Jądro (teoria mnogości) - Kernel (set theory)

W teorii zbiorów The jądro z funkcją f (lub równoważne jądra ), mogą być uważane zarówno za

• relacją równoważności na funkcji w domenie , która z grubsza wyraża ideę „równoważne o ile funkcja f może powiedzieć”, czy
• odpowiednia partycja domeny.

Definicja

Za formalne definicji pozwolić X i Y są zestawy i pozwolić F jako funkcję od X do Y . Elementy x ₁ oraz x ₂ z X jest równoważne , jeśli f ( x ₁ ), a f ( x ₂ ) są równe , to znaczy takie same element Y . Jądrem funkcji f jest tak zdefiniowana relacja równoważności.

Iloraz

Jak każda relacja równoważności, jądro można zmodyfikować, aby utworzyć zestaw ilorazów , a zestaw ilorazów jest partycją:

${\ Displaystyle \ lewo \ {\, \ lewo \ {\, w \ w X \ środkowej fa (x) = f (w) \ \ prawej \} \ środkowej x \ w X \ \ \ prawej \}.}$

Zestaw ten iloraz X / = _f jest nazywany koobraz z funkcji f i oznaczono COIM f (lub jego wariant). Koobraz jest naturalnie izomorficzny (w teoretyczno-teoretycznym sensie bijekcji ) z obrazem , im f ; Konkretniej, klasa równoważna z X z X (która jest elementem COIM f ) odpowiada f ( x ) w Y (która jest elementem im f ).

Jako podzbiór kwadratu

Jak każdy relacji binarnej , jądro z funkcji mogą być traktowane jako podzbiór z iloczynu kartezjańskiego X x X . W tym przebraniu jądro może być oznaczone ker f (lub odmianą) i może być zdefiniowane symbolicznie jako

${\ displaystyle \ operatorname {ker} f: = \ {(x, x ') \ mid f (x) = f (x') \}}$.

Badanie właściwości tego podzbioru może rzucić światło na f .

W strukturach algebraicznych

Jeśli X i Y są strukturami algebraicznymi pewnego typu ustalonego (na przykład grupy , pierścienie lub przestrzenie wektorowe ), a funkcja f od X do Y jest homomorfizmem , to ker f jest relacją kongruencji (czyli relacją równoważności, która jest zgodna ze strukturą algebraicznego) i koobraz z F jest iloraz z X . Bijekcja między koobrazem a obrazem f jest izomorfizmem w sensie algebraicznym; jest to najbardziej ogólna postać pierwszego twierdzenia o izomorfizmie . Zobacz także Kernel (algebra) .

W przestrzeniach topologicznych

Jeżeli X i Y są przestrzenie topologiczne i K jest funkcją ciągłą między nimi, to właściwości topologicznych ker f może rzucić światło na przestrzenie X i Y . Na przykład, jeśli Y jest przestrzenią Hausdorffa , to ker f musi być zbiorem zamkniętym . I odwrotnie, jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, a ker f jest zbiorem zamkniętym, to koobraz f , jeśli ma się topologię przestrzeni ilorazowej , również musi być przestrzenią Hausdorffa.

Bibliografia

Źródła

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoria kategorii . Przewodniki Oxford Logic. 49 (wyd. 2). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.