Dobrze zdefiniowane wyrażenie - Well-defined expression

W matematyce , A dobrze zdefiniowany wyrażeniem lub jednoznaczne ekspresji jest ekspresja którego określenie przydziela mu unikalny interpretacji lub wartości. W przeciwnym razie mówi się, że wyrażenie nie jest dobrze zdefiniowane , źle zdefiniowane lub niejednoznaczne . Funkcja jest dobrze zdefiniowana, jeśli daje ten sam wynik w przypadku zmiany reprezentacji wejścia bez zmiany wartości wejścia. Na przykład, jeśli f przyjmuje liczby rzeczywiste jako dane wejściowe, a jeśli f (0,5) nie jest równe f (1/2), to f nie jest dobrze zdefiniowane (a zatem nie jest funkcją). Termin dobrze zdefiniowany może być również użyty do wskazania, że ​​wyrażenie logiczne jest jednoznaczne lub niesprzeczne.

Funkcja, która nie jest dobrze zdefiniowana, nie jest tym samym, co funkcja niezdefiniowana . Na przykład, jeśli f ( x ) = 1 / x , to fakt, że f (0), nie jest zdefiniowane, nie znaczy, że F jest nie dobrze określone - jednak, że 0 jest po prostu w domenie z F .

Przykład

Pozwolić być zestawy, niech i „określenia” jak gdyby i jeśli . ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$${\displaystyle A=A_{0}\kubek A_{1}}$${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$${\ Displaystyle f (a) = 0}$${\displaystyle a\w A_{0}}$${\ Displaystyle f (a) = 1}$${\displaystyle a\w A_{1}}$

Wtedy jest dobrze zdefiniowany, jeśli . Na przykład, jeśli i , to byłoby dobrze zdefiniowane i równe . ${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\pusty zestaw \!}$${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$${\ Displaystyle A_ {1}: = \ {3,5 \}}$${\ Displaystyle f (a)}$${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Jednak jeśli , to nie byłoby dobrze zdefiniowane, ponieważ jest „niejednoznaczne” dla . Na przykład, jeśli i , wtedy musiałoby być równe 0 i 1, co czyni go niejednoznacznym. W rezultacie ta ostatnia nie jest dobrze zdefiniowana, a zatem nie jest funkcją. ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f (a)}$${\ Displaystyle a \ w A_ {0} \ czapka A_ {1}}$${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$${\displaystyle f(2)}$${\displaystyle f}$

„Definicja” jako antycypacja definicji

Aby uniknąć apostrofów wokół "definiować" w poprzednim prostym przykładzie, "definicję" można podzielić na dwa proste logiczne kroki: ${\displaystyle f}$

Podczas gdy definicja w kroku 1 jest sformułowana z dowolnością dowolnej definicji i jest z pewnością skuteczna (bez konieczności klasyfikowania jej jako „dobrze zdefiniowana”), twierdzenie w kroku 2 musi zostać udowodnione. Oznacza to, że jest funkcją wtedy i tylko wtedy , gdy , w którym to przypadku – jako funkcja – jest dobrze zdefiniowana. Z drugiej strony, jeśli , to dla an , mielibyśmy to i , co sprawia, że ​​relacja binarna nie jest funkcjonalna (zgodnie z definicją w Binary relations#Specjalne typy relacji binarnych ), a zatem nie jest dobrze zdefiniowana jako funkcja. Potocznie „funkcja” nazywana jest również w punkcie niejednoznaczną (chociaż z definicji nigdy nie istnieje „funkcja niejednoznaczna”), a pierwotna „definicja” jest bezcelowa. Pomimo tych subtelnych problemów logicznych dość powszechne jest przewidywalne używanie terminu definicja (bez apostrofów) dla tego rodzaju „definicji” – z trzech powodów: ${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\pusty zestaw}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset}$${\ Displaystyle a \ w A_ {0} \ czapka A_ {1}}$${\displaystyle (a,0)\inf}$ ${\displaystyle (a,1)\inf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

1. Zapewnia poręczny skrót dwuetapowego podejścia.
2. Odpowiednie rozumowanie matematyczne (tj. krok 2) jest takie samo w obu przypadkach.
3. W tekstach matematycznych twierdzenie jest prawdziwe „do 100%”.

Niezależność przedstawiciela

Pytanie o dobrze zdefiniowaną funkcję pojawia się klasycznie, gdy równanie definiujące funkcji nie (tylko) odwołuje się do samych argumentów, ale (także) do elementów argumentów, pełniących rolę reprezentantów . Czasami jest to nieuniknione, gdy argumenty są cosetami, a równanie odnosi się do przedstawicieli coset. Wynik zastosowania funkcji nie może zatem zależeć od wyboru pełnomocnika.

Funkcje z jednym argumentem

Rozważmy na przykład następującą funkcję

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} f: & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} i \ do & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} \\ & {\ overline {n}} _{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

gdzie i są przez liczby całkowite modulo m i oznacza klasę identyczność z n mod m . ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Z}, m \ w \ {4,8 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle {\ overline {n}} _ {m}}$

NB: jest odwołaniem do elementu i jest argumentem . ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$${\ Displaystyle n \ w {\ overline {n}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ overline {n}} _ {8}}$${\displaystyle f}$

Funkcja jest dobrze zdefiniowana, ponieważ ${\displaystyle f}$

${\ Displaystyle n \ equiv n '{\ bmod {8}} \; \ Leftrightarrow \; 8 {\ text{ dzieli}} (n-n ') \ Rightarrow \; 4 {\ text{ dzieli}} (n- n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

Jako kontrprzykład odwrotna definicja

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} g: & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} i \ do & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} \ \ & {\ overline {n}} _{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{macierz}}}$

nie prowadzi do dobrze zdefiniowanej funkcji, ponieważ np. równa się in , ale pierwsza byłaby odwzorowana przez to , a druga byłaby odwzorowana na , i są nierówne w . ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ Overline {5}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ Displaystyle {\ Overline {5}} _ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z}}$

Operacje

W szczególności, termin dobrze zdefiniowany jest używany w odniesieniu do (binarnych) operacji na cosetach. W tym przypadku można postrzegać operację jako funkcję dwóch zmiennych, a właściwość bycia dobrze zdefiniowanym jest taka sama jak w przypadku funkcji. Na przykład, dodawanie do liczb całkowitych modulo pewne n można zdefiniować naturalnie w kategoriach dodawania liczb całkowitych.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

Fakt, że jest to dobrze zdefiniowane, wynika z faktu, że możemy napisać dowolny przedstawiciel as , gdzie jest liczbą całkowitą. W związku z tym, ${\displaystyle [a]}$${\displaystyle a+kn}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

podobnie dla każdego przedstawiciela , czyniąc to samo niezależnie od wyboru przedstawiciela. ${\displaystyle [b]}$${\displaystyle [a+b]}$

Dobrze zdefiniowana notacja

W przypadku liczb rzeczywistych iloczyn jest jednoznaczny, ponieważ (i stąd mówi się, że notacja jest dobrze zdefiniowana ). Ta właściwość, zwana również asocjatywnością mnożenia, gwarantuje, że wynik nie zależy od kolejności mnożenia, dzięki czemu można pominąć specyfikację sekwencji. ${\displaystyle a\razy b\razy c}$${\ Displaystyle (a \ razy b) \ razy c = a \ razy (b \ razy c)}$

Z drugiej strony operacja odejmowania nie jest asocjacyjna. Istnieje jednak konwencja, która jest skrótem dla , dlatego jest „dobrze zdefiniowana”. ${\displaystyle abc}$${\displaystyle (ab)-c}$

Podział jest również nieskojarzeniowy. Jednak w przypadku , konwencje nawiasów nie są tak dobrze ugruntowane, więc wyrażenie to jest często uważane za źle zdefiniowane . ${\ Displaystyle a/b/c}$

Inaczej niż w przypadku funkcji, niejednoznaczności w zapisie można łatwiej lub mniej przezwyciężyć za pomocą dodatkowych definicji (np. zasady pierwszeństwa , asocjatywność operatora). Na przykład w języku programowania C operator -odejmowania jest łączony od lewej do prawej , co oznacza, że a-b-cjest zdefiniowany jako (a-b)-c, a operator =przypisania jest łączony od prawej do lewej , co oznacza, że a=b=cjest zdefiniowany jako a=(b=c). W języku programowania APL obowiązuje tylko jedna zasada: od prawej do lewej – najpierw nawiasy.

Inne zastosowania terminu

Mówi się, że rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego jest dobrze zdefiniowane, jeśli jest określone przez warunki brzegowe w sposób ciągły, gdy warunki brzegowe ulegają zmianie.

Zobacz też

• Relacja równoważności § Dobrze zdefiniowana w relacji równoważności
• Definicjonizm
• Istnienie
• Wyjątkowość
• Kwantyfikacja unikalności
• Nieokreślony

Bibliografia

Uwagi

Źródła

• Współczesna algebra abstrakcyjna , Joseph A. Gallian, wydanie 6, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN  0-618-51471-6 .
• Algebra: Rozdział 0 , Paolo Aluffi, ISBN  978-0821847817 . Strona 16.
• Abstrakcyjna Algebra , Dummit i Foote, wydanie 3, ISBN  978-0471433347 . Strona 1.