznę rzutową .

Perspektywa i projekcja

Biorąc pod uwagę trzy nie- współliniowe punkty istnieją trzy linie łączące je, ale z czterema punktami, bez trzech kolinearnymi istnieje sześć łączące linie i trzy dodatkowe punkty „przekątne” zależy od ich skrzyżowaniach. Nauka o geometrii rzutowej ujmuje tę nadwyżkę określoną przez cztery punkty poprzez relację czwartorzędową i rzuty, które zachowują pełną konfigurację czworokąta .

Czwórka harmoniczna punktów na linii występuje, gdy istnieje pełny czworokąt, z których dwa punkty po przekątnej znajdują się w pierwszej i trzeciej pozycji czworokąta, a pozostałe dwie pozycje są punktami na liniach łączących dwa punkty czworokąta przez trzeci punkt po przekątnej .

Przestrzenna perspektywiczność z rzutowej konfiguracji w jednej płaszczyźnie daje takiej konfiguracji, w drugiej, i to stosuje się do konfiguracji pełnego czworokąta. W ten sposób czwórki harmoniczne są zachowywane przez perspektywę. Jeśli jedna perspektywa podąża za drugą, następują konfiguracje. Kompozycja dwóch perspektyw nie jest już perspektywą, ale projekcją .

Podczas gdy wszystkie odpowiadające punkty perspektywy zbiegają się w jednym punkcie, ta zbieżność nie jest prawdziwa dla rzutowości, która nie jest perspektywą. W geometrii rzutowej szczególnie interesujące są przecięcia linii utworzonych przez odpowiadające im punkty rzutowania na płaszczyźnie. Zbiór takich przecięć nazywa się stożkiem rzutowym , aw uznaniu pracy Jakoba Steinera określa się go jako stożka Steinera .

Załóżmy, że rzutowość jest utworzona przez dwie perspektywy wyśrodkowane na punktach A i B , które wiążą x z X przez pośrednika p :

${\ Displaystyle x\ {\ overset {A}{\ doublebarwedge}}\ p\ {\ overset {B}{\ doublebarwedge}}\ X.}$

Projekcyjność jest następnie dana projekcyjność indukowana stożkowa jest ${\ Displaystyle x \ \ barwedge \ X.}$${\displaystyle \barwedge}$

${\ Displaystyle C (\ barwedge ) \ = \ \ bigcup \ {xX \ cdot yY: x \ barwedge X \ \ \ ziemia \ \ r \ barwedge Y \}.}$

Biorąc pod uwagę stożkową C i punkt P, który nie znajduje się na niej, dwie różne sieczne przechodzące przez P przecinają C w czterech punktach. Te cztery punkty wyznaczają czworokąt, którego P jest punktem przekątnym. Linia przechodząca przez pozostałe dwa punkty ukośne nazywana jest biegunem P, a P jest biegunem tej linii. Alternatywnie, linia polarny P jest zestaw projekcyjnych koniugatów harmonicznych o P o zmiennej siecznej przechodzącej przez P oraz C .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Geometria projekcyjna dla widzenia maszynowego — samouczek Joe Mundy i Andrew Zissermana.
• Notatki na podstawie The Real Projective Plane Coxetera .
• Geometria projekcyjna do analizy obrazu — bezpłatny samouczek autorstwa Rogera Mohra i Billa Triggsa.
• Geometria rzutowa. — darmowy samouczek Toma Davisa.
• Metoda Grassmanna w geometrii rzutowej Zestawienie trzech notatek Cesare Burali-Forti na temat zastosowania algebry zewnętrznej w geometrii rzutowej
• C. Burali-Forti, „Wprowadzenie do geometrii różniczkowej według metody H. Grassmanna” (tłumaczenie książki na język angielski)
• E. Kummer, „Ogólna teoria prostoliniowych układów promieni” (tłumaczenie angielskie)
• M. Pasch, „Na powierzchniach ogniskowych układów promieniowych i powierzchniach osobliwości kompleksów” (tłumaczenie angielskie)