Kwantyfikacja unikalności - Uniqueness quantification

W matematyce i logice termin „wyjątkowość” odnosi się do właściwości bycia jedynym przedmiotem spełniającym określony warunek. Ten rodzaj kwantyfikacji jest znany jako kwantyfikacja unikatowości lub kwantyfikacja unikatowa egzystencjalna i jest często oznaczany symbolami „ ∃ !” lub „∃ ₌₁ ”. Na przykład formalne oświadczenie

${\ Displaystyle \ istnieje! n \ w \ mathbb {N} \ (n-2 = 4)}$

można odczytywać jako „jest dokładnie jedna liczba naturalna taka, że ”. ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle n-2=4}$

Udowodnienie wyjątkowości

Najpopularniejszą techniką udowodnienia unikalnego istnienia określonego obiektu jest najpierw udowodnienie istnienia bytu w pożądanym stanie, a następnie udowodnienie, że dowolne dwa takie byty (powiedzmy, i ) muszą być sobie równe (tj.  ) . ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a=b}$

Na przykład, aby pokazać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, należy najpierw ustalić, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, a mianowicie 3; dowodem tej części jest po prostu weryfikacja, że ​​poniższe równanie jest zgodne: ${\displaystyle x+2=5}$

${\ Displaystyle 3 + 2 = 5.}$

Aby ustalić jednoznaczność rozwiązania, należy przystąpić do założenia, że ​​istnieją dwa rozwiązania, a mianowicie i , satysfakcjonujące . To jest, ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\tekst{i}}b+2=5.}$

Przez przechodniość równości,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Odjęcie 2 od obu stron daje następnie

${\displaystyle a=b.}$

co uzupełnia dowód, że 3 jest unikalnym rozwiązaniem . ${\displaystyle x+2=5}$

Ogólnie rzecz biorąc, zarówno istnienie (istnieje co najmniej jeden przedmiot), jak i jednoznaczność (istnieje co najwyżej jeden przedmiot) muszą być udowodnione, aby stwierdzić, że istnieje dokładnie jeden przedmiot spełniający ten warunek.

Alternatywnym sposobem udowodnienia wyjątkowości jest udowodnienie, że istnieje obiekt spełniający warunek, a następnie udowodnienie, że każdy obiekt spełniający warunek musi być równy . ${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Redukcja do zwykłej egzystencjalnej i uniwersalnej kwantyfikacji

Kwantyfikacja unikalności może być wyrażona w kategoriach egzystencjalnych i uniwersalnych kwantyfikatorów logiki predykatów , definiując formułę jako oznaczającą ${\ Displaystyle \ istnieje! xP (x)}$

${\ Displaystyle \ istnieje x \ (P (x) \, \ klin \ neg \ istnieje y \, (P (y) \ klin y \ neq x)),}$

co jest logicznie równoważne

${\ Displaystyle \ istnieje x \ (P (x) \ klin \ dla wszystkich y \ (P (y) \ do y = x)).}$

Równoważną definicją, która dzieli pojęcia istnienia i jednoznaczności na dwie klauzule, kosztem zwięzłości, jest

${\ Displaystyle \ istnieje x \ P (x) \ klin \ forall y \ \ forall z \ (P (y) \ klin P (z) \ do y = z).}$

Inną równoważną definicją, która ma tę zaletę, że jest zwięzła, jest:

${\ Displaystyle \ istnieje x \ \ forall y \ (P (y) \ leftrightarrow y = x).}$

Uogólnienia

Kwantyfikacja unikatowości może być uogólniona na kwantyfikację zliczającą (lub kwantyfikację numeryczną). Obejmuje to zarówno kwantyfikację postaci „dokładnie k obiektów istnieje tak, że…”, jak również „istnieje nieskończenie wiele obiektów takich, które…” oraz „istnieje tylko skończenie wiele obiektów takich, które…”. Pierwsza z tych form jest możliwa do wyrażenia przy użyciu zwykłych kwantyfikatorów, ale dwie ostatnie nie mogą być wyrażone w zwykłej logice pierwszego rzędu .

Wyjątkowość zależy od pojęcia równości . Poluzowanie tego do jakiejś grubszej relacji równoważności daje kwantyfikację niepowtarzalności aż do tej równoważności (w tych ramach regularna niepowtarzalność to „wyjątkowość aż do równości”). Na przykład wiele pojęć w teorii kategorii definiuje się jako unikatowe aż do izomorfizmu .

Znak wykrzyknika ( ), może być również używany jako osobny symbol kwantyfikacji, czyli , gdzie . Np. może być bezpiecznie używany w zastępczym aksjomie zamiast . ${\styl wyświetlania!}$${\displaystyle (\istnieje !xP(x))\leftrightarrow ((\istnieje xP(x))\ziemia (!xP(x)))}$${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\landp(b)\rightarrow a=b)}$${\displaystyle \istnieje!}$

Zobacz też

• Zasadniczo wyjątkowy
• Jeden gorący
• Singleton (matematyka)
• Twierdzenie o unikalności

Bibliografia

Bibliografia

• Kleene, Stephen (1952). Wprowadzenie do metamatematyki . Ishi Press International. P. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Wprowadzenie do logiki matematycznej i teorii typów do prawdy poprzez dowód (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Wyd. P. 233. Numer ISBN 1-4020-0763-9.