kategoria iloraz - Quotient category

W matematyce , A kategoria iloraz jest kategoria uzyskane z innego przez określenie zestawów morfizmów . Formalnie, jest to celem iloraz w kategorii (małe) kategorii analogiczne do grupy iloraz lub iloraz przestrzeni , lecz w kategorycznego ustawienia.

Definicja

Niech C będzie kategorią. Kongruencja R w C jest podane przez: dla każdej pary przedmiotów X , Y, w C , w relacji równoważności R _{X , Y} na Hom ( X , Y ), tak że kompozycja szacunek stosunki Równoważność morfizmów. Oznacza to, że jeśli

${\ F_ displaystyle {1}, {2} F_ X \ w Y \}$

odnoszą się Hom ( X , Y ), i

${\ Displaystyle G_ {1}, {2} G_: Y \, aby Z \,}$

odnoszą się Hom ( Y , Z ), po czym g ₁ C ₁ i g ₂ K ₂ są związane w Hom ( X , Z ).

Biorąc pod uwagę kongruencja R o C możemy zdefiniować kategorię iloraz C / R jako kategorii, której obiekty są te o C i którego morfizmami są równoważności zajęcia z morfizmów w C . To jest,

${\ Displaystyle \ operatorname {hom} _ {{\ mathcal {C}} / R} (X, Y) = \ operatorname {hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) / R_ {X, Y }.}$

Skład morfizmów w C / R jest dobrze określone , ponieważ R jest kongruencją.

Nieruchomości

Istnieje naturalna iloraz funktor z C na C / B , który wysyła każdy morfizm do tej klasy równoważności. Ten funktor jest bijective na obiektach i suriekcją na Hom zestawów (czyli jest to pełny funktor ).

Każdy funktor F  : C → D określa zbieżność na C mówiąc f ~ g IFF F ( f ) = C ( g ). Funktor F następnie czynniki przez iloraz funktora C → C / ~ w unikalny sposób. To może być traktowane jako „ pierwszy izomorfizmu twierdzenia ” dla funktorów.

Przykłady

• Monoids i grupy mogą być traktowane jako kategorie z jednego obiektu. W tym przypadku kategoria iloraz pokrywa się z pojęciem monoid ilorazu lub grupy iloraz .
• Kategoria homotopii przestrzeni topologicznych htop jest kategorią iloraz góry , w kategorii przestrzeni topologicznych . Klasy równoważności morfizmów są homotopią klas ciągłych map.
• Niech k będzie pole i rozważyć Kategoria Abelowa Mod ( k ) wszystkich przestrzeni wektorowych nad k z k map -linear jak morfizmów. Do „zabicia” wszystkich skończenie wymiarowej przestrzeni, możemy wywołać dwa liniowe mapy f , g  : X → Y przystające IFF ich różnica jest skończenie wymiarowa obraz. W powstałej kategorii iloraz wszystkie skończonych wymiarowej przestrzeni wektorowe są izomorficzne 0. [Jest to rzeczywiście przykład iloraz dodatków kategorii, patrz niżej].

pojęcia pokrewne

Iloraz kategorii dodatków modulo ideały

Jeśli C jest kategorii dodatków i wymagają kongruencją ~ o C jako dodatku (jeśli f ₁ , K ₂ , g ₁ i g ₂ są morfizmami od X do Y o f ₁ ~ f ₂ i g ₁ ~ g ₂ , po czym f ₁ + f ₂ ~ g ₁ + g ₂ ), a następnie kategorii iloraz C / ~ będzie także dodatek, a iloraz funktor C → C / ~ będzie funktor dodatek.

Pojęcie stosunku dodatek kongruencji jest równoznaczne z pojęciem dwustronnego ideału morfizmów : dla wszystkich obiektów dwoma X i Y daje nam się podgrupę dodatek I ( X , Y ), z Hom _C ( X , Y ) tak, że dla wszystkich f ∈ i ( X , Y ), g ∈ hom _C ( Y , z ) i H ∈ hom _C ( w , X ), mamy GF ∈ i ( X , z ) i FH ∈ i ( w , Y ) , Dwa morfizmami w Hom _C ( X , Y ) są przystające IFF ich różnica w I ( X , Y ).

Unital każdy pierścień może być postrzegane jako kategorii dodatków z jednego przedmiotu, oraz ilorazu kategorii dodatków określonych powyżej w tym przypadku pokrywa się z pojęciem pierścienia iloraz modulo dwustronny ideału.

Mapa z kategorii

Lokalizacja kategorii wprowadza nowe morfizmów obrócić kilka morfizmów oryginalnego kategoria jest w isomorphisms. Prowadzi to do zwiększenia liczby morfizmów między obiektami, a nie zmniejsza się, jak w przypadku kategorii iloraz. Ale w obu konstrukcjach często zdarza się, że dwa obiekty stają izomorficzne, że nie były izomorficzne w oryginalnym kategorii.

Serre Iloraz abelian kategoriach

Serre iloraz o Kategoria Abelowa przez podkategorii Serre to nowa kategoria abelowa który jest podobny do kategorii iloraz ale również w wielu przypadkach ma charakter lokalizacji kategorii.

Referencje

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla matematyk roboczej . Absolwent Teksty w Matematyki . 5 (druga red.). Springer-Verlag.