Funkcja iniekcyjna - Injective function

W matematyce An różnowartościową funkcja (znany również jako iniekcję lub jeden do jednej funkcji ) to funkcja f , który mapuje różne elementy do różnych elementów; to znaczy, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) implikuje x ₁ = x ₂ . Innymi słowy, każdy element funkcji za codomain jest obraz z co najwyżej jeden element swojej domenie . Terminu funkcja jeden-do-jednego nie należy mylić z korespondencją jeden-do-jednego, która odnosi się do funkcji bijective , czyli takich funkcji, że każdy element w przeciwdomenie jest obrazem dokładnie jednego elementu w domenie.

Homomorfizm między strukturami algebraicznymi to funkcja, która jest zgodna z operacjami struktur. Dla wszystkich popularnych struktur algebraicznych, aw szczególności dla przestrzeni wektorowych , homomorfizm iniekcyjny nazywany jest również monomorfizmem . Jednak w bardziej ogólnym kontekście teorii kategorii definicja monomorfizmu różni się od homomorfizmu iniektywnego. Jest to więc twierdzenie, że są one równoważne dla struktur algebraicznych; zobacz Homomorfizm § Monomorfizm po więcej szczegółów.

Funkcja, która nie jest iniektywna, jest czasami nazywana wiele-do-jednego. ${\displaystyle f}$

Definicja

Niech będzie funkcją, której dziedzina jest zbiorem Funkcja jest iniektywna pod warunkiem, że dla wszystkich oraz w if then ; czyli zakłada równoważnie, jeśli potem${\displaystyle f}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$${\displaystyle a=b}$${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$${\displaystyle a=b.}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle f(a)\neq f(b).}$

Symbolicznie,

$${\ Displaystyle \ dla wszystkich a, b \ w X \; \; f (a) = f (b) \ strzałka w prawo a = b,}$$

$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\rightarrow f(a)\neq f(b).}$$

Przykłady

Funkcje iniekcyjne. Interpretacja diagramatyczna w płaszczyźnie kartezjańskiej , określona przez odwzorowanie gdzie dziedzina funkcji , zakres funkcji , i oznacza obraz Każdego na mapach do dokładnie jednego unikalnego w Zakreślone części osi reprezentują zbiory dziedzin i zakresów – zgodnie ze standardem schematy powyżej.${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle X=}$${\displaystyle Y=}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {im} (f)}$${\displaystyle fa.}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle Y.}$

• Dla każdego zestawu i dowolnego podzbioru mapa włączenie (która wysyła żadnego elementu do siebie) jest injective. W szczególności funkcja tożsamości jest zawsze iniektywna (i faktycznie bijektywna).${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\ Displaystyle S \ do X}$${\displaystyle s\w S}$ ${\ Displaystyle X \ do X}$
• Jeśli dziedziną funkcji jest pusty zbiór , to funkcja jest pustą funkcją , która jest iniektywna.
• Jeśli dziedzina funkcji ma jeden element (czyli jest to zbiór singletonów ), to funkcja jest zawsze iniektywna.
• Funkcja zdefiniowana przez jest iniektywna.${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f (x) = 2x+1}$
• Funkcja zdefiniowana przez nie jest iniektywna, ponieważ (na przykład) Jeśli jednak zostanie przedefiniowana tak, że jej dziedziną są nieujemne liczby rzeczywiste [0,+∞), to jest iniektywna.${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle g (x) = x ^ {2}}$${\ Displaystyle g (1) = 1 = g (-1).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$
• Funkcja wykładnicza zdefiniowana przez jest injektywna (ale nie surjektywna, ponieważ żadna wartość rzeczywista nie jest odwzorowywana na liczbę ujemną).${\ Displaystyle \ exp : \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}}$
• Naturalny logarytm funkcji określa się za pomocą wstrzyknięć.${\ Displaystyle \ ln : (0, \ infty ) \ do \ mathbb {R} }$${\ Displaystyle x \ mapsto \ ln x}$
• Funkcja zdefiniowana przez nie jest iniektywna, ponieważ np.${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle g (x) = x ^ {n} -x}$${\ Displaystyle g (0) = g (1) = 0.}$

Mówiąc bardziej ogólnie, gdy obie są i są linią rzeczywistą, funkcja iniekcyjna to taka, której wykres nigdy nie jest przecinany przez żadną linię poziomą więcej niż raz. Zasada ta nazywana jest testem linii poziomej . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ,}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

Nie jest funkcją iniekcyjną. Tutaj i są podzbiorami i są podzbiorami : dla dwóch regionów, w których funkcja nie jest iniektywna, ponieważ więcej niż jeden element domeny może mapować na pojedynczy element zakresu. Oznacza to, że więcej niż jeden in może być mapowany na ten sam in${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X,Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\ Displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$${\ Displaystyle Y.}$

Wykonywanie funkcji iniektywnych. Poprzednia funkcja może zostać zredukowana do jednej lub więcej funkcji iniekcyjnych (powiedzmy) i pokazana za pomocą pełnych krzywych (części początkowej krzywej z długimi kreskami nie są już mapowane). Zauważ, że reguła się nie zmieniła – tylko domena i zakres. i są podzbiorami i są podzbiorami : dla dwóch regionów, w których początkowa funkcja może być iniektywna, tak że jeden element domeny może być odwzorowany na pojedynczy element zakresu. Oznacza to, że tylko jeden na mapach do jednego w${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle f:X_{1}\do Y_{1}}$${\displaystyle f:X_{2}\do Y_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X,Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle Y.}$

Zastrzyki można cofnąć

Funkcje z lewostronnymi odwrotnościami są zawsze wstrzyknięciami. Oznacza to, że podana, jeśli istnieje funkcja taka, że ​​dla każdego${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle g:Y\do X}$${\displaystyle x\wX}$

${\displaystyle g(f(x))=x}$( można cofnąć przez ), to jest injective. W tym przypadku jest nazywana odsunięcie od Odwrotnie, nazywany jest odcinek od${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fa.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

I odwrotnie, każdy wstrzyknięcie z niepustą domeną ma lewą odwrotność, którą można zdefiniować, ustalając element w domenie tak, aby był równy unikalnemu wstępnemu obrazowi under, jeśli istnieje i w inny sposób. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle g (x) = 1}$

Lewy odwrotny niekoniecznie jest odwrotny od ponieważ kompozycja w drugiej kolejności, może różnić się od identyfikacyjnych Innymi słowy, za pomocą wstrzyknięć funkcja może być „odwrócone” przez lewą odwrotnej, ale nie zawsze jest odwracalny , co wymaga, aby funkcja jest bijektywna. ${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$${\ Displaystyle Y.}$

Zastrzyki mogą być odwracalne

W rzeczywistości, aby przekształcić funkcję iniektywną w funkcję bijektywną (a więc odwracalną), wystarczy zastąpić jej współdziedzinę jej rzeczywistym zakresem To znaczy, niech tak, że dla wszystkich ; to jest bijektywna. Rzeczywiście, można rozłożyć na czynniki, ponieważ gdzie jest funkcja inkluzji od do${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle J = f (X).}$${\displaystyle g:X\do J}$${\ Displaystyle g (x) = f (x)}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ Operatorname {In} _ {J, Y} \ Circ g}$${\ Displaystyle \ Operatorname {In} _ {J, Y}}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle Y.}$

Mówiąc bardziej ogólnie, częściowe funkcje iniektywne nazywane są bijecjami częściowymi .

Inne właściwości

• Jeśli i są iniektywne, to jest iniektywne.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\circ g}$

Złożenie dwóch funkcji iniektywnych jest iniektywne.

• Jeśli jest iniektywna, to jest iniektywna (ale nie musi być).${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\do Y}$jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy przy danych funkcjach zawsze wtedy Innymi słowy, funkcje iniektywne są dokładnie monomorfizmami w kategorii Zbiór zbiorów.${\displaystyle g}$ ${\ Displaystyle h: W \ do X}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h.}$
• Jeśli jest za pomocą wstrzyknięć i jest podzbiorem z czym ten sposób można wyodrębniać z ich obrazem${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle f ^ {-1} (f (A)) = A.}$${\ Displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• Jeśli jest iniektywna i i są podzbiorami to${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle f (A \ czapka B) = f (A) \ czapka f (B).}$
• Każda funkcja może zostać rozłożony tak na odpowiednim iniekcji i surjection rozkładu Jest unikalne do izomorfizmie i może być uważany za funkcję włączenia zakresu od jako podzbiór codomain z${\ Displaystyle h: W \ do Y}$${\displaystyle h=f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle h(W)}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle h.}$
• Jeśli jest funkcją iniektywną, to ma co najmniej tyle elementów, ile jest w sensie liczb kardynalnych . W szczególności, jeśli dodatkowo występuje zastrzyk od do wtedy i mają ten sam numer kardynalny. (Jest to znane jako twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schroedera ).${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$
• Jeśli oba i są skończone z taką samą liczbą elementów, to jest iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywna (w tym przypadku jest bijektywna).${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• Funkcja iniekcyjna będąca homomorfizmem między dwiema strukturami algebraicznymi jest osadzaniem .
• W przeciwieństwie do suriektywności, która jest relacją między wykresem funkcji a jej przeciwdziedziną, injektywność jest właściwością wykresu samej funkcji; to znaczy, czy funkcja jest iniektywna, można zdecydować, biorąc pod uwagę tylko graf (a nie przeciwdziedzinę)${\displaystyle f}$${\displaystyle fa.}$

Udowodnienie, że funkcje są iniektywne

Dowód, że funkcja jest iniektywna, zależy od tego, jak funkcja jest prezentowana i jakie właściwości ma funkcja. Dla funkcji, które są podane przez jakąś formułę, istnieje podstawowa idea. Posługujemy się definicją wstrzykiwania, a mianowicie, że jeśli to${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x) = f (y)}$${\displaystyle x=y.}$

Oto przykład:

$${\ Displaystyle f (x) = 2x + 3}$$

Dowód: Załóżmy, że tak implikuje, co implikuje Dlatego wynika z definicji, która jest iniektywna. ${\displaystyle f:X\do Y.}$${\ Displaystyle f (x) = f (y).}$${\ Displaystyle 2x+3=2y+3}$${\displaystyle 2x=2y}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle f}$

Istnieje wiele innych metod dowodzenia, że ​​funkcja jest iniektywna. Na przykład w rachunku różniczkowym, jeśli jest funkcją różniczkowalną określoną na pewnym przedziale, to wystarczy pokazać, że pochodna jest zawsze dodatnia lub zawsze ujemna na tym przedziale. W algebrze liniowej, jeśli jest transformacją liniową, wystarczy pokazać, że jądro zawiera tylko wektor zerowy. Jeśli jest funkcją o skończonej dziedzinie, wystarczy przejrzeć listę obrazów każdego elementu domeny i sprawdzić, czy żaden obraz nie występuje dwa razy na liście. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Graficznym podejściem do funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej jest test linii poziomej . Jeśli każda linia pozioma przecina krzywą w co najwyżej jednym punkcie, to jest iniektywna lub jeden do jednego. ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

Zobacz też

• Bijekcja, iniekcja i surjekcja  – Własności funkcji matematycznych
• Przestrzeń metryczna iniekcyjna  – Rodzaj przestrzeni metrycznej
• Funkcja monotoniczna
• Funkcja jednowartościowa

Uwagi

Bibliografia

• Bartle, Robert G. (1976), Elementy analizy rzeczywistej (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, P. 17 i następne .
• Halmos, Paul R. (1974), naiwna teoria mnogości , New York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, P. 38 i następne .

Zewnętrzne linki

• Najwcześniejsze zastosowania niektórych słów matematyki: hasło dotyczące wstrzykiwania, surjekcji i bijekcji zawiera historię wstrzykiwania i pokrewnych terminów.
• Khan Academy – Funkcje surjekcyjne (onto) i injekcyjne (jeden do jednego): Wprowadzenie do funkcji suriektywnych i iniekcyjnych