Stosunek krzyżowy - Cross-ratio

Punkty A , B , C , D i A ′, B ′, C ′, D ′ są powiązane transformacją rzutową, a więc ich stosunki krzyżowe ( A , B ; C , D ) i ( A ′, B ′; C ′ , D ′) są równe.

W geometrii The cross-współczynnik , zwany także dwukrotnie stosunek i stosunek anharmonic , to numer przyporządkowany listę czterech współliniowych punktów, zwłaszcza punktów na projekcyjnej linii . Biorąc pod uwagę cztery punkty A , B , C i D na prostej, ich stosunek przekrojów określa się jako

gdzie orientacja linii określa znak każdej odległości, a odległość jest mierzona jako rzutowana na przestrzeń euklidesową . (Jeśli jeden z czterech punktów jest punktem tej linii w nieskończoności, a oba odstępy udziałem tego punktu jest usunięty z wzoru.) Punkt D jest harmoniczna koniugat z C w stosunku do A i B dokładnie Jeśli przekrój stosunek czwórka to -1, zwana stosunkiem harmonicznym . Stosunek krzyżowy można zatem traktować jako pomiar odchylenia poczwórnego od tego stosunku; stąd nazwa stosunek anharmoniczny .

Stosunek krzyżowy jest zachowany przez liniowe przekształcenia ułamkowe . Jest to w zasadzie jedyny niezmiennik rzutowy poczwórki punktów kolinearnych; podkreśla to jego znaczenie dla geometrii rzutowej .

Stosunek krzyżowy został zdefiniowany w głębokiej starożytności, prawdopodobnie już przez Euklidesa i został rozważony przez Pappusa , który zauważył jego kluczową właściwość niezmienności. Był szeroko badany w XIX wieku.

Warianty tej koncepcji istnieją dla poczwórnej linii zbieżnych na płaszczyźnie rzutowej i poczwórnej punktów na sferze Riemanna . W modelu Cayley-Kleina z geometrii hiperbolicznej , odległość między punktami jest wyrażona w pewnej wzajemnej proporcji.

Terminologia i historia

D jest harmoniczna koniugat z C w stosunku do A i B tak, że stosunek przekroju ( , B , C , D ) jest równa 1.

Pappus z Aleksandrii implicite użył pojęć równoważnych proporcji krzyżowej w swojej Kolekcji: Księga VII . Pierwsi użytkownicy Pappusa to Isaac Newton , Michel Chasles i Robert Simson . W 1986 roku Alexander Jones dokonał tłumaczenia oryginału przez Pappusa, a następnie napisał komentarz na temat tego, jak lematy Pappusa odnoszą się do współczesnej terminologii.

Współczesne zastosowanie współczynnika krzyżowego w geometrii rzutowej zapoczątkował Lazare Carnot w 1803 roku w jego książce Géométrie de Position . Użyty termin to le rapport anharmonique (Fr: stosunek anharmoniczny). Niemieccy geometrzy nazywają to das Doppelverhältnis (niem.: podwójny stosunek).

Mając trzy punkty na prostej, czwarty punkt, który sprawia, że ​​współczynnik krzyżowy jest równy minus jeden, nazywany jest sprzężeniem harmonicznym rzutowym . W 1847 roku Carl von Staudt nazwał konstrukcję czwartego punktu rzutem ( Wurf ) i użył tej konstrukcji do wykazania arytmetyki ukrytej w geometrii. Jego Algebra of Throws dostarcza podejścia do twierdzeń liczbowych, zwykle przyjmowanych jako aksjomaty, ale sprawdzonych w geometrii rzutowej.

Angielski termin „cross-ratio” został wprowadzony w 1878 roku przez Williama Kingdona Clifforda .

Definicja

Stosunek krzyżowy czwórki różnych punktów na linii rzeczywistej o współrzędnych z 1z 2z 3z 4 jest dana wzorem

Można go również zapisać jako „podwójny stosunek” dwóch stosunków dzielenia trójek punktów:

Przekrój Stosunek ten jest zwykle rozszerzony na przypadek, gdy jeden z Z 1Z 2Z 3Z 4 jest bez krawędzi odbywa się to przez usunięcie odpowiednich dwóch różnic z wzoru. Na przykład:

W zapisie geometrii euklidesowej , jeśli A , B , C , D są punktami współliniowymi, ich stosunek krzyżowy wynosi:

gdzie każda z odległości jest podpisana zgodnie ze spójną orientacją linii.

Te same wzory mogą być stosowane do czterech różnych liczb zespolonych lub, bardziej ogólnie, do elementów dowolnego pola , a także mogą być rozszerzone jak wyżej w przypadku, gdy jedną z nich jest symbol ∞.

Nieruchomości

Stosunek krzyżowy czterech współliniowych punktów A , B , C , D można zapisać jako

gdzie opisuje stosunek, z jakim punkt C dzieli odcinek AB i opisuje stosunek, z jakim punkt D dzieli ten sam odcinek. Stosunek krzyżowy pojawia się wtedy jako stosunek stosunków opisujących położenie dwóch punktów C , D względem odcinka AB . Dopóki punkty A , B , C i D są różne, stosunek krzyżowy ( A , B ; C , D ) będzie niezerową liczbą rzeczywistą. Możemy to łatwo wywnioskować

  • ( A , B ; C , D ) < 0 wtedy i tylko wtedy , gdy jeden z punktów C , D leży między punktami A , B a drugi nie
  • ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
  • ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
  • ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ↔ DE

Sześć współczynników krzyżowych

Cztery punkty można zamówić w 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 sposoby, ale jest tylko sześć sposobów na podzielenie ich na dwie nieuporządkowane pary. Tak więc cztery punkty mogą mieć tylko sześć różnych współczynników krzyżowych, które są powiązane w następujący sposób:

Zobacz grupę anharmoniczną poniżej.

Geometria rzutowa

Wykorzystanie współczynników krzyżowych w geometrii rzutowej do pomiaru rzeczywistych wymiarów obiektów przedstawionych w rzucie perspektywicznym . A, B, C, D i V to punkty na obrazie, ich separacja podana w pikselach; A', B', C' i D' są w świecie rzeczywistym, ich odległość w metrach.
  • W (1) szerokość bocznej ulicy W jest obliczana ze znanych szerokości sąsiednich sklepów.
  • W (2) szerokość tylko jednego sklepu jest potrzebna, ponieważ widoczny jest punkt zbiegu , V.

Stosunek krzyżowy jest niezmiennikiem projekcyjnym w tym sensie, że jest zachowany dzięki przekształceniom projekcyjnym linii projekcyjnej.

W szczególności, jeśli cztery punkty leżą na prostej L w R 2, to ich współczynnik krzyżowania jest dobrze określoną wielkością, ponieważ każdy wybór początku, a nawet skali na linii da taką samą wartość przecięcia stosunek.

Ponadto niech { L i | 1 ≤ i ≤ 4} to cztery różne linie na płaszczyźnie przechodzącej przez ten sam punkt Q . Następnie każdy linii L , nie przechodząc przez Q przecięcia tych linii w czterech różnych punktach P i (jeżeli L jest równoległa do L i następnie przez punkt przecięcia jest „w nieskończoności”). Okazuje się, że stosunek krzyżowy tych punktów (wzięty w ustalonej kolejności) nie zależy od wyboru prostej L , a zatem jest niezmiennikiem 4-krotki prostych { L i }.

Można to rozumieć w następujący sposób: jeśli L i L ′ są dwiema liniami nie przechodzącymi przez Q, to transformacja perspektywiczna od L do L ′ ze środkiem Q jest transformacją rzutową, która przenosi poczwórne { P i } punktów na L do poczwórne { P i ′} punktów na L ′.

Dlatego niezmienność współczynnika krzyżowego przy automorfizmach rzutowych prostej implikuje (w rzeczywistości jest równoważna) niezależność współczynnika krzyżowego czterech punktów współliniowych { P i } na prostych { L i } od wyboru wiersza, który je zawiera.

Definicja we współrzędnych jednorodnych

Jeżeli cztery punkty współliniowe są reprezentowane we współrzędnych jednorodnych przez wektory abcd takie, że c = a + b i d = ka + b , to ich współczynnik krzyżowy wynosi  k .

Rola w geometrii nieeuklidesowej

Arthur Cayley i Felix Klein znaleźli zastosowanie stosunku krzyżowego do geometrii nieeuklidesowej . Mając nieosobliwy stożek C w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej , jego stabilizator G C w grupie rzutowej G = PGL(3, R ) działa przechodnie na punkty we wnętrzu C . Jednakże, nie jest niezmienny dla działania G- C w parach punktów. W rzeczywistości każdy taki niezmiennik można wyrazić jako funkcję odpowiedniego współczynnika krzyżowego.

Geometria hiperboliczna

Niech stożek będzie wprost kołem jednostkowym . Dla dowolnych dwóch punktów P , Q , wewnątrz okręgu jednostkowego . Jeśli linia je łącząca przecina okrąg w dwóch punktach X i Y, a punkty to kolejno X , P , Q , Y . Następnie hiperboliczny odległość między P i Q w modelu Cayley-Klein o hiperbolicznej płaszczyźnie można wyrazić

(do uzyskania krzywizny potrzebny jest współczynnik połowa ). Ponieważ stosunek krzyżowy jest niezmienny w transformacjach rzutowych, wynika z tego, że odległość hiperboliczna jest niezmienna w transformacjach rzutowych, które zachowują stożkowatość C .

Odwrotnie, grupa G działa przechodnie na zbiór par punktów ( p , q ) w dysku jednostkowym w ustalonej odległości hiperbolicznej.

Później, częściowo pod wpływem Henri Poincarégo , do metryk hiperbolicznych wykorzystano stosunek krzyżowy czterech liczb zespolonych na kole. Znajdowanie się na okręgu oznacza, że ​​cztery punkty są obrazem czterech punktów rzeczywistych w transformacji Möbiusa , a zatem współczynnik krzyżowy jest liczbą rzeczywistą. Model półpłaszczyznowy Poincarégo i model dysku Poincarégo to dwa modele geometrii hiperbolicznej w złożonej linii rzutowej .

Te modele są instancjami metryk Cayley-Klein .

Grupa anharmoniczna i czterogrupa Kleina

Współczynnik krzyżowy można zdefiniować za pomocą jednego z tych czterech wyrażeń:

Różnią się one następującymi permutacjami zmiennych (w notacji cyklicznej ):

Możemy rozważyć permutacje czterech zmiennych jako działania z grupy symetrycznej S 4 na funkcje czterech zmiennych. Ponieważ powyższe cztery permutacji pozostawić niezmienione stosunek przekroju, tworzą one stabilizator K o przekroju stosunek mocy tego działania, a to wywołuje skuteczne działanie z grupy iloraz na orbicie wzajemnej proporcji. Cztery permutacje w K tworzą realizację czterogrupy Kleina w S 4 , a iloraz jest izomorficzny z symetryczną grupą S 3 .

W ten sposób inne permutacje czterech zmiennych zmieniają stosunek krzyżowy, dając następujące sześć wartości, które są orbitą grupy sześcioelementowej :

Jako funkcje λ , są to przykłady przekształceń Möbiusa , które w połączeniu z funkcjami tworzą grupę Mobiusa PGL(2, Z ) . Sześć przemiany tworzą podgrupę znany jako anharmonic grupy ponownie izomorficznej S 3 . Są to elementy torsyjne ( przekształcenia eliptyczne ) w PGL (2, Z ) . Mianowicie , , i są rzędu 2 z odpowiednimi stałymi punktami -1, 1/2 i 2 (czyli orbita harmonicznego współczynnika krzyżowego). Tymczasem elementy i są rzędu 3 w PGL(2, Z ) , a każdy ustala obie wartości "najbardziej symetrycznego" współczynnika krzyżowego.

Grupa anharmoniczna jest generowana przez λ ↦ 1/ λ i λ ↦ 1 − λ . Jego działanie na {0, 1, ∞} daje izomorfizm z S 3 . Można to również zrealizować jako sześć wspomnianych transformacji Möbiusa, które dają rzutową reprezentację S 3 nad dowolnym polem (ponieważ jest zdefiniowane za pomocą wpisów liczb całkowitych) i są zawsze wierne/injekcyjne (ponieważ żadne dwa terminy nie różnią się tylko 1/− 1). Nad polem z dwoma elementami linia rzutowa ma tylko trzy punkty, więc ta reprezentacja jest izomorfizmem i jest izomorfizmem wyjątkowym . W charakterystyce 3 stabilizuje to punkt , co odpowiada orbicie współczynnika harmonicznej będącej tylko jednym punktem, ponieważ . Nad polem z 3 elementami linia rzutowa ma tylko 4 punkty i , a więc odwzorowanie jest dokładnie stabilizatorem współczynnika krzyżowego harmonicznego, dając osadzenie równe stabilizatorowi punktu .

Wyjątkowe orbity

Dla pewnych wartości λ będzie większa symetria, a zatem mniej niż sześć możliwych wartości współczynnika krzyżowego. Te wartości λ odpowiadają ustalonym punktom działania S 3 na sferę Riemanna (podanym przez powyższe sześć funkcji); lub równoważnie te punkty z nietrywialnym stabilizatorem w tej grupie permutacji.

Pierwszy zbiór punktów stałych to {0, 1, ∞}. Jednak współczynnik krzyżowy nigdy nie może przyjąć tych wartości, jeśli wszystkie punkty A , B , C i D są różne. Wartości te są wartościami granicznymi, ponieważ jedna para współrzędnych zbliża się do siebie:

Drugi zestaw punktów stałych to {−1, 1/2, 2}. Ta sytuacja jest klasycznie nazywana harmoniczny stosunek krzyżowy , i powstaje wrzutowych sprzężeń harmonicznych. W rzeczywistości nie ma innych wyjątkowych orbit.

W złożonym przypadku najbardziej symetryczny współczynnik krzyżowy występuje, gdy . Są to zatem jedyne dwie wartości współczynnika krzyżowego, i działają one zgodnie ze znakiem permutacji.

Podejście transformacyjne

Stosunek krzyżowy jest niezmienny w przypadku przekształceń rzutowych linii. W przypadku złożonej linii rzutowej, czyli sfery Riemanna , transformacje te są znane jako transformacje Möbiusa . Ogólna transformacja Möbiusa ma postać

Te przemiany tworzą grupę działającą na sferze Riemanna , grupę Möbiusa .

Niezmienność projekcyjna współczynnika krzyżowego oznacza, że

Stosunek krzyżowy jest rzeczywisty wtedy i tylko wtedy, gdy cztery punkty są współliniowe lub koncykliczne , co odzwierciedla fakt, że każda transformacja Möbiusa odwzorowuje uogólnione okręgi na uogólnione okręgi.

Działanie grupy Möbiusa jest po prostu przechodnie na zbiorze trójek różnych punktów sfery Riemanna: biorąc pod uwagę dowolną uporządkowaną trójkę odrębnych punktów ( z 2 , z 3 , z 4 ) , istnieje unikalna transformacja Möbiusa f ( z ), który odwzorowuje go na trójkę (1, 0, ∞) . Przekształcenie to można wygodnie opisać za pomocą współczynnika krzyżowego: ponieważ ( z , z 2 , z 3 , z 4 ) musi być równe ( f ( z ), 1; 0, ∞ ) , co z kolei równa się f ( z ), my uzyskać

Alternatywne wyjaśnienie niezmienności stosunku krzyżowego opiera się na fakcie, że grupa przekształceń rzutowych prostej jest generowana przez translacje, homotety i inwersję multiplikatywną. Różnice z jz k są niezmienne pod tłumaczeniami

gdzie a jest stałą w polu naziemnym F . Ponadto współczynniki podziału są niezmienne w ramach homotety

dla niezerowej stałej b w F . Dlatego współczynnik krzyżowy jest niezmienny w ramach transformacji afinicznych .

W celu uzyskania dobrze zdefiniowanego mapowania inwersji

linia afiniczna musi być powiększona o punkt w nieskończoności , oznaczony ∞, tworzący linię rzutową P 1 ( F ). Każde odwzorowanie afiniczne f  : FF może być jednoznacznie rozszerzone do odwzorowania P 1 ( F ) na siebie samego, które ustala punkt w nieskończoności. Mapa T zamienia 0 i ∞. Grupa rzutowe jest generowane przez T i afinicznych mapowania udzielonych P 1 ( f ). W przypadku płaszczyzny zespolonej F = C , daje to grupę Möbiusa . Ponieważ stosunek krzyżowy jest również niezmienny pod T , jest niezmienny pod każdym rzutowym odwzorowaniem P 1 ( F ) na siebie.

Opis współrzędnych

Jeśli zapiszemy punkty zespolone jako wektory i zdefiniujemy , i niech będzie iloczynem skalarnym z , to rzeczywista część stosunku krzyżowego dana jest wzorem:

Jest to niezmiennik specjalnej transformacji konforemnej 2D, takiej jak inwersja .

Część urojona musi wykorzystywać dwuwymiarowy produkt krzyżowy

Homografia pierścieniowa

Pojęcie stosunku krzyżowego zależy tylko od operacji pierścieniowych dodawania, mnożenia i odwracania (chociaż odwrócenie danego elementu nie jest pewne w pierścieniu). Jedno podejście do współczynnika krzyżowego interpretuje go jako homografię, która przyjmuje trzy wyznaczone punkty do 0, 1 i nieskończoności. Przy ograniczeniach związanych z odwrotnościami możliwe jest wygenerowanie takiego odwzorowania z operacjami pierścieniowymi w linii rzutowej nad pierścieniem . Stosunek krzyżowy czterech punktów jest oceną tej homografii w czwartym punkcie.

Różniczo-geometryczny punkt widzenia

Teoria ta nabiera aspektu rachunku różniczkowego, ponieważ cztery punkty zbliżają się do siebie. Prowadzi to do teorii pochodnej Schwarza i ogólniej połączeń projekcyjnych .

Uogólnienia wyższych wymiarów

Stosunek krzyżowy nie uogólnia w prosty sposób na wyższe wymiary, ze względu na inne właściwości geometryczne konfiguracji punktów, w szczególności kolinearność – przestrzenie konfiguracyjne są bardziej skomplikowane, a odrębne k -krotki punktów nie znajdują się w ogólnym położeniu .

Podczas gdy projekcyjna grupa liniowa linii projekcyjnej jest 3-przechodnia (dowolne trzy różne punkty mogą być odwzorowane na dowolne inne trzy punkty), a nawet po prostu 3-przechodnia (istnieje unikalna mapa projekcyjna zabierająca dowolną trójkę do innej trójki), z stosunek krzyżowy jest zatem unikalnym niezmiennikiem rzutowym zbioru czterech punktów, istnieją podstawowe niezmienniki geometryczne w wyższym wymiarze. Rzutowa grupa liniowa n -przestrzeni ma ( n  + 1) 2  − 1 wymiary (ponieważ jest to projektywizacja usuwająca jeden wymiar), ale w innych wymiarach projekcyjna grupa liniowa jest tylko 2-przechodnia – ponieważ trzy punkty współliniowe muszą być odwzorowane na trzy punkty współliniowe (co nie jest ograniczeniem w linii rzutowej) – a zatem nie ma „uogólnionego współczynnika krzyżowego” zapewniającego unikalny niezmiennik n 2 punktów.

Kolinearność nie jest jedyną właściwością geometryczną konfiguracji punktów, która musi być zachowana – na przykład pięć punktów określa stożka , ale sześć punktów ogólnych nie leży na stożku, więc to, czy jakakolwiek 6 krotka punktów leży na stożku, jest również niezmiennik rzutowy. Można badać orbity punktów w położeniu ogólnym – w linii „ogólne położenie” jest równoznaczne z byciem odrębnym, natomiast w wyższych wymiarach wymaga to rozważań geometrycznych, o czym była mowa – ale, jak powyżej wskazuje, jest to bardziej skomplikowane i mniej pouczające.

Istnieje jednak uogólnienie na powierzchnie Riemanna pozytywnego rodzaju , przy użyciu mapy Abel-Jacobi i funkcji theta .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne