Punkt ogólny - Generic point
W geometrii algebraicznej , A generic punkt P o algebraicznych odmiany X jest, z grubsza rzecz biorąc, punkt, w którym wszystkie właściwości generyczne są prawdziwe, właściwość bycia rodzajowe właściwość, która odnosi się do niemal każdego punktu.
W klasycznej geometrii algebraicznej, ogólny punkt afinicznej lub rzutowej rozmaitości algebraicznej wymiaru d jest takim punktem, że pole generowane przez jego współrzędne ma stopień transcendencji d względem pola generowanego przez współczynniki równań rozmaitości.
W teorii programu The widmo o integralnej domenie posiada unikalny punkt rodzajową, która jest minimalna ideałem. Gdy zamknięcie tego punktu do topologii Zariski jest całe spektrum definicja został rozszerzony na ogólną topologię , gdzie rodzajowy punkt z przestrzeni topologicznej X oznacza punkt, którego zamknięcie jest X .
Definicja i motywacja
Ogólnym punktem przestrzeni topologicznej X jest punkt P, którego zamknięciem jest całe X , czyli punkt, który jest gęsty w X .
Terminologia wynika z przypadku topologii Zariski na planie subvarieties od An algebraicznych zestawie : algebraiczna zestaw jest nieredukowalne (to znaczy, że nie jest sumą dwóch odpowiednich podzbiorów algebraicznych) wtedy i tylko wtedy, gdy topologicznej przestrzeni subvarieties ma ogólny punkt.
Przykłady
- Jedyną przestrzenią Hausdorffa, która ma punkt ogólny, jest zbiór singletonów .
- Każdy schemat integralny ma (unikalny) punkt ogólny; w przypadku afinicznej integralnego systemu (to znaczy, pierwsza widmo o integralną domeny ) punkt generycznej jest punktowe związane z ideałem (0).
Historia
W fundamentalnym podejściu André Weila , rozwiniętym w jego podstawach geometrii algebraicznej , punkty ogólne odgrywały ważną rolę, ale były traktowane w inny sposób. Dla odmiany algebraicznego V nad pola K , ogólne punkty z V była cała klasa punktów V biorąc wartości w powszechnej domeny omów, algebraicznie zamknięte pola zawierającego K ale również nieskończony dopływ świeżego wielomianami. Podejście to zadziałało, bez potrzeby zajmowania się bezpośrednio topologią V (to znaczy topologia K- Zariskiego), ponieważ wszystkie specjalizacje można było omawiać na poziomie pola (jak w podejściu teorii wartościowania do geometrii algebraicznej, popularnej w lata 30. XX wieku).
Było to kosztem ogromnego zbioru równie ogólnych punktów. Oscar Zariski , kolega Weila z São Paulo tuż po II wojnie światowej , zawsze podkreślał, że ogólne punkty powinny być wyjątkowe. (Można to ująć w terminologię topologów: pomysł Weila nie daje przestrzeni Kołmogorowa, a Zariski myśli w kategoriach ilorazu Kołmogorowa .)
W szybkich fundamentalnych zmianach w latach pięćdziesiątych podejście Weila stało się przestarzałe. Jednak w teorii schematów od 1957 r. powróciły punkty rodzajowe: tym razem à la Zariski . Na przykład R dyskretnych pierścień wartość , Spec ( R ) składa się z dwóch elementów, ogólnego punktu (pochodzące z ideałem {0}) i zamkniętym miejscu lub specjalnego punktu pochodzące z unikalnym maksymalnej ideału . Dla morfizmów do Spec ( R ), włókno powyżej specjalnego punktu jest włóknem specjalnym , ważnym pojęciem na przykład w modulo p redukcji , teorii monodromii i innych teoriach dotyczących degeneracji. Rodzajową włókien równie jest włókno powyżej temperatury ogólnej. Geometria degeneracji polega więc w dużej mierze na przejściu od włókien generycznych do specjalnych, czyli inaczej mówiąc, jak na sprawy wpływa specjalizacja parametrów. (Dla dyskretnego pierścienia wartościującego rozważaną przestrzenią topologiczną jest przestrzeń topologów Sierpińskiego . Inne pierścienie lokalne mają unikalne punkty rodzajowe i specjalne, ale bardziej skomplikowane widmo, ponieważ reprezentują wymiary ogólne. Przypadek wartościowania dyskretnego jest bardzo podobny do jednostki złożonej dysk , do tych celów.)
Bibliografia
- ^ David Mumford , Czerwona Księga Odmian i Schematów, Springer 1999
- Vickers, Steven (1989). Topologia przez logikę . Cambridge Tracts w informatyce teoretycznej. 5 . P. 65. Numer ISBN 0-521-36062-5.
- Weil, André (1946). Podstawy geometrii algebraicznej . Publikacje kolokwium Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego. XXIX .