Iloraz (algebra uniwersalna) - Quotient (universal algebra)

W matematyce , A Algebra iloraz jest wynikiem podziału elementów w algebraicznej struktury stosując kongruencją . Algebry ilorazowe są również nazywane algebrami czynnikowymi . Tutaj relacja kongruencji musi być relacją równoważności, która jest dodatkowo kompatybilna ze wszystkimi operacjami algebry, w sensie formalnym opisanym poniżej. Jego klasy równoważności dzielą elementy danej struktury algebraicznej. Algebra ilorazowa ma te klasy jako swoje elementy, a warunki zgodności służą do nadania klasom struktury algebraicznej.

Pomysł streszczeń iloraz Algebra na wspólnym pojęciem struktura iloraz iloraz pierścieni z teorią pierścienia , grup iloraz z teorii grup , na przestrzenie ilorazowe z liniowym Algebra i moduł ilorazowy z teorii reprezentacji do wspólnej ramy.

Zgodna relacja

Niech będzie zbiorem elementów algebry , i niech E będzie relacją równoważności na zbiorze A . Mówi się, że relacja E jest zgodna z (lub ma własność substytucji w odniesieniu do) n -arnej operacji f , jeśli for implikuje dla dowolnego with . Relacja równoważności zgodna ze wszystkimi operacjami algebry nazywana jest kongruencją w odniesieniu do tej algebry. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle (a_ {i}, \; b_ {i}) \ w E}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$${\ displaystyle (f (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}), f (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})) \ in E}$${\ displaystyle a_ {i}, \; b_ {i} \ in A}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$

Algebry ilorazowe i homomorfizmy

Każda relacja równoważności E w zbiorze A dzieli ten zbiór na klasy równoważności . Zestaw tych klas równoważności jest zwykle nazywany zestaw iloraz i oznaczono / E . Dla algebry łatwo jest zdefiniować operacje wywołane na elementach A / E, jeśli E jest kongruencją. W szczególności, dla każdej operacji na liczbę operandów w (gdzie górny oznacza po prostu, że jest to operacja , a indeks wylicza funkcji oraz ich arities) określa jako gdzie oznacza klasę równoważności wytwarzany przez E ( „ x  modulo  E ” ). ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E} :( A / E) ^ {n_ {i}} \ do A / E}$${\ displaystyle f_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E} ([a_ {1}] _ {E}, \ ldots, [a_ {n_ {i}}] _ {E}) = [ f_ {i} ^ {\ mathcal {A}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n_ {i}})] _ {E}}$${\ Displaystyle [x] _ {E} \ w A / E}$${\ displaystyle x \ in A}$

Dla Algebra , otrzymuje współgrają E w The Algebra nazywa się algebraiczne iloraz (lub czynnik algebraiczne ) z modulo E . Istnieje naturalny homomorfizm od do odwzorowania każdego elementu na jego klasę równoważności. W rzeczywistości, każdy homomorfizm h określa kongruencją poprzez jądro z homomorfizmu, . ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = (A, (f_ {i} ^ {\ mathcal {A}}) _ {ja \ w I})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / E = (A / E, (F_ {i} ^ {{\ mathcal {A}} / E}) _ {i \ in I})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} / E}$${\ Displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h = \ {(a, a ') \ in A ^ {2} \, | \, h (a) = h (a') \} \ subseteq A ^ {2}}$

Biorąc pod uwagę algebrę , homomorfizm h definiuje zatem dwie algebry homomorficzne z obrazem h ( ) i Oba są izomorficzne , co jest wynikiem znanym jako twierdzenie o obrazie homomorficznym lub jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla algebry uniwersalnej. Formalnie niech będzie suriektywnym homomorfizmem. Następnie istnieje unikalny izomorfizm g od na taki, że g składa się z naturalnego homomorfizmu indukowanego przez równe h . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$${\ displaystyle h: {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} / \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {ker}} \, h}$

Krata kongruencji

Dla każdej algebry na zbiorze A , w stosunku tożsamości na i są trywialne kongruencje. Algebra bez innych kongruencji nazywana jest prostą . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A \ razy A}$

Niech będzie zbiorem kongruencji w algebrze . Ponieważ kongruencje są zamknięte w przecięciu, możemy zdefiniować operację spotkania : po prostu biorąc przecięcie kongruencji . ${\ displaystyle \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ wedge: \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ times \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ to \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A} })}$${\ Displaystyle E_ {1} \ klin E_ {2} = E_ {1} \ nasadka E_ {2}}$

Z drugiej strony kongruencje nie są zamknięte w zjednoczeniu. Jednakże, można zdefiniować zamknięcie każdego binarnego relacji E , w odniesieniu do ustalonej Algebra , tak, że jest zbieżność w następujący sposób: . Zauważ, że zamknięcie relacji binarnej jest kongruencją i dlatego zależy od operacji w , a nie tylko od zbioru nośnego. Teraz zdefiniuj jako . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ langle E \ rangle _ {\ mathcal {A}} = \ bigcap \ {F \ in \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ mid E \ subseteq F \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ vee: \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ times \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ to \ mathrm {Con} ({\ mathcal {A} })}$${\ Displaystyle E_ {1} \ vee E_ {2} = \ langle E_ {1} \ cup E_ {2} \ rangle _ {\ mathcal {A}}}$

Dla każdej algebry , z dwoma operacjami zdefiniowanymi powyżej form do siatki , zwany kongruencja kratownica z . ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Con} ({\ mathcal {A}}) \ klin \ vee)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Warunki Malcewa

Jeśli dwa kongruencje permutacji (dojazdy) z złożenie relacji jak działania, czyli , a następnie ich przyłączenia (w kongruencja krata) jest równa ich składzie: . Algebra nazywana jest zgodnością-permutacją, jeśli każda para jej kongruencji jest permutna; podobnie mówi się, że odmiana jest zgodna-permutowalna, jeśli wszystkie jej elementy są algebrami permutowalnymi. ${\ Displaystyle \ alpha \ circ \ beta = \ beta \ circ \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha \ circ \ beta = \ alpha \ vee \ beta}$

W 1954 roku Anatolij Malcew ustalił następującą charakterystykę odmian podlegających kongruencji permutacji: odmiana jest permutowalna przy kongruencji wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje trójskładnikowy termin q ( x , y , z ) taki, że q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x ) ; nazywa się to terminem maltsev, a odmiany posiadające tę właściwość nazywane są odmianami maltsev. Charakterystyka Malcewa wyjaśnia dużą liczbę podobnych wyników w grupach (weź q = xy ⁻¹ z ), pierścienie, kwazgrupy (weź q = (x / (y \ y)) (y \ z)) , uzupełnione kraty , algebry Heytinga itp. Co więcej, każda algebra podlegająca permutacji jest zgodna modularna, tj. Jej sieć kongruencji jest również siatką modularną ; sytuacja odwrotna nie jest jednak prawdą.

Po wyniku Maltseva, inni badacze znaleźli charakterystyki oparte na warunkach podobnych do tych, które wykrył Maltsev, ale dla innych rodzajów właściwości, np. W 1967 roku Bjarni Jónsson znalazł warunki dla odmian posiadających sieci kongruencji, które są dystrybucyjne (tak zwane odmiany kongruencji-dystrybucji). Ogólnie takie warunki nazywane są warunkami Malcewa.

Ten kierunek badań doprowadził do opracowania algorytmu Pixleya-Wille'a do generowania warunków Maltseva związanych z tożsamościami kongruencji.

Zobacz też

• Pierścień ilorazowy
• Problem kraty kongruencji
• Krata podgrup

Uwagi

Bibliografia

• Klaus Denecke; Shelly L. Wismath (2009). Algebra uniwersalna i koalgebra . World Scientific. s. 14–17. ISBN   978-981-283-745-5 .
• Purna Chandra Biswal (2005). Matematyka dyskretna i teoria grafów . PHI Learning Pvt. Ltd. str. 215. ISBN   978-81-203-2721-4 .
• Clifford Bergman (2011). Algebra uniwersalna: podstawy i wybrane tematy . CRC Press. s. 122–124, 137 (odmiany Maltsev). ISBN   978-1-4398-5129-6 .