Metryka Cayleya-Kleina - Cayley–Klein metric

Odległość metryczna między dwoma punktami wewnątrz wartości bezwzględnej jest logarytmem stosunku krzyżowego utworzonego przez te dwa punkty i dwa przecięcia ich prostej z wartością bezwzględną

W matematyce metryka Cayleya-Kleina jest metryką na dopełnieniu ustalonej kwadryki w przestrzeni rzutowej, która jest zdefiniowana za pomocą współczynnika krzyżowego . Konstrukcja ma swój początek w eseju Arthura Cayleya "O teorii odległości", w którym kwadrykę nazywa absolutem . Budowę dopracował szczegółowo Felix Klein w dokumentach z 1871 i 1873 r. oraz późniejszych książkach i dokumentach. Metryki Cayley-Klein to idea unifikacji w geometrii, ponieważ metoda jest stosowana w celu zapewnienia metryki hiperbolicznej geometrii , geometrii eliptycznej i geometrii euklidesowej . Pole geometrii nieeuklidesowej opiera się w dużej mierze na podstawie dostarczonej przez metryki Cayley-Klein.

Podwaliny

Algebra rzutów przez Karla von Staudt (1847) jest podejście do geometrii, która jest niezależna od metryki . Pomysł polegał na wykorzystaniu relacji sprzężeń harmonicznych rzutowych i współczynników krzyżowych jako fundamentu pomiaru na linii. Innym ważnym spostrzeżeniem była formuła Laguerre'a autorstwa Edmonda Laguerre'a (1853), który wykazał, że kąt euklidesowy między dwiema liniami można wyrazić jako logarytm stosunku krzyżowego. Ostatecznie Cayley (1859) sformułował relacje wyrażające odległość w kategoriach metryki rzutowej i powiązał je z ogólnymi kwadrykami lub stożkami służącymi jako absolut geometrii. Klein (1871, 1873) usunął ostatnie pozostałości pojęć metrycznych z pracy von Staudta i połączył je z teorią Cayleya, aby oprzeć nową metrykę Cayleya na logarytmie i współczynniku krzyżowym jako liczbie generowanej przez geometryczny układ czterech punktów. Ta procedura jest konieczna, aby uniknąć kołowej definicji odległości, jeśli współczynnik krzyżowy jest tylko podwójnym stosunkiem wcześniej zdefiniowanych odległości. W szczególności wykazał, że geometrie nieeuklidesowe mogą być oparte na metryce Cayley-Klein.

Geometria Cayleya-Kleina to badanie grupy ruchów, które opuszczają niezmiennik metryki Cayleya-Kleina . Zależy to od wyboru kwadryki lub stożka, które stają się absolutem przestrzeni. Grupę tę otrzymuje się jako kolineacje, dla których absolut jest stabilny . Rzeczywiście, współczynnik krzyżowy jest niezmienny w każdej kolineacji, a stabilny bezwzględny umożliwia porównanie metryki, które będzie równość. Na przykład koło jednostkowe jest absolutem modelu dysku Poincarégo i modelu Beltramiego-Kleina w geometrii hiperbolicznej . Podobnie prawdziwa linia jest absolutem modelu półpłaszczyznowego Poincaré .

Zakres geometrii Cayley-Klein został podsumowany przez Horsta i Rolfa Struve w 2004 roku:

Istnieją trzy wartości absolutne w rzeczywistej linii rzutowej, siedem w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej i 18 w rzeczywistej przestrzeni rzutowej. W ten sposób można zdefiniować wszystkie klasyczne nieeuklidesowe przestrzenie rzutowe jako hiperboliczne, eliptyczne, galilejskie i minkowskie oraz ich dualności.

Diagramy Cayleya-Kleina Voronoia to diagramy afiniczne z dwusiecznymi hiperpłaszczyznami liniowymi .

Stosunek krzyżowy i odległość

Załóżmy, że Q jest stałą kwadryką w przestrzeni rzutowej, która staje się wartością absolutną tej geometrii. Jeśli i b są następnie 2 punkty linia przez i b przecina Quadratic Q w dwa kolejne punkty p i q . Odległość Cayleya-Kleina d ( a , b ) od a do b jest proporcjonalna do logarytmu współczynnika krzyżowego :

dla pewnej stałej stałej C .

Kiedy C jest prawdziwe, reprezentuje odległość hiperboliczną geometrii hiperbolicznej , gdy urojona odnosi się do geometrii eliptycznej . Absolut może być również wyrażony w postaci dowolnych kwadr lub stożków o postaci we współrzędnych jednorodnych :

(gdzie α , β =1,2,3 odnosi się do płaszczyzny, a α , β =1,2,3,4 do przestrzeni), stąd:

Odpowiednia odległość hiperboliczna to (przy C =1/2 dla uproszczenia):

lub w geometrii eliptycznej (z C=i /2 dla uproszczenia)

Formy normalne absolutu

Dowolna kwadryka (lub powierzchnia drugiego rzędu) o rzeczywistych współczynnikach postaci może zostać przekształcona w postaci normalne lub kanoniczne w postaci sum kwadratów, podczas gdy różnica w liczbie znaków dodatnich i ujemnych nie zmienia się przy rzeczywistym przekształceniu jednorodnym wyznacznika ≠ 0 według prawa bezwładności Sylwestra , o następującej klasyfikacji ("część zerowa" oznacza rzeczywiste równanie kwadryki, ale brak punktów rzeczywistych):

  1. Powierzchnie właściwe drugiego rzędu .
    1. . Powierzchnia zerowa.
    2. . Owalna powierzchnia.
      1. Elipsoida
      2. Paraboloida eliptyczna
      3. Dwóch arkuszy hiperboloida
    3. . Powierzchnia pierścienia.
      1. Hiperboloida jednoarkuszowa
      2. Paraboloida hiperboliczna
  2. Powierzchnie stożkowe drugiego rzędu .
    1. . Stożek bez części.
      1. Stożek z zerową częścią
      2. Cylinder z zerową częścią
    2. . Zwykły stożek.
      1. Stożek
      2. Cylinder eliptyczny
      3. Cylinder paraboliczny
      4. Cylinder hiperboliczny
  3. Pary samolotów .
    1. . Sprzężone pary płaszczyzn urojonych.
      1. Wzajemnie przecinające się wyimaginowane płaszczyzny.
      2. Równoległe płaszczyzny urojone.
    2. . Prawdziwe pary płaszczyzn.
      1. Przecinające się płaszczyzny.
      2. Płaszczyzny równoległe.
      3. Jedna płaszczyzna jest skończona, druga nieskończenie odległa, a więc nie istnieje z afinicznego punktu widzenia.
  4. Podwójne samoloty liczące .
    1. .
      1. Płaszczyzna skończona podwójnego liczenia.
      2. Podwójne liczenie nieskończenie odległej płaszczyzny, nieistniejącej w geometrii afinicznej.

W collineations opuszczające niezmienna te formy mogą być związane z liniowych przemian ułamkowych lub przemian MöBIUS . Takie formy i ich przekształcenia można teraz zastosować do kilku rodzajów przestrzeni, które można ujednolicić za pomocą parametru ε (gdzie ε =0 dla geometrii euklidesowej, ε =1 dla geometrii eliptycznej, ε =−1 dla geometrii hiperbolicznej), więc że równanie w płaszczyźnie staje się iw przestrzeni . Na przykład absolut dla płaszczyzny euklidesowej może być teraz reprezentowany przez .

Płaszczyzna lub przestrzeń eliptyczna jest powiązana z powierzchniami o zerowej części we współrzędnych jednorodnych:

lub używając niejednorodnych współrzędnych, dzięki którym absolut staje się wyimaginowanym jednostkowym okręgiem lub jednostkową sferą:

lub wyrażając jednorodne współrzędne w postaci warunku (współrzędne Weierstrassa) odległość upraszcza się do:

Płaszczyzna lub przestrzeń hiperboliczna jest powiązana z owalną powierzchnią we współrzędnych jednorodnych:

lub używając niejednorodnych współrzędnych, za pomocą których absolut staje się jednostkowym okręgiem lub jednostkową sferą:

lub wyrażając współrzędne jednorodne w postaci warunku (współrzędne Weierstrassa modelu hiperboloidowego ) odległość upraszcza się do:

Szczególna teoria względności

W swoich wykładach z historii matematyki z lat 1919/20, opublikowanych pośmiertnie 1926, Klein pisał:

Sprawa w czterowymiarowym świecie lub (pozostać w trzech wymiarach i używać jednorodnych współrzędnych ) zyskała ostatnio szczególne znaczenie dzięki teorii względności fizyki.

Oznacza to, że absoluty lub w geometrii hiperbolicznej (jak omówiono powyżej) odpowiadają interwałom lub w czasoprzestrzeni , a jej transformacja pozostawiająca niezmiennik absolutny może być powiązana z transformacjami Lorentza . Podobnie równania okręgu jednostkowego lub sfery jednostkowej w geometrii hiperbolicznej odpowiadają prędkościom fizycznym lub w teorii względności, które są ograniczone przez prędkość światła c , tak że dla dowolnej prędkości fizycznej v stosunek v / c jest ograniczony do wnętrza sfery jednostkowej, a powierzchnia sfery tworzy absolut Cayleya dla geometrii.  

Dodatkowe szczegóły dotyczące relacji między metryką Cayleya-Kleina dla przestrzeni hiperbolicznej a przestrzenią szczególnej teorii względności Minkowskiego zostały wskazane przez Klein w 1910 r., a także w wydaniu z 1928 r. jego wykładów z geometrii nieeuklidesowej.

Afiniczna geometria CK

W 2008 Horst Martini i Margarita Spirova uogólnili pierwsze z twierdzeń Clifforda o okręgach i innych geometriach euklidesowych, używając geometrii afinicznej związanej z absolutem Cayleya:

Jeśli absolut zawiera linię, to otrzymujemy podrodzinę afinicznych geometrii Cayleya-Kleina . Jeśli absolut składa się z prostej f i punktu F na f , to mamy geometrię izotropową . Izotropowe koło jest stożkowa dotykania F na F .

Użyj jednorodnych współrzędnych ( x,y,z ). Linia f w nieskończoności wynosi z = 0. Jeśli F = (0,1,0), to parabola o średnicy równoległej do osi y jest kołem izotropowym.

Niech P = (1,0,0) i Q = (0,1,0) będą bezwzględne, więc f jest jak powyżej. Uważa się, że prostokątna hiperbola w płaszczyźnie ( x,y ) przechodzi przez P i Q na linii w nieskończoności. Te krzywe to pseudoeuklidesowe koła.

Obróbka przez Martiniego i Spirovę wykorzystuje liczby podwójne dla geometrii izotropowej i liczby split-complex dla geometrii pseudoeuklidesowej . Te uogólnione liczby zespolone łączą się ze swoimi geometriami, tak jak zwykłe liczby zespolone z geometrią euklidesową.

Historia

Cayley

Ostatnio w rozmowie pojawiło się pytanie, czy rozprawa z 2 linijek mogłaby zasłużyć i otrzymać stypendium. ... Rzutowa definicja długości Cayleya jest jasnym przypadkiem, jeśli możemy zinterpretować "2 linie" z rozsądną szerokością geograficzną. ... W przypadku Cayley waga tego pomysłu jest oczywista na pierwszy rzut oka.

Littlewood (1986 , s. 39-40)

Arthur Cayley (1859) zdefiniował „absolut”, na którym oparł swoją metrykę rzutową jako ogólne równanie powierzchni drugiego stopnia w kategoriach jednorodnych współrzędnych :

oryginał nowoczesny

Odległość między dwoma punktami jest wtedy wyrażona wzorem

oryginał nowoczesny

W dwóch wymiarach

oryginał nowoczesny

z odległością

oryginał nowoczesny

z czego omówił szczególny przypadek z odległością

Nawiązał też do sprawy (jednostkowa sfera).

Klein

Felix Klein (1871) przeformułował wyrażenia Cayleya w następujący sposób: Napisał absolut (który nazwał zasadniczym odcinkiem stożkowym) w kategoriach jednorodnych współrzędnych:

oryginał nowoczesny

a tworząc absoluty i dla dwóch elementów, określił odległość metryczną między nimi w postaci stosunku krzyżowego:

W płaszczyźnie te same stosunki dla metrycznych odległościach posiadać, oprócz tego, że i są teraz związane z trzech współrzędnych każdy. Jako podstawową sekcję stożkową omówił przypadek szczególny , który odnosi się do geometrii hiperbolicznej, gdy jest rzeczywista, i do geometrii eliptycznej, gdy jest urojona. Przekształcenia pozostawiające niezmiennik tej postaci reprezentują ruchy w odpowiedniej przestrzeni nieeuklidesowej. Alternatywnie użył równania koła w postaci , które odnosi się do geometrii hiperbolicznej, gdy jest dodatnia (model Beltrami-Kleina) lub do geometrii eliptycznej, gdy jest ujemne. W przestrzeni omówił podstawowe powierzchnie drugiego stopnia, zgodnie z którymi te urojone odnoszą się do geometrii eliptycznej, rzeczywiste i prostoliniowe odpowiadają jednoarkuszowej hiperboloidzie bez związku z jedną z trzech głównych geometrii, natomiast rzeczywiste i nieprostoliniowe odnoszą się do przestrzeni hiperbolicznej.

W swojej pracy z 1873 r. wskazał na związek między metryką Cayleya a grupami transformacji. W szczególności równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, odpowiadających powierzchniom drugiego stopnia, można przekształcić w sumę kwadratów, przy czym różnica między liczbą znaków dodatnich i ujemnych pozostaje równa (jest to obecnie prawo bezwładności Sylwestra ). Jeśli znak wszystkich kwadratów jest taki sam, powierzchnia jest wyimaginowana z dodatnią krzywizną. Jeśli jeden znak różni się od innych, powierzchnia staje się elipsoidą lub hiperboloidą dwuarkuszową z ujemną krzywizną.

W pierwszym tomie swoich wykładów z geometrii nieeuklidesowej w semestrze zimowym 1889/90 (opublikowanym 1892/1893) omówił płaszczyznę nieeuklidesową, używając tych wyrażeń dla absolutu:

i omówiono ich niezmienność w odniesieniu do kolineacji i transformacji Möbiusa reprezentujących ruchy w przestrzeniach nieeuklidesowych.

W tomie drugim zawierającym wykłady semestru letniego 1890 (opublikowanym również w latach 1892/1893) Klein omówił przestrzeń nieeuklidesową z metryką Cayleya

i wykazał, że warianty tej czwartorzędowej formy kwadratowej mogą być przeniesione do jednej z następujących pięciu form przez rzeczywiste przekształcenia liniowe

Forma ta została użyta przez Kleina jako absolut Cayleya geometrii eliptycznej, natomiast do geometrii hiperbolicznej odniósł i alternatywnie równanie sfery jednostkowej . W końcu omówił ich niezmienność w odniesieniu do kolineacji i transformacji Möbiusa reprezentujących ruchy w przestrzeniach nieeuklidesowych.

Robert Fricke i Klein podsumowali to wszystko we wstępie do pierwszego tomu wykładów o funkcjach automorficznych z 1897 roku, w których używali jako absolutu w geometrii płaskiej, a także w przestrzeni hiperbolicznej. Wykłady Kleina na temat geometrii nieeuklidesowej zostały pośmiertnie ponownie opublikowane w jednym tomie i znacznie zredagowane przez Walthera Rosemanna w 1928 roku. Historyczną analizę pracy Kleina na temat geometrii nieeuklidesowej podali A'Campo i Papadopoulos (2014).

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Historyczny
  • von Staudt, K. (1847). Geometria der Lage . Norymberga: Norymberga F. Korn.
  • Laguerre, E. (1853). „Note sur la théorie des foyers” . Nouvelles annales de mathématiques . 12 : 57-66.
  • Cayley, A. (1859). „Szósty pamiętnik o kwantyce” . Transakcje filozoficzne Royal Society of London . 149 : 61–90. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
  • Klein, F. (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Matematyka Annalen . 4 (4): 573–625. doi : 10.1007/BF02100583 .
  • Klein, F. (1873). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" . Matematyka Annalen . 6 (2): 112–145. doi : 10.1007/BF01443189 .
  • Klein, F. (1893a). Schillinga, ks. (red.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889-90 . Getynga. (drugi druk, pierwodruk w 1892)
  • Klein, F. (1893b). Schillinga, ks. (red.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 . Getynga. (drugi druk, pierwodruk w 1892)
Źródła drugorzędne

Dalsza lektura