Bisekcje - Bisection

Linia DE przecina linię AB w punkcie D, linia EF jest dwusieczną prostopadłą odcinka AD w punkcie C, a linia EF jest wewnętrzną dwusieczną kąta prostego AED

W geometrii , równego podziału jest podział na dwie równe coś lub zbieżnych części, zwykle przez linię , która jest następnie nazywana dwusieczną . Najczęściej rozważanymi typami dwusiecznych są dwusieczna segmentu (linia przechodząca przez środek danego odcinka ) oraz dwusieczna kąta (linia przechodząca przez wierzchołek kąta , która dzieli go na dwa równe kąty).

W przestrzeni trójwymiarowej dwusieczna jest zwykle wykonywana przez płaszczyznę, zwaną również dwusieczną lub dwusieczną płaszczyzną .

Prostopadła dwusieczna odcinka linii

Definicja

Dwusieczna prostopadła odcinka linii

• Prostopadle dwusieczna odcinka linii jest linia, która spotyka się segment w jego środkowym prostopadle.

Dwusieczna prostopadła segmentu ma również tę właściwość, że każdy z jej punktów jest w równej odległości od punktów końcowych segmentu: (D) . ${\displaystyle AB}$${\ Displaystyle X}$
${\ Displaystyle \ quad | XA | = | XB |}$

Dowód wynika z i Pitagorasa twierdzenia : ${\displaystyle |MA|=|MB|}$

${\ Displaystyle | XA | ^ {2} = | XM | ^ {2} + | MA | ^ {2} = | XM | ^ {2} + | MB | ^ {2} = | XB | ^ {2} \;.}$

Właściwość (D) jest zwykle używana do budowy dwusiecznej prostopadłej:

Budowa za pomocą prostej krawędzi i kompasu

Budowa za pomocą prostej krawędzi i kompasu

W geometrii klasycznej dwusekcja jest prostą konstrukcją cyrkla i linijki , której możliwość zależy od umiejętności narysowania okręgów o równych promieniach i różnych środkach:

Segment jest dzielony przez narysowanie przecinających się okręgów o równym promieniu , których środki są punktami końcowymi segmentu. Linia wyznaczona przez punkty przecięcia dwóch okręgów jest prostopadłą dwusieczną odcinka. Ponieważ konstrukcja dwusiecznej jest wykonywana bez znajomości punktu środkowego odcinka , konstrukcja ta jest używana do określenia jako przecięcie dwusiecznej i odcinka linii. ${\displaystyle AB}$${\ Displaystyle r> {\ tfrac {1} {2}} | AB |}$
${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Ta konstrukcja jest w rzeczywistości używana przy konstruowaniu linii prostopadłej do danej linii w danym punkcie : rysowanie okręgu, którego środek jest taki, że przecina linię w dwóch punktach , a prostopadła do zbudowania jest jednym przecinającym się odcinkiem . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle A, B}$${\displaystyle AB}$

Równania

Jeżeli są wektorami położenia dwóch punktów , to jego punktem środkowym jest, a wektor jest wektorem normalnym dwusiecznej odcinka prostopadłego. Stąd jego równanie wektorowe to . Wstawianie i rozwijanie równania prowadzi do równania wektorowego ${\ Displaystyle {\ vec {a}}, {\ vec {b}}}$${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle M: ​​{\ vec {m}} = {\ tfrac {{\ vec {a}} + {\ vec {b}}} {2}}}$${\ Displaystyle {\ vec {a}} - {\ vec {b}}}$${\ Displaystyle ({\ vec {x}} - {\ vec {m}}) \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) = 0}$${\ Displaystyle {\ vec {m}} = \ cdots}$

(V) ${\ Displaystyle \ quad {\ vec {x}} \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) = {\ tfrac {1} {2}} ({\ vec {a}} ^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Z jednym otrzymujemy równanie w postaci współrzędnych: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})}$

(C) ${\ Displaystyle \ quad (a_ {1}-b_ {1}) x + (a_ {2}-b_ {2}) y = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {1} ^ {2}- b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.}$

Lub jawnie:
(E) , gdzie , i . ${\ Displaystyle \ quad y = m (x-x_ {0}) + y_ {0}}$
${\displaystyle \;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}}$${\displaystyle \;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;}$${\displaystyle \;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;}$

Aplikacje

Zastosowano dwusieczne prostopadłe do rozwiązywania różnych problemów geometrycznych:

1. Budowa środka koła Talesa ,
2. Budowa środka Excircle trójkąta,
3. Granice diagramu Woronoja składają się z odcinków takich linii lub płaszczyzn.

Płaszczyzna dwusieczna

Prostopadłe dwusieczne odcinka linii w przestrzeni

• Prostopadle dwusieczna odcinka linii jest samolot , który spełnia segment w jego środkowym prostopadle.

Jego równanie wektorowe jest dosłownie takie samo jak w przypadku samolotu:

(V) ${\ Displaystyle \ quad {\ vec {x}} \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) = {\ tfrac {1} {2}} ({\ vec {a}} ^{2}-{\vec {b}}^{2}).}$

Z jednym otrzymujemy równanie w postaci współrzędnych: ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$

(C3) ${\ Displaystyle \ quad (a_ {1}-b_ {1}) x + (a_ {2}-b_ {2}) y + (a_ {3}-b_ {3}) z = {\ tfrac {1} {2 }}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{ 3}^{2})\;.}$

Własność (D) (patrz wyżej) jest dosłownie prawdziwa również w przestrzeni:
(D) Prostopadła dwusieczna płaszczyzna odcinka ma dla dowolnego punktu własność: . ${\displaystyle AB}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \; | XA | = | XB |}$

Dwusieczna kąta

Bisekcje kąta za pomocą cyrkla i linijki

Kąt dwusieczna kąta dzieli się na dwa kąty o równych środków. Kąt ma tylko jedną dwusieczną. Każdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od boków kąta.

Wnętrze lub wewnętrzny dwusieczna kąta linia, pół-liniowy lub segmentów linii, która dzieli kąt mniejszy niż 180 ° w dwóch równych kątach. Zewnątrz lub zewnętrzny Dwusieczna jest linia, która dzieli dodatkowy kąt (180 ° minus kąt pierwotnego), utworzona przez jeden bok tworzący pierwotny kąt i wydłużenie drugiej strony, w dwóch równych kątach.

Aby przeciąć kąt za pomocą linijki i cyrkla , rysuje się okrąg, którego środkiem jest wierzchołek. Okrąg spotyka się z kątem w dwóch punktach: po jednym na każdej nodze. Używając każdego z tych punktów jako środka, narysuj dwa koła o tym samym rozmiarze. Przecięcie okręgów (dwa punkty) wyznacza linię będącą dwusieczną kąta.

Dowód poprawności tej konstrukcji jest dość intuicyjny, polegający na symetrii problemu. Trysekcja kąta (podział na trzy równe części) nie może być osiągnięte przy kompasu i tylko linijki (ta została po raz pierwszy świadczy Pierre Laurent Wantzel ).

Dwusieczna wewnętrzna i zewnętrzna kąta są prostopadłe . Jeśli kąt jest utworzony przez dwie proste podane algebraicznie jako , a następnie dwusieczna wewnętrzna i zewnętrzna są podane przez dwa równania ${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\ pm {\frac {l_{2}x+m_{2}r+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}$

Trójkąt

Współbieżności i kolinearności

Wewnętrzne dwusiecznych o trójkąta są zbieżne w punkcie zwanym incenter trójkąta, jak pokazano na rysunku z prawej strony.

Dwusieczne dwóch zewnętrznych kątów i dwusieczna drugiego kąta wewnętrznego są współbieżne.

Trzy punkty przecięcia, każdy z dwusiecznej kąta zewnętrznego o przeciwnej wysuniętej stronie , są współliniowe (leżą na tej samej linii co siebie).

Trzy punkty przecięcia, dwa z nich między dwusieczną kąta wewnętrznego a przeciwległą stroną, a trzeci między drugą dwusieczną kąta zewnętrznego a przeciwległą stroną przedłużoną, są współliniowe.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta

Na tym schemacie BD:DC = AB:AC.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta dotyczy względnych długości dwóch odcinków, na które bok trójkąta jest podzielony linią, która przecina przeciwny kąt. Przyrównuje ich względne długości do względnych długości pozostałych dwóch boków trójkąta.

Długości

Jeżeli długości boków trójkąta wynoszą , półobwodem i A jest kątem przeciwległym , to długość wewnętrznej dwusiecznej kąta A wynosi ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle s=(a+b+c)/2,}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle {\ Frac {2 {\ sqrt {BCS (SA)}}} {b + c}}}$

lub w kategoriach trygonometrycznych,

${\ Displaystyle {\ Frac {2bc} {b + c}} \ cos {\ Frac {A} {2}}.}$

Jeśli wewnętrzna dwusieczna kąta A w trójkącie ABC ma długość i jeśli ta dwusieczna dzieli bok przeciwny A na odcinki o długościach m i n , to ${\displaystyle t_{a}}$

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$

gdzie b i c są długościami boków przeciwległych do wierzchołków B i C; a strona przeciwna A jest podzielona w proporcji b : c .

Jeżeli dwusieczne wewnętrzne kątów A, B i C mają długości i , to ${\ Displaystyle t_ {a}, t_ {b},}$${\displaystyle t_{c}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {(b + c) ^ {2}} {BC}} t_ {a} ^ {2} + {\ Frac {(c + a) ^ {2}} {ca}} t_ { b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

Żadne dwa nieprzystające trójkąty nie mają tego samego zestawu trzech wewnętrznych długości dwusiecznej kąta.

Trójkąty całkowite

Istnieją trójkąty całkowite z wymierną dwusieczną kąta .

Czworoboczny

Wewnętrzne dwusieczne kąta wypukłego czworokąta albo tworzą czworokąt cykliczny (czyli cztery punkty przecięcia sąsiednich dwusiecznych kąta są koncykliczne ), albo są współbieżne . W tym ostatnim przypadku czworokąt jest czworokątem stycznym .

Romb

Każda przekątna rombu przecina przeciwległe kąty.

Czworobok ex-tangencjalny

Mimośród czworoboku ex-tangencjalnego leży na przecięciu sześciu dwusiecznych kąta. Są to wewnętrzne dwusieczne kąta przy dwóch przeciwległych kątach wierzchołkowych, zewnętrzne dwusieczne kąta (uzupełniające dwusieczne kąta) przy pozostałych dwóch kątach wierzchołkowych oraz zewnętrzne dwusieczne kąta przy kątach utworzonych w miejscu przecięcia przedłużeń przeciwległych boków .

Parabola

Styczna do paraboli w dowolnym punkcie dwusieczną kąta pomiędzy linią łączącą punkt do skupienia się, oraz z linii od punktu, a prostopadle do kierownicę.

Dwusieczne boków wielokąta

Trójkąt

Mediany

Każda z trzech środkowych trójkąta jest odcinkiem linii przechodzącym przez jeden wierzchołek i środek przeciwległego boku, więc przecina ten bok (choć generalnie nie prostopadle). Trzy mediany przecinają się w punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta, który jest jego środkiem masy, jeśli ma jednolitą gęstość; zatem każda linia przechodząca przez środek ciężkości trójkąta i jeden z jego wierzchołków przecina przeciwną stronę na pół. Środek ciężkości znajduje się dwa razy bliżej środka dowolnego boku niż przeciwległego wierzchołka.

Dwusieczne prostopadłe

Wewnętrzna dwusieczna prostopadła boku trójkąta to odcinek linii, która prostopadle przecina ten bok, w całości leżący na i wewnątrz trójkąta. Trzy prostopadłe dwusieczne trzech boków trójkąta przecinają się w circumcenter (środek okręgu przez trzy wierzchołki). Zatem każda linia przechodząca przez środek obwodu trójkąta i prostopadła do boku przecina ten bok.

W ostrym trójkącie środek opisany dzieli wewnętrzne dwusieczne prostopadłe dwóch najkrótszych boków w równych proporcjach. W trójkącie rozwartym dwusieczne prostopadłe dwóch najkrótszych boków (rozciągnięte poza ich przeciwległe boki trójkąta do środka opisanego) są podzielone przez ich odpowiednie przecinające się boki trójkąta w równych proporcjach.

Dla dowolnego trójkąta wewnętrzne dwusieczne prostopadłe są podane przez i gdzie są boki, a powierzchnia${\ Displaystyle p_ {a} = {\ tfrac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2}-c ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle p_ {b} = {\ tfrac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2}-c ^ {2}}}}$${\ Displaystyle p_ {c} = {\ tfrac {2cT} {a ^ {2}-b ^ {2} + c ^ {2}}}}$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\ Displaystyle T.}$

Czworoboczny

Dwa bimedians z wypukły czworoboku są segmenty liniowe łączące punkty pośrednie przeciwległych stron, więc każda przepoławiającą dwóch stron. Dwie bimediany i odcinek łączący punkty środkowe przekątnych są zbieżne w punkcie zwanym „centrum wierzchołków” i są przecinane przez ten punkt.

Cztery „wysokości geograficzne” wypukłego czworoboku są prostopadłe do boku przechodzącego przez środek przeciwnej strony, stąd przecinają drugą stronę. Jeśli czworobok jest cykliczny (wpisany w okrąg), te wysokości są zbieżne (wszystkie spotykają się w) wspólnym punkcie zwanym „antycentrum”.

Twierdzenie Brahmagupty mówi, że jeśli czworokąt cykliczny jest ortodiagonalny (czyli ma prostopadłe przekątne ), to prostopadła do boku z punktu przecięcia przekątnych zawsze przecina przeciwną stronę.

Prostopadle konstrukcja dwusieczna tworzy czworokąt z prostopadłych dwusiecznych boków innego czworoboku.

Dwusieczne obszaru i dwusieczne obwodu

Trójkąt

Istnieje nieskończona liczba linii, które przecinają obszar trójkąta na pół . Trzy z nich są mediany trójkąta (które łączą punkty przecięcia boków o wierzchołkach przeciwległych) i są one zbieżne w tego trójkąta ciężkości ; w rzeczywistości są to jedyne dwusieczne obszaru, które przechodzą przez środek ciężkości. Trzy inne dwusieczne powierzchni są równoległe do boków trójkąta; każdy z nich przecina pozostałe dwie strony tak, aby podzielić je na segmenty o proporcjach . Te sześć linii jest współbieżnych po trzy jednocześnie: oprócz trzech median współbieżnych, każda jedna mediana jest zbieżna z dwoma bocznymi, równoległymi dwusiecznymi. ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$

Koperta nieskończoności dwusiecznych obszar jest naramienny (szeroko zdefiniowane jako postać z trzech wierzchołków połączonych krzywe, które są wklęsłe na zewnątrz naramienny, co wewnętrzne punkty A uwypuklony Set). Wierzchołki mięśnia naramiennego znajdują się w środkach środkowych; wszystkie punkty wewnątrz naramiennika znajdują się na trzech różnych dwusiecznych obszaru, podczas gdy wszystkie punkty poza nim znajdują się tylko na jednym. [1] Boki mięśnia naramiennego to łuki hiperboli, które są asymptotyczne względem wydłużonych boków trójkąta. Stosunek pola obwiedni dwusiecznych pola do pola trójkąta jest niezmienny dla wszystkich trójkątów i wynosi tj. 0,019860... lub mniej niż 2%. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log_{e}(2)-{\tfrac {1}{2}}}$

Tasak trójkąta to odcinek, który przecina obwód trójkąta i ma jeden punkt końcowy w punkcie środkowym jednej z trzech stron. Trzy lepczyca zgadzają się z (wszystkie przejściu na wylot) środek okręgu Spieker , który jest incircle w środkowej trójkąta . Tasaki są równoległe do dwusiecznych kąta.

Rozdzielacz trójkąta jest odcinek końcowy posiadający jeden na jeden z trzech wierzchołków trójkąta i przecina obwód. Trzy rozdzielacze zbiegają się w punkcie Nagel trójkąta.

Każdy wiersz poprzez trójkąta, który dzieli obszar zarówno trójkąt i jego obwód w połowie przechodzi incenter trójkąta (w środku jego incircle ). W każdym trójkącie jest jeden, dwa lub trzy z nich. Linia przechodząca przez środek przecina jedną z powierzchni lub obwodu wtedy i tylko wtedy, gdy przecina również drugą.

Równoległobok

Każda linia przechodząca przez środek równoległoboku przecina obszar i obwód na pół.

Okrąg i elipsa

Wszystkie dwusieczne obszaru i dwusieczne obwodu okręgu lub innej elipsy przechodzą przez środek , a wszelkie akordy przechodzące przez środek przecinają obszar i obwód na pół. W przypadku koła są to średnice koła.

Dwusieczne przekątnych

Równoległobok

W przekątne równoległoboku przepoławiać siebie.

Czworoboczny

Jeśli odcinek łączący przekątne czworokąta przecina obie przekątne, to ten odcinek ( linia Newtona ) jest przecinany przez środek wierzchołka.

Dwusieczne objętości

Płaszczyzna, która dzieli dwie przeciwległe krawędzie czworościanu w określonym stosunku, również dzieli objętość czworościanu w tym samym stosunku. Zatem każda płaszczyzna zawierająca bimedianę (łącznik punktów środkowych przeciwległych krawędzi) czworościanu dzieli na pół objętość czworościanu

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Dwusieczna kąta na przecięciu węzła
• Definicja dwusiecznej kąta. Matematyka Open Reference Z interaktywnym apletem
• Definicja dwusiecznej linii. Matematyka Open Reference Z interaktywnym apletem
• Dwusieczna prostopadła. Z interaktywnym apletem
• Animowane instrukcje dwusiecznej kąta i dwusiecznej linii Korzystanie z cyrkla i linijki mierniczej
• Weisstein, Eric W. "Linia dwusieczna" . MatematykaŚwiat .

Ten artykuł zawiera materiał z Angle bisector na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .