Dysk (matematyka) - Disk (mathematics)

Dysk o obwodzie (C) w kolorze czarnym, średnicy (D) w kolorze cyjan, promieniu (R) w kolorze czerwonym i środku (O) w kolorze magenta.

W geometrii , A dysku (również wpisany płyty ) jest regionem w płaszczyźnie ograniczonym przez koła . Mówi się, że dysk jest zamknięty, jeśli zawiera okrąg, który stanowi jego granicę, a otwarty, jeśli go nie zawiera.

Formuły

W kartezjańskim układzie współrzędnych The otwarty dysku centrum i promień R jest podane przez wzór ${\ Displaystyle (a, b)}$

${\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ w {\ mathbb {R} ^ {2}}: (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} < R ^ {2} \}}$

podczas gdy zamknięty dysk o tym samym środku i promieniu jest dany przez

${\ Displaystyle {\ overline {D}} = \ {(x, y) \ w {\ mathbb {R} ^ {2}}: (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} \ równoważnik R ^{2}\}.}$

Obszar o zamkniętym lub otwartym tarczy o promieniu R jest π R ² (patrz obszar dysku ).

Nieruchomości

Dysk ma symetrię kołową .

Dysk otwarty i dysk zamknięty nie są topologicznie równoważne (czyli nie są homeomorficzne ), ponieważ mają różne właściwości topologiczne. Na przykład każdy zamknięty dysk jest kompaktowy, podczas gdy każdy otwarty dysk nie jest kompaktowy. Jednak z punktu widzenia topologii algebraicznej mają one wiele wspólnych właściwości: obie są kurczliwe, a więc są homotopijnie równoważne jednemu punktowi. Oznacza to, że ich podstawowe grupy są trywialne, a wszystkie grupy homologiczne są trywialne, z wyjątkiem zerowej, która jest izomorficzna z Z . Eulera charakterystyczne punktu (i w związku z tym, że w zamkniętej lub otwartej dysku) jest 1.

Każda ciągła mapa od zamkniętego dysku do siebie ma przynajmniej jeden stały punkt (nie wymagamy, aby mapa była bijektywna ani nawet surjektywna ); tak jest w przypadku n = 2 twierdzenia Brouwera o punkcie stałym . Oświadczenie jest fałszywe dla otwartego dysku:

Rozważmy na przykład funkcję, która mapuje każdy punkt otwartego dysku jednostki na inny punkt na otwartym dysku jednostki po prawej stronie danego. Ale dla zamkniętego dysku jednostki ustala każdy punkt na półokręgu${\ Displaystyle f (x, y) = \ lewo ({\ Frac {x + {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {2}}, y \ prawo)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Zobacz też

• Dysk jednostkowy , dysk o promieniu jeden
• Pierścień (matematyka) , obszar między dwoma koncentrycznymi okręgami
• Ball (matematyka) , zwyczajowe określenie trójwymiarowego analogu dysku
• Algebra dyskowa , przestrzeń funkcji na dysku
• Dysk ortocentryczny , zawierający określone środki trójkąta

Bibliografia