Krzywa płaszczyzny: przekrój stożkowy
Elipsa (czerwona) uzyskana jako przecięcie
stożka z nachyloną płaszczyzną.
Elipsy: przykłady z rosnącą ekscentrycznością
W matematyce , elipsa jest krzywa samolot otaczający dwa punkty kontaktowe , takie, że dla wszystkich punktów na krzywej, suma obu dystansach do punktów kontaktowych jest stałą. Jako taki, uogólnia okrąg , który jest specjalnym typem elipsy, w której dwa ogniska są takie same. Wydłużenie elipsy mierzy się jej mimośrodem , liczbą od ( przypadek graniczny koła) do (przypadek graniczny nieskończonego wydłużenia, już nie elipsa, ale parabola ).
Elipsa ma proste rozwiązanie algebraiczne dla swojej powierzchni, ale tylko przybliżone dla jej obwodu (znanego również jako obwód ), dla którego do uzyskania dokładnego rozwiązania wymagane jest całkowanie.
Analitycznie równanie standardowej elipsy wyśrodkowanej na początku z szerokością i wysokością to:
Zakładając , że ogniska są za . Standardowe równanie parametryczne to:
Elipsy to zamknięty typ przekroju stożkowego : krzywa płaska śledząca przecięcie stożka z płaszczyzną (patrz rysunek). Elipsy mają wiele podobieństw z pozostałymi dwoma formami przekrojów stożkowych, parabolami i hiperbolami , które są otwarte i nieograniczone . Ustawioną pod kątem przekrój z cylindra jest elipsą.
Elipsę można również zdefiniować za pomocą jednego ogniska i linii na zewnątrz elipsy zwanej kierownicą : dla wszystkich punktów elipsy stosunek odległości do ogniska i odległości do kierownicy jest stały. Ten stały stosunek to wspomniana wyżej mimośrodowość:
Elipsy są powszechne w fizyce , astronomii i inżynierii . Na przykład orbita każdej planety w Układzie Słonecznym jest w przybliżeniu elipsą ze Słońcem w jednym punkcie ogniskowania (dokładniej, ogniskiem jest barycentrum pary Słońce-planeta). To samo dotyczy księżyców krążących wokół planet i wszystkich innych układów dwóch ciał astronomicznych. Kształty planet i gwiazd często dobrze opisują elipsoidy . Okrąg oglądany z boku wygląda jak elipsa: to znaczy elipsa jest obrazem koła w rzucie równoległym lub perspektywicznym . Elipsa jest również najprostszą figurą Lissajous utworzoną, gdy ruchy poziome i pionowe są sinusoidami o tej samej częstotliwości: podobny efekt prowadzi do eliptycznej polaryzacji światła w optyce .
Nazwa, ἔλλειψις ( élleipsis „pominięcie”), otrzymał od Apoloniusz z Perge w jego stożkowych .
Definicja jako miejsce punktów
Elipsa: definicja przez sumę odległości do ognisk
Elipsa: definicja przez skupienie i kołową kierownicę
Elipsę można zdefiniować geometrycznie jako zbiór punktów na płaszczyźnie euklidesowej:
- Mając dwa stałe punkty zwane ogniskami i odległość większą niż odległość między ogniskami, elipsa jest zbiorem punktów takim, że suma odległości jest równa :
Środek odcinka linii łączącego ogniska nazywany jest środkiem elipsy. Linia przechodząca przez ogniska nazywana jest osią większą , a linia prostopadła do niej przechodząca przez środek jest osią mniejszą .Oś główna przecina elipsę w dwóch wierzchołkach , które mają odległość od środka. Odległość ognisk od środka nazywana jest odległością ogniskową lub mimośrodem liniowym. Iloraz to ekscentryczność .
Przypadek tworzy okrąg i jest uwzględniony jako specjalny rodzaj elipsy.
Równanie można zobaczyć w inny sposób (patrz rysunek):
- Jeśli jest okręgiem z punktem środkowym i promieniem , to odległość punktu do okręgu jest równa odległości do ogniska :
nazywana jest kołową kierownicą (związaną z ogniskiem ) elipsy. Tej właściwości nie należy mylić z definicją elipsy przy użyciu poniższej linii directrix.
Używając sfer dmuchawca można udowodnić, że dowolny płaski przekrój stożka z płaszczyzną jest elipsą, zakładając, że płaszczyzna nie zawiera wierzchołka i ma nachylenie mniejsze niż nachylenie linii na stożku.
We współrzędnych kartezjańskich
Równanie standardowe
Standardowa forma elipsy we współrzędnych kartezjańskich zakłada, że początek jest środkiem elipsy, oś x jest jej główną osią, oraz:
- ogniskami są punkty ,
- wierzchołki to .
Dla dowolnego punktu odległość do ostrości jest
i innym naciskiem . Stąd punkt znajduje się na elipsie, gdy:
Usunięcie rodników za pomocą odpowiednich kwadratów i użycie daje standardowe równanie elipsy:
lub rozwiązany dla y:
Parametry szerokości i wysokości nazywane są półosiami wielką i małą osią . Górny i dolny punkt to wierzchołki równoległe . Odległości od punktu na elipsie do lewego i prawego ogniska to i .
Z równania wynika, że elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych, a więc względem początku.
Parametry
Główne osie
W niniejszym artykule, półfabrykaty główne i pół-drobne osie są oznaczone i , odpowiednio, czyli
W zasadzie równanie kanonicznej elipsy może mieć (a zatem elipsa byłaby wyższa niż szersza). Formularz ten można przekonwertować do postaci standardowej, transponując nazwy zmiennych i oraz nazwy parametrów i
Mimośród liniowa
Jest to odległość od środka do ogniska: .
Ekscentryczność
Ekscentryczność można wyrazić jako:
zakładając Elipsa o równych osiach ( ) ma zerowy mimośród i jest kołem.
Odbytnica półlatusa
Długość cięciwy przechodzącej przez jedno ognisko, prostopadłe do głównej osi, nazywana jest latus rectum . Połowa z nich to odbytnica półlatusowa . Kalkulacja pokazuje:
Odbytnica półlatusa jest równa promieniowi krzywizny w wierzchołkach (patrz sekcja krzywizna ).
Tangens
Dowolna linia przecina elipsę w 0, 1 lub 2 punktach, nazywana odpowiednio linią zewnętrzną , styczną i sieczną . W każdym punkcie elipsy istnieje unikalna styczna. Styczna w punkcie elipsy ma równanie współrzędnych:
Wektorowe równanie parametryczne stycznej to:
-
z
Dowód:
Niech będzie punktem na elipsie i będzie równaniem dowolnej prostej zawierającej . Wstawienie równania linii do równania elipsy i uwzględnienie wyników :
- Są wtedy przypadki:
-
Wtedy linia i elipsa mają tylko punkt wspólny i są styczną. Kierunek stycznej ma wektor prostopadły , więc linia styczna ma dla niektórych równanie . Ponieważ jest na stycznej i elipsie, otrzymujemy .
-
Wtedy linia ma drugi punkt wspólny z elipsą i jest sieczną.
Używając (1) znajdujemy, że jest to wektor styczny w punkcie , co potwierdza równanie wektorowe.
Jeśli i są dwoma punktami elipsy takimi, że , to punkty leżą na dwóch sprzężonych średnicach (patrz niżej ). (Jeśli , elipsa jest kołem, a „sprzężony” oznacza „ortogonalny”).
Przesunięta elipsa
Jeśli standardowa elipsa jest przesunięta tak, aby miała środek , jej równanie to
Osie są nadal równoległe do osi x i y.
Ogólna elipsa
W geometrii analitycznej elipsa jest zdefiniowany jako Quadric : zbiór punktów w kartezjańskim płaszczyźnie , że nie zdegenerowanych przypadkach spełniają niejawnego równanie
pod warunkiem, że
Aby odróżnić przypadki zdegenerowane od przypadków niezdegenerowanych, niech ∆ będzie wyznacznikiem
Wtedy elipsa jest niezdegenerowaną elipsą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy C∆ < 0. Jeśli C∆ > 0, mamy elipsę urojoną, a jeśli ∆ = 0, mamy elipsę punktową.
Współczynniki ogólnego równania można uzyskać ze znanej wielkiej półosi , półosi małej , współrzędnych środka i kąta obrotu (kąt od dodatniej osi poziomej do wielkiej osi elipsy) ze wzoru:
Wyrażenia te można wyprowadzić z równania kanonicznego przez przekształcenie afiniczne współrzędnych :
Odwrotnie, parametry postaci kanonicznej można uzyskać z ogólnych współczynników postaci za pomocą równań:
Reprezentacja parametryczna
Konstruowanie punktów w oparciu o równanie parametryczne i interpretację parametru
t , który zawdzięcza de la Hire
Punkty elipsy obliczone przez wymierną reprezentację z równymi parametrami ( ).
Standardowa reprezentacja parametryczna
Korzystając z funkcji trygonometrycznych , parametryczna reprezentacja standardowej elipsy to:
Parametr t (zwany w astronomii anomalią ekscentryczną ) nie jest kątem z osią x , ale ma znaczenie geometryczne dzięki Philippe de La Hire (patrz rysunek elipsy poniżej).
Racjonalna reprezentacja
Ze wzorów podstawienia i trygonometrycznych otrzymujemy
i racjonalne parametryczne równanie elipsy
który obejmuje dowolny punkt elipsy z wyjątkiem lewego wierzchołka .
Dla tego wzoru reprezentuje prawągórnączwartąelipsęprzesuwającąsięw kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ze wzrostem Lewy wierzchołek jest granicą
Wymierne reprezentacje przekrojów stożkowych są powszechnie używane w projektowaniu wspomaganym komputerowo (patrz krzywa Beziera ).
Nachylenie styczne jako parametr
Reprezentację parametryczną, która wykorzystuje nachylenie stycznej w punkcie elipsy, można uzyskać z pochodnej reprezentacji standardowej :
Za pomocą wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:
Zastąpienie i standardowa reprezentacja daje:
Oto nachylenie stycznej w odpowiednim punkcie elipsy, to górna i dolna połowa elipsy. Wierzchołki , mające pionowe styczne, nie są objęte reprezentacją.
Równanie stycznej w punkcie ma postać . Wciąż nieznaną można określić, wstawiając współrzędne odpowiedniego punktu elipsy :
Ten opis stycznych elipsy jest niezbędnym narzędziem do określenia ortoptyki elipsy. Artykuł ortoptyczny zawiera inny dowód, bez rachunku różniczkowego i wzorów trygonometrycznych.
Ogólna elipsa
Elipsa jako afiniczny obraz okręgu jednostkowego
Inna definicja elipsy wykorzystuje przekształcenia afiniczne :
- Każda elipsa jest afinicznym obrazem okręgu jednostkowego z równaniem .
- Reprezentacja parametryczna
Transformacja afiniczna płaszczyzny euklidesowej ma postać , gdzie jest macierzą regularną (o wyznaczniku niezerowym ) i jest dowolnym wektorem. Jeśli są wektorami kolumn macierzy , okrąg jednostkowy , , jest odwzorowany na elipsę:
Oto środek i kierunki dwóch sprzężonych średnic , na ogół nie prostopadłe.
- Wierzchołki
Cztery wierzchołki elipsy to , dla parametru zdefiniowanego przez:
(Jeśli , to .) Jest to wyprowadzane w następujący sposób. Wektor styczny w punkcie to:
W parametrze wierzchołka styczna jest prostopadła do głównych/małych osi, więc:
Rozszerzenie i zastosowanie tożsamości daje równanie na
- Powierzchnia
Z twierdzenia Apolloniosa (patrz niżej) otrzymujemy:
Pole elipsy to
- Półosi
Za pomocą skrótów
twierdzenia Apolloniosa można zapisać jako:
Rozwiązanie tego nieliniowego układu dla daje półosie:
- Niejawna reprezentacja
Rozwiązując reprezentację parametryczną for przez regułę Cramera i używając , otrzymujemy niejawną reprezentację
-
.
I odwrotnie: jeśli równanie
-
z
elipsy wyśrodkowanej w punkcie początkowym, to dwa wektory
wskaż dwa punkty sprzężone, a narzędzia opracowane powyżej mają zastosowanie.
Przykład : Dla elipsy z równaniem wektory to
-
.
Wiry: zagnieżdżone, przeskalowane i obrócone elipsy. Spirala nie jest narysowana: postrzegamy ją jako
miejsce występowania punktów, w których elipsy są szczególnie blisko siebie.
- Obrócona standardowa elipsa
Dla jednego otrzymujemy parametryczną reprezentację standardowej elipsy obróconej o kąt :
- Elipsa w przestrzeni
Definicja elipsy w tej sekcji daje parametryczną reprezentację dowolnej elipsy, nawet w przestrzeni, jeśli pozwoli się być wektorami w przestrzeni.
Formy polarne
Postać biegunowa względem środka
Współrzędne biegunowe wyśrodkowane w środku.
We współrzędnych biegunowych , z początkiem w środku elipsy i współrzędną kątową mierzoną od głównej osi, równanie elipsy jest
Forma biegunowa w stosunku do skupienia
Współrzędne biegunowe wyśrodkowane na ognisku.
Jeśli zamiast tego użyjemy współrzędnych biegunowych z początkiem w jednym ognisku, z współrzędną kątową nadal mierzoną od głównej osi, równanie elipsy jest
gdzie znak w mianowniku jest ujemny, jeśli kierunek odniesienia wskazuje na środek (jak pokazano po prawej), i dodatni, jeśli kierunek ten jest od centrum.
W nieco bardziej ogólnym przypadku elipsy z jednym ogniskiem w początku i drugim ogniskiem we współrzędnej kątowej , forma biegunowa jest
Kąt w tych wzorach nazywany jest prawdziwą anomalią punktu. Licznikiem tych formuł jest półlatus rectum .
Ekscentryczność i własność kierownicza
Elipsa: własność kierownicza
Każda z dwóch linii równoległych do osi mniejszej iw pewnej odległości od niej nazywana jest kierownicą elipsy (patrz diagram).
- Dla dowolnego punktu elipsy iloraz odległości do jednego ogniska i odpowiedniej kierownicy (patrz wykres) jest równy mimośrodowi:
Dowód dla pary wynika z faktu, że i spełniają równanie
Drugi przypadek jest udowodniony analogicznie.
Odwrotność jest również prawdziwa i może być użyta do zdefiniowania elipsy (w sposób podobny do definicji paraboli):
- Dla dowolnego punktu (ostrości), dowolna prosta (kierownica) nie przechodząca przez , oraz dowolna liczba rzeczywista z elipsą to miejsce punktów, dla których iloraz odległości do punktu i do prostej wynosi:
Rozszerzenie do , które jest mimośrodem koła, nie jest dozwolone w tym kontekście na płaszczyźnie euklidesowej. Można jednak uznać kierownicę okręgu za prostą w nieskończoności ( będącą promieniem okręgu) na płaszczyźnie rzutowej .
(Wybór daje parabolę, a jeśli , hiperbolę.)
Ołówek stożkowy o wspólnym wierzchołku i wspólnym półlatusie odbytnicy
- Dowód
Niech , i załóżmy, że jest to punkt na krzywej. Kierownica ma równanie . Z , relacja tworzy równania
-
oraz
Substytucja daje
Jest to równanie elipsy ( ), paraboli ( ) lub hiperboli ( ). Wszystkie te niezdegenerowane stożki mają wspólne pochodzenie jako wierzchołek (patrz diagram).
Jeżeli , wprowadź nowe parametry tak, aby , a następnie równanie powyżej przybiera postać
które jest równaniem elipsy ze środkiem , osią x jako główną osią i większą/mniejszą półosią .
- Budowa kierownicy
Ze względu na punkt kierownicy (patrz rysunek) i ognisko są odwrotne w stosunku do odwrócenia okręgu na okręgu (na schemacie zielonym). Stąd może być skonstruowany tak, jak pokazano na schemacie. Directrix jest prostopadłą do głównej osi w punkcie .
- Ogólna elipsa
Jeśli ognisko jest i kierownica , otrzymujemy równanie
(Prawa strona równania używa normalnej postaci linii Hesse do obliczenia odległości .)
Właściwość odbicia skupienia na skupieniu
Elipsa: styczna przecina dodatkowy kąt kąta między liniami a ogniskami.
Promienie z jednego ogniska odbijają się od elipsy i przechodzą przez drugie ognisko.
Elipsa posiada następującą właściwość:
- Normalna w punkcie przecina kąt między liniami na pół .
- Dowód
Ponieważ styczna jest prostopadła do normalnej, stwierdzenie jest prawdziwe również dla stycznej i dodatkowego kąta kąta między liniami a ogniskami (patrz diagram).
Niech będzie punktem na linii z odległością do ogniska , to wielka półoś elipsy. Niech linia będzie dwusieczną kąta dopełniającego do kąta między prostymi . Aby udowodnić, że jest to linia styczna w punkcie , sprawdzamy, czy żaden punkt na linii, który różni się od, nie może znajdować się na elipsie. Stąd ma tylko punkt wspólny z elipsą i dlatego jest styczną w punkcie .
Z diagramu i nierówności trójkąta rozpoznaje się, że zachodzi, co oznacza: . Równość jest prawdziwa z twierdzenia o dwusiecznej kąta, ponieważ i . Ale jeśli jest punktem elipsy, suma powinna wynosić .
- Podanie
Promienie z jednego ogniska są odbijane przez elipsę do drugiego ogniska. Ta właściwość ma zastosowania optyczne i akustyczne podobne do właściwości odbijania światła paraboli (patrz galeria szeptów ).
Średnice sprzężone
Definicja średnic sprzężonych
Ortogonalne średnice koła z kwadratem stycznych, punkty środkowe równoległych cięciw i obraz afiniczny, który jest elipsą o średnicach sprzężonych, równoległobokiem stycznych i środkami cięciw.
Koło ma następującą właściwość:
- Punkty środkowe równoległych cięciw leżą na średnicy.
Transformacja afiniczna zachowuje równoległość i punkty środkowe odcinków linii, więc ta właściwość jest prawdziwa dla każdej elipsy. (Zauważ, że równoległe cięciwy i średnica nie są już ortogonalne.)
- Definicja
Dwóch średnic elipsy jest sprzężona , gdy środkowe akordów równolegle do leżą na
Ze schematu można znaleźć:
- Dwie średnice elipsy są sprzężone, gdy styczne w i są równoległe do .
Średnice sprzężone w elipsie uogólniają średnice ortogonalne w okręgu.
W podanym wyżej równaniu parametrycznym dla ogólnej elipsy,
każda para punktów należy do średnicy, a para należy do jej sprzężonej średnicy.
Twierdzenie Apolloniosa o średnicach sprzężonych
Dla formuły obszaru alternatywnego
Dla elipsy z półosiami prawdziwe jest:
- Niech i będą połówkami dwóch sprzężonych średnic (patrz diagram)
-
.
- Trójkąt z boku (patrz schemat) ma stałą powierzchnię , która może być wyrażona również. to wysokość punktu i kąt między połówkami średnic. Stąd obszar elipsy (patrz rozdział Właściwości metryczne ) można zapisać jako .
- Równoległobok stycznych przylegających do podanych średnic sprzężonych ma
- Dowód
Niech elipsa będzie w postaci kanonicznej z równaniem parametrycznym
-
.
Dwa punkty znajdują się na średnicach koniugatu (patrz poprzedni rozdział). Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy i
Pole trójkąta generowane przez is
a z wykresu widać, że powierzchnia równoległoboku jest 8 razy większa od . Stąd
Styczne ortogonalne
Elipsa ze swoją ortoptyką
Dla elipsy punkty przecięcia stycznych ortogonalnych leżą na okręgu .
Okrąg ten nazywany jest ortoptycznym lub kierowniczym okręgiem elipsy (nie mylić z kołową kierownicą zdefiniowaną powyżej).
Rysowanie elipsy
Rzut centralny okręgów (brama)
Elipsy pojawiają się w geometrii opisowej jako obrazy (rzut równoległy lub centralny) okręgów. Istnieją różne narzędzia do rysowania elipsy. Komputery zapewniają najszybszą i najdokładniejszą metodę rysowania elipsy. Istnieją jednak narzędzia techniczne ( elipsografy ) do rysowania elipsy bez komputera. Zasada elipsografii była znana greckim matematykom, takim jak Archimedes i Proklos .
Jeśli nie ma dostępnego elipsografu, można narysować elipsę, używając przybliżenia przez cztery koła oscylacyjne na wierzchołkach .
W przypadku każdej metody opisanej poniżej konieczna jest znajomość osi i półosi (lub równoważnie: ognisk i wielkiej półosi). Jeśli to założenie nie jest spełnione, trzeba znać co najmniej dwie średnice sprzężone. Za pomocą konstrukcji Rytza można odzyskać siekiery i półosie.
konstrukcja punktowa de La Hire
Poniższa konstrukcja pojedynczych punktów elipsy jest dziełem de La Hire . Opiera się na standardowej reprezentacji parametrycznej elipsy:
- Narysuj dwa okręgi wyśrodkowane w środku elipsy za pomocą promieni i osi elipsy.
- Narysuj linię przechodzącą przez środek , która przecina dwa okręgi odpowiednio w punkcie i .
- Narysować linię przez który jest równoległy do osi mniejszej, a linia przez która jest równoległa do osi głównej. Linie te spotykają się w punkcie elipsy (patrz diagram).
- Powtórz kroki (2) i (3) z różnymi liniami przez środek.
Metoda szpilek i sznurków
Scharakteryzowanie elipsy jako miejsca położenia punktów, tak aby suma odległości do ognisk była stała, prowadzi do metody jej rysowania za pomocą dwóch pinezek , długości sznurka i ołówka. W tej metodzie szpilki są wciskane w papier w dwóch punktach, które stają się ogniskami elipsy. Na każdym końcu do dwóch szpilek przywiązany jest sznurek; jego długość po związaniu wynosi . Końcówka ołówka tworzy następnie elipsę, jeśli zostanie przesunięta, jednocześnie utrzymując naprężenie struny. Używając dwóch kołków i liny, ogrodnicy stosują tę procedurę do obrysowania eliptycznego klombu – stąd nazywa się to elipsą ogrodnika .
Podobny sposób rysowania konfokalnych elips z zamkniętą struną zawdzięcza irlandzkiemu biskupowi Charlesowi Gravesowi .
Metody paska papieru
Dwie poniższe metody opierają się na reprezentacji parametrycznej (patrz sekcja reprezentacja parametryczna powyżej):
Ta reprezentacja może być modelowana technicznie dwoma prostymi metodami. W obu przypadkach centrum, osie i półosie muszą być znane.
- Metoda 1
Pierwsza metoda zaczyna się od
- pasek papieru o długości .
Punkt, w którym spotykają się półosie, jest oznaczony symbolem . Jeśli pasek przesuwa się z obu końców na osie pożądanej elipsy, to punkt śledzi elipsę. Dla dowodu pokazano, że punkt ma reprezentację parametryczną , gdzie parametr jest kątem nachylenia paska papieru.
Techniczną realizację ruchu paska papieru może osiągnąć para Tusi (patrz animacja). Urządzenie jest w stanie narysować dowolną elipsę ze stałą sumą , która jest promieniem dużego koła. To ograniczenie może być wadą w prawdziwym życiu. Bardziej elastyczna jest druga metoda paska papieru.
Konstrukcja elipsy: metoda paska papieru 1
Elipsy z parą Tusi. Dwa przykłady: czerwony i cyjan.
Odmiana metody paska papieru 1 wykorzystuje obserwację, że środek paska papieru porusza się po okręgu o środku (elipsy) i promieniu . W związku z tym pasek papieru można przeciąć punktowo na połówki, ponownie połączony za pomocą złącza i zamocowanego pośrodku ślizgowego końca (patrz schemat). Po tej operacji ruch niezmienionej połowy paska papieru pozostaje niezmieniony. Ta odmiana wymaga tylko jednego ślizgacza.
Odmiana metody paska papieru 1
Animacja zmienności metody paska papieru 1
Konstrukcja elipsy: metoda paska papieru 2
- Metoda 2
Druga metoda zaczyna się od
- pasek papieru o długości .
Jeden wyznacza punkt, który dzieli pasek na dwa podpaski o długości i . Pasek jest umieszczany na osiach, jak opisano na schemacie. Następnie wolny koniec paska tworzy elipsę, podczas gdy pasek jest przesuwany. Dla dowodu uznaje się, że punkt obrysu można opisać parametrycznie przez , gdzie parametrem jest kąt nachylenia paska papieru.
Ta metoda jest podstawą dla kilku elipsografów (patrz rozdział poniżej).
Podobnie do odmiany metody paska papieru 1, odmianę metody paska papieru 2 można ustalić (patrz schemat) przez przecięcie części między osiami na połówki.
Odmiana metody paska papieru 2
Większość przyrządów do kreślenia elipsografów opiera się na drugiej metodzie paska papieru .
Aproksymacja elipsy z okręgami oscylacyjnymi
Aproksymacja przez oscylację okręgów
Z właściwości metrycznych poniżej otrzymujemy:
- Promień krzywizny na wierzchołkach wynosi:
- Promień krzywizny na wierzchołkach współpracujących wynosi:
Diagram pokazuje prosty sposób na znalezienie środków krzywizny odpowiednio w wierzchołku i wierzchołku dolnym :
- zaznacz punkt pomocniczy i narysuj odcinek linii
- narysuj linię przez , która jest prostopadła do linii
- punkty przecięcia tej linii z osiami są środkami okręgów oscylacyjnych.
(dowód: proste obliczenia.)
Środki pozostałych wierzchołków znajdują się za pomocą symetrii.
Za pomocą krzywej francuskiej rysuje się krzywą, która ma gładki kontakt z kołami oscylacyjnymi .
Pokolenie Steinera
Elipsa: pokolenie Steinera
Elipsa: pokolenie Steinera
Poniższa metoda konstruowania pojedynczych punktów elipsy opiera się na generacji przekroju stożkowego Steinera :
- Biorąc pod uwagę dwa ołówki linii w dwóch punktach (wszystkie linie zawierające a , odpowiednio), a rzutowe, ale nie odwzorowywania perspektywicznym od na , a punkty przecięcia odpowiednich linii, tworząc nie zdegenerowany rzutowe przekrój stożkowy.
Do generowania punktów elipsy używa się ołówków na wierzchołkach . Niech będzie górnym wierzchołkiem elipsy i .
jest środkiem prostokąta . Bok prostokąta jest podzielony na n równych odcinków linii, a podział ten jest rzutowany równolegle do przekątnej jako kierunek na segment linii i przypisuje podział, jak pokazano na schemacie. Rzut równoległy wraz z odwrotną stroną orientacji jest częścią odwzorowania projekcyjnego między ołówkami w miejscu i potrzebnym. Punkty przecięcia dowolnych dwóch powiązanych linii i są punktami jednoznacznie zdefiniowanej elipsy. Za pomocą punktów można określić punkty drugiej ćwiartki elipsy. Analogicznie otrzymujemy punkty dolnej połowy elipsy.
Generację Steinera można również zdefiniować dla hiperboli i parabol. Czasami nazywa się to metodą równoległoboku, ponieważ można użyć innych punktów zamiast wierzchołków, co zaczyna się od równoległoboku zamiast prostokąta.
Jako hipotrochoid
Elipsa (na czerwono) jako szczególny przypadek
hipotrochoidy z
R = 2
r
Elipsa jest szczególnym przypadkiem hipotrochoidy, gdy , jak pokazano na sąsiednim rysunku. Szczególny przypadek poruszającego się okręgu o promieniu wewnątrz okręgu o promieniu nazywa się parą Tusiego .
Wpisane kąty i trzypunktowa forma
Kręgi
Koło: twierdzenie o kątach wpisanych
Okrąg z równaniem jest jednoznacznie określony przez trzy punkty nie na linii. Prostym sposobem określenia parametrów jest twierdzenie o kącie wpisanym dla okręgów:
- W przypadku czterech punktów (patrz diagram) prawdziwe jest następujące stwierdzenie:
- Cztery punkty znajdują się na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy kąty przy i są równe.
Zwykle kąty wpisane mierzy się o stopień lub radian θ, ale tutaj wygodniejszy jest następujący pomiar:
- Do pomiaru kąta między dwoma prostymi równaniami stosuje się iloraz:
Twierdzenie o kątach wpisanych dla okręgów
Dla czterech punktów nie ma trzech na prostej, mamy następujące (patrz diagram):
- Cztery punkty znajdują się na okręgu, wtedy i tylko wtedy, gdy kąty przy i są równe. W odniesieniu do powyższego pomiaru kąta oznacza to:
Początkowo takt jest dostępny tylko dla akordów nierównoległych do osi y, ale ostateczna formuła działa dla każdego akordu.
Trójpunktowa postać równania okręgu
- W konsekwencji otrzymujemy równanie dla okręgu wyznaczonego przez trzy niewspółliniowe punkty :
Na przykład dla równania trzypunktowego jest:
-
, który można zmienić na
Używając wektorów, iloczynów skalarnych i wyznaczników, wzór ten można uporządkować w bardziej przejrzysty sposób, pozwalając :
Środek koła spełnia:
Promień to odległość między dowolnym z trzech punktów a środkiem.
Elipsy
W tej sekcji rozważymy rodzinę elips zdefiniowaną równaniami ze stałym mimośrodem . Wygodnie jest użyć parametru:
i zapisać równanie elipsy jako:
gdzie q jest stałe i zmienia się w stosunku do liczb rzeczywistych. (Takie elipsy mają swoje osie równoległe do osi współrzędnych: jeśli , oś główna jest równoległa do osi x ; jeśli , to jest równoległa do osi y .)
Twierdzenie o kątach wpisanych dla elipsy
Podobnie jak koło, taką elipsę wyznaczają trzy punkty, które nie znajdują się na prostej.
Dla tej rodziny elips wprowadzamy następującą miarę kąta q-analogową , która nie jest funkcją zwykłej miary kąta θ :
- Aby zmierzyć kąt pomiędzy dwoma prostymi równaniami, używa się ilorazu:
Twierdzenie o kątach wpisanych dla elips
- Biorąc pod uwagę cztery punkty , nie ma trzech na prostej (patrz diagram).
- Cztery punkty leżą na elipsie z równaniem wtedy i tylko wtedy, gdy kąty przy i są równe w sensie powyższego pomiaru — to znaczy, jeżeli
Początkowo takt jest dostępny tylko dla akordów, które nie są równoległe do osi y. Ale ostateczna formuła działa dla każdego akordu. Dowód wynika z prostej kalkulacji. Dla kierunku dowodu, przy założeniu, że punkty leżą na elipsie, można założyć, że punktem początkowym jest środek elipsy.
Trójpunktowa postać równania elipsy
- W konsekwencji otrzymujemy równanie dla elipsy wyznaczonej przez trzy niewspółliniowe punkty :
Na przykład dla i otrzymujemy formę trzypunktową
-
i po konwersji
Analogicznie do przypadku koła, równanie można zapisać wyraźniej za pomocą wektorów:
gdzie jest zmodyfikowany iloczyn skalarny
Relacja biegunowo-biegunowa
Elipsa: relacja biegunowo-biegunowa
Każdą elipsę można opisać w odpowiednim układzie współrzędnych za pomocą równania . Równanie stycznej w punkcie elipsy to Jeśli pozwolimy, aby punkt był dowolnym punktem innym niż początek elipsy , to
- punkt jest odwzorowywany na linii , a nie przez środek elipsy.
Ta relacja między punktami i liniami jest bijekcją .
Że funkcja odwrotna mapy
- linia na punkt i
- linia na punkt
Taka relacja między punktami i liniami generowanymi przez stożka nazywana jest relacją biegunowo-biegunową lub biegunowością . Biegun jest punktem; polarna linia.
Obliczeniami można potwierdzić następujące własności relacji biegunowo-biegunowej elipsy:
- Dla punktu (bieguna) na elipsie biegun jest styczną w tym punkcie (patrz rysunek: ).
- W przypadku bieguna znajdującego się poza elipsą, punkty przecięcia jego bieguna z elipsą są punktami styczności dwóch przechodzących stycznych (patrz rysunek: ).
- Dla punktu wewnątrz elipsy, biegunowa nie ma wspólnego punktu z elipsą (patrz diagram: ).
- Punktem przecięcia dwóch biegunów jest biegun linii przechodzącej przez ich bieguny.
- Odpowiednio ogniska i , oraz kierunki i , należą do par bieguna i bieguna. Ponieważ są one parzystymi parami biegunowymi w odniesieniu do okręgu , kierunki mogą być konstruowane za pomocą kompasu i linijki (patrz Geometria odwrotna ).
Relacje biegunowo-biegunowe istnieją również dla hiperboli i parabol.
Właściwości metryczne
Wszystkie właściwości metryczne podane poniżej odnoszą się do elipsy z równaniem
-
|
|
( 1 )
|
z wyjątkiem części obszaru zamkniętego nachyloną elipsą, gdzie zostanie podana uogólniona postać równania ( 1 ).
Powierzchnia
Obszar zamknięty przez elipsy jest:
-
|
|
( 2 )
|
gdzie i są długościami odpowiednio wielkiej i małej osi. Formuła obszaru jest intuicyjna: zacznij od okręgu o promieniu (a więc jego obszar to ) i rozciągnij go o współczynnik, aby utworzyć elipsę. To skaluje obszar o ten sam współczynnik: łatwo jest również rygorystycznie udowodnić formułę obszaru za pomocą całkowania w następujący sposób. Równanie ( 1 ) można przepisać jako Dla tej krzywej znajduje się górna połowa elipsy. Zatem dwukrotna całka z przez przedział będzie polem elipsy:
Druga całka to pole okręgu o promieniu , czyli So
Elipsa zdefiniowana niejawnie przez ma obszar
Obszar można również wyrazić w postaci mimośrodu i długości wielkiej półosi jako (uzyskanej przez rozwiązanie dla spłaszczenia , a następnie obliczenie półosi małej).
Obszar otoczony nachyloną elipsą to .
Do tej pory mieliśmy do czynienia z elipsami wyprostowanymi , których osie większa i mniejsza są równoległe do osi i . Jednak niektóre aplikacje wymagają pochyłych elipsy. Na przykład w optyce opartej na wiązce cząstek naładowanych, zamknięty obszar wyprostowanej lub nachylonej elipsy jest ważną właściwością wiązki, jej emitancją . W tym przypadku nadal obowiązuje prosta formuła, a mianowicie
-
|
|
( 3 )
|
gdzie , to punkty przecięcia, a , to wartości maksymalne. Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Appolonia .
Obwód
Elipsy o tym samym obwodzie
Obwód elipsy to:
gdzie znowu jest długość wielkiej półosi, to mimośród, a funkcją jest całka eliptyczna drugiego rodzaju ,
co na ogół nie jest funkcją elementarną .
Obwód elipsy można oszacować za pomocą średniej arytmetyczno-geometrycznej Gaussa ; jest to metoda iteracyjna o zbieżności kwadratowej.
Dokładna seria nieskończona to:
gdzie to podwójna silnia (rozszerzona do ujemnych liczb nieparzystych przez relację powtarzalności , dla ). Ta seria jest zbieżna, ale rozszerzając się w kategoriach Jamesa Ivory'ego i Bessela wyprowadzili wyrażenie, które zbiega się znacznie szybciej:
Srinivasa Ramanujan podaje dwa bliskie przybliżenia obwodu w paragrafie 16 „Równań modułowych i przybliżeń do ”; oni są
oraz
Błędy w tych przybliżeniach, które uzyskano empirycznie, są uporządkowane i odpowiednio.
Długość łuku
Mówiąc bardziej ogólnie, długość łuku części obwodu, jako funkcja leżącego kąta (lub współrzędnych x dowolnych dwóch punktów w górnej połowie elipsy), jest podana przez niepełną całkę eliptyczną . Górna połowa elipsy jest sparametryzowana przez
Wtedy długość łuku od do wynosi:
To jest równoważne
gdzie jest niepełną całką eliptyczną drugiego rodzaju z parametrem
Funkcja odwrotna , kąt będący funkcją długości łuku, jest dana przez pewną funkcję eliptyczną .
Niektóre dolne i górne granice na obwodzie kanonicznej elipsy z are
Tutaj górna granica jest obwodem opisanego koncentrycznego okręgu przechodzącego przez punkty końcowe głównej osi elipsy, a dolna granica jest obwodem wpisanego rombu z wierzchołkami w punktach końcowych głównej i mniejszej osi.
Krzywizna
Krzywizna jest przez promień krzywizny w punkcie :
Promień krzywizny na dwóch wierzchołkach i środkach krzywizny:
Promień krzywizny na dwóch wierzchołkach współpracujących i środkach krzywizny:
W geometrii trójkąta
Elipsy pojawiają się w geometrii trójkąta jako
-
Elipsa Steinera : elipsa przechodząca przez wierzchołki trójkąta ze środkiem w centroidzie,
-
inellips : elipsy dotykające boków trójkąta. Szczególnymi przypadkami są inellipsa Steinera i inellipsa Mandarta .
Jak płaskie sekcje kwadryków
Elipsy pojawiają się jako płaskie przekroje następujących kwadr :
Hiperboloid jednego arkusza
Hiperboloida dwóch arkuszy
Aplikacje
Fizyka
Odbłyśniki eliptyczne i akustyka
Jeśli powierzchnia wody jest zaburzona w jednym ognisku eliptycznego zbiornika wody, to kołowe fale tego zakłócenia po odbiciu od ścian zbiegają się jednocześnie w jednym punkcie: drugim ognisku . Wynika to z tego, że całkowita długość podróży jest taka sama wzdłuż każdej ścieżki odbijania się od ściany między dwoma ogniskami.
Podobnie, jeśli źródło światła jest umieszczone w jednym ognisku lustra eliptycznego , wszystkie promienie światła na płaszczyźnie elipsy są odbijane do drugiego ogniska. Ponieważ żadna inna gładka krzywa nie ma takiej właściwości, może być użyta jako alternatywna definicja elipsy. (W szczególnym przypadku okręgu ze źródłem w jego środku całe światło będzie odbijane z powrotem do środka.) Jeśli elipsa zostanie obrócona wzdłuż swojej głównej osi, aby wytworzyć elipsoidalne zwierciadło (w szczególności wydłużoną sferoidę ), ta właściwość jest zachowana dla wszystkich promieni ze źródła. Alternatywnie, do skupienia światła z liniowej lampy fluorescencyjnej wzdłuż linii papieru można zastosować lustro cylindryczne o przekroju eliptycznym ; takie lustra są używane w niektórych skanerach dokumentów .
Fale dźwiękowe odbijają się w podobny sposób, więc w dużej sali eliptycznej osoba stojąca na jednym ognisku może wyjątkowo dobrze usłyszeć osobę stojącą na drugim ognisku. Efekt jest jeszcze bardziej widoczny pod sklepionym dachem w kształcie odcinka wydłużonej kuli. Taki pokój nazywa się komorą szeptu . Ten sam efekt można zademonstrować przy dwóch reflektorach w kształcie dennic takiej sferoidy, ustawionych naprzeciwko siebie w odpowiedniej odległości. Przykładami są National Statuary Hall na Kapitolu Stanów Zjednoczonych (gdzie podobno John Quincy Adams używał tej nieruchomości do podsłuchiwania spraw politycznych); Mormon Tabernakulum na Placu Świątynnym w Salt Lake City , Utah ; na wystawie dźwiękowej w Muzeum Nauki i Przemysłu w Chicago ; przed University of Illinois w Urbana–Champaign Foellinger Auditorium; a także w bocznej komnacie Pałacu Karola V, w Alhambrze .
Orbity planetarne
W XVII wieku Johannes Kepler odkrył, że orbity, po których planety okrążają Słońce, są elipsami ze Słońcem [w przybliżeniu] w jednym ognisku, zgodnie z jego pierwszym prawem ruchu planet . Później Isaac Newton wyjaśnił to jako następstwo swojego prawa powszechnego ciążenia .
Bardziej ogólnie, w grawitacyjnym problemie dwóch ciał, jeśli dwa ciała są ze sobą powiązane (to znaczy, że całkowita energia jest ujemna), ich orbity są podobnymi elipsami, przy czym wspólny środek bary jest jednym z ognisk każdej elipsy. Drugie ognisko każdej elipsy nie ma znanego znaczenia fizycznego. Orbita jednego ciała w układzie odniesienia drugiego jest również elipsą, z tym samym ogniskiem drugiego ciała.
Keplerowskie orbity eliptyczne są wynikiem działania dowolnej promieniowo skierowanej siły przyciągania, której siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Zatem w zasadzie ruch dwóch przeciwnie naładowanych cząstek w pustej przestrzeni również byłby elipsą. (Jednak ten wniosek ignoruje straty spowodowane promieniowaniem elektromagnetycznym i efektami kwantowymi , które stają się znaczące, gdy cząstki poruszają się z dużą prędkością.)
Dla orbit eliptycznych użytecznymi zależnościami dotyczącymi mimośrodu są:
gdzie
-
to promień w apocentrum (najdalsza odległość)
-
jest promieniem w perycentrum (najbliższa odległość)
-
to długość wielkiej półosi
Również w zakresie i , wielka półoś to ich średnia arytmetyczna , półoś mała to ich średnia geometryczna , a pół-latus rectum to ich średnia harmoniczna . Innymi słowy,
-
.
Oscylatory harmoniczne
Ogólnym rozwiązaniem dla oscylatora harmonicznego w dwóch lub więcej wymiarach jest również elipsa. Tak jest na przykład w przypadku długiego wahadła, które może swobodnie poruszać się w dwóch wymiarach; masy przymocowanej do stałego punktu za pomocą doskonale elastycznej sprężyny ; lub dowolnego obiektu, który porusza się pod wpływem siły przyciągania, która jest wprost proporcjonalna do jego odległości od nieruchomego atraktora. Jednak w przeciwieństwie do orbit keplerowskich, te „harmoniczne orbity” mają środek przyciągania w geometrycznym środku elipsy i mają dość proste równania ruchu.
Wizualizacja fazy
W elektronice względna faza dwóch sygnałów sinusoidalnych może być porównywana przez podanie ich na pionowe i poziome wejścia oscyloskopu . Jeśli wyświetlana figura Lissajous jest elipsą, a nie linią prostą, oba sygnały są przesunięte w fazie.
Przekładnie eliptyczne
Dwie nieokrągłe koła zębate o tym samym zarysie eliptycznym, każda obracająca się wokół jednego ogniska i ustawiona pod odpowiednim kątem, obracają się płynnie, utrzymując kontakt przez cały czas. Alternatywnie, mogą one być połączone za pomocą łańcucha ogniwowego lub paska zębatego , lub w przypadku roweru głównym tarcza może być eliptyczne, albo owalny zbliżony do elipsy, w formie. Takie eliptyczne koła zębate mogą być stosowane w sprzęcie mechanicznym do wytwarzania zmiennej prędkości kątowej lub momentu obrotowego ze stałego obrotu osi napędowej lub, w przypadku roweru, do umożliwienia zmiennej prędkości obrotowej korby z odwrotnie zmieniającą się zaletą mechaniczną .
Eliptyczne zębatki rowerowe ułatwiają łańcuchowi zsuwanie się z zębatki podczas zmiany biegów.
Przykładem zastosowania przekładni może być urządzenie, które nawija nitkę na stożkową szpulkę na przędzarce . Szpulka musiałaby nawijać się szybciej, gdy nić znajduje się w pobliżu wierzchołka, niż gdy znajduje się w pobliżu podstawy.
Optyka
- W materiale optycznie anizotropowym ( dwójłomnym ) współczynnik załamania światła zależy od kierunku padania światła. Zależność można opisać elipsoidą indeksową . (Jeśli materiał jest optycznie izotropowy , ta elipsoida jest kulą.)
- W lamp- pompowana lasery półprzewodnikowe, eliptyczne, w kształcie walca odblaskowe zastosowano do bezpośredniego światła z lampy pompy (współosiowego z jednym elipsy osi ogniskowej) do aktywnego pręta średniej (współosiowa z drugą osią ogniskową).
- W laserowo-plazmowych źródłach światła EUV stosowanych w litografii mikroprocesorowej , światło EUV jest generowane przez plazmę umieszczoną w głównym ognisku zwierciadła elipsoidalnego i jest zbierane w ognisku wtórnym na wejściu maszyny litograficznej.
Statystyka i finanse
W statystyce dwuwymiarowy wektor losowy jest wspólnie rozłożony eliptycznie, jeśli jego kontury izo-gęstości — loci o równych wartościach funkcji gęstości — są elipsami. Koncepcja rozciąga się na dowolną liczbę elementów losowego wektora, w którym to przypadku na ogół kontury izo-gęstości są elipsoidami. Szczególnym przypadkiem jest wielowymiarowy rozkład normalny . Rozkłady eliptyczne są ważne w finansach, ponieważ jeśli stopy zwrotu z aktywów są wspólnie rozłożone eliptycznie, to wszystkie portfele można całkowicie scharakteryzować przez ich średnią i wariancję — to znaczy, że dowolne dwa portfele o identycznej średniej i wariancji zwrotu z portfela mają identyczne rozkłady portfela powrót.
Grafika komputerowa
Rysowanie elipsy jako elementu graficznego jest powszechne w standardowych bibliotekach wyświetlania, takich jak MacIntosh QuickDraw API i Direct2D w systemie Windows. Jack Bresenham z IBM jest najbardziej znany z wynalezienia prymitywów rysowania 2D, w tym rysowania linii i okręgów, przy użyciu tylko szybkich operacji na liczbach całkowitych, takich jak dodawanie i rozgałęzianie na bicie przenoszenia. MLV Pitteway rozszerzył algorytm Bresenhama dla linii na stożki w 1967. Kolejne skuteczne uogólnienie do rysowania elips zostało wynalezione w 1984 przez Jerry'ego Van Akena.
W 1970 roku Danny Cohen zaprezentował na konferencji „Computer Graphics 1970” w Anglii liniowy algorytm do rysowania elips i okręgów. W 1971 LB Smith opublikował podobne algorytmy dla wszystkich przekrojów stożkowych i udowodnił, że mają dobre właściwości. Algorytmy te wymagają tylko kilku mnożeń i dodawania, aby obliczyć każdy wektor.
W grafice komputerowej korzystne jest użycie formuły parametrycznej, ponieważ gęstość punktów jest największa tam, gdzie występuje największa krzywizna. Tak więc zmiana nachylenia między każdym kolejnym punktem jest niewielka, co zmniejsza pozorną „postrzępioną” aproksymację.
- Rysowanie ścieżkami Béziera
Złożone krzywe Béziera mogą być również użyte do narysowania elipsy z wystarczającą dokładnością, ponieważ każda elipsa może być rozumiana jako transformacja afiniczna okręgu. Metody splajnu używane do rysowania okręgu mogą być użyte do narysowania elipsy, ponieważ składowe krzywe Béziera zachowują się odpowiednio w przypadku takich przekształceń.
Teoria optymalizacji
Czasami przydatne jest znalezienie minimalnej elipsy ograniczającej na zbiorze punktów. Metoda elipsoidalna jest bardzo przydatna do rozwiązania tego problemu.
Zobacz też
-
Owal kartezjański , uogólnienie elipsy
- Okrągłe i niestożkowe
- Odległość najbliższego zbliżenia elips
- Dopasowanie elipsy
-
Współrzędne eliptyczne , ortogonalny układ współrzędnych oparty na rodzinach elips i hiperboli
- Eliptyczne równanie różniczkowe cząstkowe
-
Rozkład eliptyczny , w statystyce
- Kopuła eliptyczna
- Geodezja na elipsoidzie
- Wielka elipsa
- Prawa Keplera dotyczące ruchu planet
-
n -elipsa , uogólnienie elipsy dla n foci
- Owalny
-
Sferoida , elipsoida uzyskana przez obrót elipsy wokół jej większej lub mniejszej osi
-
Stadion (geometria) , dwuwymiarowy kształt geometryczny zbudowany z prostokąta z półokręgami na parze przeciwległych boków
-
Okrąg Steinera , unikalna elipsa opisująca trójkąt i dzieląca jego środek ciężkości
-
Superelipsa , uogólnienie elipsy, która może wyglądać bardziej prostokątnie lub bardziej „szpiczasto”
-
Prawdziwa , ekscentryczna i wredna anomalia
Uwagi
Bibliografia
-
Besant, WH (1907). „Rozdział III. Elipsa” . Sekcje stożkowe . Londyn: George Bell i Synowie. P. 50.
-
Coxeter, HSM (1969). Wprowadzenie do geometrii (wyd. 2). Nowy Jork: Wiley. s. 115–9 .
-
Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Podstawowe pojęcia geometrii , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
-
Miller, Karol D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Podstawy College Algebra (3rd ed.). Scott Foresman/Mały. P. 381 . Numer ISBN 978-0-673-38638-0.
-
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Rachunek College z geometrią analityczną (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley , LCCN 76087042
Zewnętrzne linki