Wskaż nieskończoność - Point at infinity
W geometrii , A punkt w nieskończoności i idealny punkt stanowi wyidealizowany punkt ograniczający na „końcu” w każdej linii.
W przypadku płaszczyzny afinicznej (w tym płaszczyzny euklidesowej ) istnieje jeden idealny punkt dla każdego ołówka równoległych linii płaszczyzny. Połączenie tych punktów tworzy rzutową płaszczyznę , w której nie można rozróżnić żadnego punktu, jeśli „zapomnimy”, które punkty zostały dodane. Dotyczy to geometrii dowolnego pola , a bardziej ogólnie każdego pierścienia podziału .
W rzeczywistości punkt w nieskończoności zamyka linię w topologicznie zamkniętą krzywą. W wyższych wymiarach wszystkie punkty w nieskończoności tworzą podprzestrzeń rzutową o jeden wymiar mniejszą niż cała przestrzeń rzutowa, do której należą. Punkt w nieskończoności można również dodać do złożonej linii (którą można uważać za złożoną płaszczyznę), zamieniając ją w ten sposób w zamkniętą powierzchnię znaną jako złożona linia rzutowa, C P 1 , zwaną również sferą Riemanna (gdy jest złożona numery są mapowane do każdego punktu).
W przypadku przestrzeni hiperbolicznej każda linia ma dwa różne punkty idealne . W tym przypadku zbiór punktów idealnych ma postać kwadratu .
Geometria afiniczna
W przestrzeni afinicznej lub euklidesowej o wyższym wymiarze punkty w nieskończoności to punkty, które są dodawane do przestrzeni, aby uzyskać zakończenie rzutowe . Zbiór punktów w nieskończoności nazywany jest, w zależności od wymiaru przestrzeni, linią w nieskończoności , płaszczyzną w nieskończoności lub hiperpłaszczyzną w nieskończoności , we wszystkich przypadkach przestrzenią rzutową o jednym wymiarze mniej.
Ponieważ przestrzeń rzutowa nad ciałem jest gładką odmianą algebraiczną , to samo dotyczy zbioru punktów w nieskończoności. Podobnie, jeśli pole naziemne jest polem rzeczywistym lub złożonym, zbiór punktów w nieskończoności jest rozmaitością .
Perspektywiczny
Z punktu widzenia rysunku artystycznego i technicznego rzutowanie na płaszczyznę obrazu punktu w nieskończoności klasy równoległych linii nazywa się ich znikaniem .
Geometria hiperboliczna
W geometrii hiperbolicznej , punkty w nieskończoności są zwykle nazywane idealnych punktów . W przeciwieństwie do geometrii euklidesowej i eliptycznej , każda prosta ma dwa punkty w nieskończoności: biorąc pod uwagę linię l i punkt P nie leżący na l , równoleżniki ograniczające prawą i lewą zbiegają się asymptotycznie do różnych punktów w nieskończoności.
Wszystkie punkty w nieskończoności razem tworzą absolut Cayleya lub granicę płaszczyzny hiperbolicznej .
Geometria rzutowa
Symetria punktów i linii powstaje na płaszczyźnie rzutowej: tak jak para punktów wyznacza linię, tak para linii wyznacza punkt. Istnienie równoległych linii prowadzi do ustalenia punktu w nieskończoności, który reprezentuje przecięcie tych podobieństw. Ta aksjomatyczna symetria wyrosła z badania perspektywy graficznej, w której równoległa projekcja powstaje jako projekcja centralna, gdzie środek C jest punktem w nieskończoności lub punktem graficznym . Aksjomatyczna symetria punktów i linii nazywa się dualnością .
Chociaż punkt w nieskończoności jest traktowany na równi z jakimkolwiek innym punktem z zakresu rzutowania , w reprezentacji punktów o współrzędnych rzutowych należy zauważyć rozróżnienie: punkty skończone są reprezentowane przez 1 we współrzędnej końcowej, podczas gdy punkt w nieskończoności ma 0 tam. Potrzeba reprezentowania punktów w nieskończoności wymaga jednej dodatkowej współrzędnej poza przestrzenią punktów skończonych.
Inne uogólnienia
Konstrukcję tę można uogólnić na przestrzenie topologiczne . Różne zwartych mogą istnieć dla danej przestrzeni, ale dowolna przestrzeń topologiczna przyznaje Aleksandrowa rozszerzenie , zwany również jednopunktowy zwartym , gdy oryginalna przestrzeń sama nie jest zwarty . Linia rzutowania (nad dowolnym polem) jest rozszerzeniem Alexandroffa odpowiedniego pola. Zatem okrąg jest jednopunktowym zwartością rzeczywistej prostej , a sfera jest jednopunktowym zwartością płaszczyzny. Przestrzenie rzutowe P n dla n > 1 nie są jednopunktowymi zwartościami odpowiadających im przestrzeni afinicznych z powodu wymienionego powyżej w § Geometria afiniczna , a uzupełnienia przestrzeni hiperbolicznych punktami idealnymi również nie są zwartościami jednopunktowymi.
Zobacz też
- Dzielenie przez zero
- Sfera w nieskończoności
- Punkt środkowy § Uogólnienia
- Asymptota § Krzywe algebraiczne