Zestaw zamknięty - Closed set

W geometrii , topologii oraz pokrewnych gałęzi matematyki , A zamknięty zestaw to zestaw , którego uzupełnieniem jest zbiorem otwartym . W przestrzeni topologicznej zbiór domknięty można zdefiniować jako zbiór zawierający wszystkie jego punkty graniczne . W pełnej przestrzeni metrycznej zbiór domknięty jest zbiorem, który jest domknięty pod działaniem limitu . Nie należy tego mylić z zamkniętym kolektorem .

Równoważne definicje zbioru domkniętego

Z definicji, podzbiór z przestrzeni topologicznej nazywany jest zamknięty , jeżeli jego uzupełnieniem jest otwartym podzbiorem ; to znaczy, jeśli zbiór jest zamknięty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy jego domknięciu w Równoważnie, zbiór jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty graniczne . Jeszcze inna równoważna definicja mówi, że zbiór jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty graniczne . Każdy podzbiór jest zawsze zawarty w swoim (topologicznym) domknięciu, w którym oznacza to, że jest, jeśli to Ponadto, jest podzbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy${\ Displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle X \ setminus A \ w \ tau.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\ Displaystyle A \ subseteq \ operatorname {cl} _ {X} A.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A = \ nazwa operatora {cl} _ {X} A.}$

Alternatywna charakterystyka zbiorów zamkniętych jest dostępna poprzez sekwencje i sieci . Podzbiór topologicznej przestrzeń jest zamknięta , wtedy i tylko wtedy, gdy każda granica każdej siatki elementów należy również do W liczbę policzalny przestrzeni (na przykład miejsca metryczne), to jest to, aby jedynie zbieżne sekwencji zamiast wszystkim sieci. Jedną z wartości tej charakterystyki jest to, że może być używana jako definicja w kontekście przestrzeni zbieżności , które są bardziej ogólne niż przestrzenie topologiczne. Zauważ, że ta charakterystyka zależy również od otaczającej przestrzeni, ponieważ to, czy sekwencja lub sieć są zbieżne, czy nie, zależy od tego, jakie punkty są obecne w . Mówi się, że punkt w jest bliski podzbioru if (lub równoważnie, jeśli należy do domknięcia in topologiczna podprzestrzeń znaczenie , gdy jest wyposażony w topologii podprzestrzeni wywołanego na nią ). Ponieważ domknięcie in jest zatem zbiorem wszystkich punktów in, które są bliskie tej terminologii, pozwala na prosty angielski opis podzbiorów domkniętych: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A.}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\ Displaystyle x \ w \ operatorname {cl} _ {X} A}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A \ filiżanka \ {x \}}$${\ Displaystyle x \ w \ operatorname {cl} _ {A \ filiżanka \ {x \}} A}$${\ Displaystyle A \ filiżanka \ {x \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle A}$

podzbiór jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera każdy punkt, który jest blisko niego.

Pod względem zbieżności netto, punkt jest blisko do podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jakiś netto (wartości) w tym, że jest zbieżny do Jeśli jest topologiczna podprzestrzeń jakiejś innej przestrzeni topologicznej w tym przypadku jest nazywana topologiczna super-przestrzeń z czym nie może istnieć jakiś punkt , który znajduje się w pobliżu (choć nie jest to element ), który jest, jak to jest możliwe, że podzbiór zostać zamknięta w ale aby nie być zamknięte w „większej” otaczającej super przestrzeni Jeśli i jeśli jest dowolny topologiczna nadprzestrzeń then jest zawsze (potencjalnie właściwym) podzbiorem, który w rzeczywistości oznacza domknięcie w , nawet jeśli jest podzbiorem domkniętym (co zdarza się wtedy i tylko wtedy , gdy ), mimo to nadal możliwe jest, aby być podzbiorem właściwym od jednak jest zamknięty podzbiór tylko wtedy, gdy dla niektórych (lub równoważnie dla każdego) super-topologicznej przestrzeni z${\ Displaystyle x \ w X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle x.}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle Y \ setminus X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Operatorname {cl} _ {Y} A}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle Y;}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A = \ nazwa operatora {cl} _ {X} A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Operatorname {cl} _ {Y} A.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A = X \ czapka \ operatorname {cl} _ {Y} A}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X.}$

Zamknięte zbiory mogą być również użyte do scharakteryzowania funkcji ciągłych : mapa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru ; można to przeredagować w prostym języku angielskim jako: jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru mapuje punkty, które są blisko punktów zbliżonych do Podobnie, jest ciągła w ustalonym danym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze jest blisko podzbioru wtedy jest blisko do${\displaystyle f:X\do Y}$${\ Displaystyle f \ lewo (\ nazwa operatora {cl} _ {X} A \ po prawej) \ podseteq \ nazwa operatora {cl} _ {Y} (f (A))}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle x \ w X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

Więcej o zamkniętych zestawach

Pojęcie zbioru domkniętego jest zdefiniowane powyżej w kategoriach zbiorów otwartych , pojęcie to ma sens dla przestrzeni topologicznych , jak również dla innych przestrzeni niosących struktury topologiczne , takich jak przestrzenie metryczne , rozmaitości różniczkowe , przestrzenie jednorodne i przestrzenie cechowania .

To, czy zbiór jest zamknięty, zależy od przestrzeni, w której jest osadzony. Jednak zwarte przestrzenie Hausdorffa są " absolutnie zamknięte ", w tym sensie, że jeśli osadzisz zwartą przestrzeń Hausdorffa w dowolnej przestrzeni Hausdorffa, to zawsze będzie ona podzbiorem domkniętym ; „przestrzeń otaczająca” nie ma tu znaczenia. Zagęszczanie kamienia–Čecha , proces, który przekształca całkowicie regularną przestrzeń Hausdorffa w zwartą przestrzeń Hausdorffa, można opisać jako sąsiadujące z przestrzenią granice pewnych niekonwergentnych sieci. ${\ Displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$

Co więcej, każdy zamknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty, a każda zwarta podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest zamknięta.

Zbiory domknięte dają również użyteczną charakterystykę zwartości: przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór niepustych podzbiorów zamkniętych z pustym przecięciem dopuszcza skończony podzbiór z pustym przecięciem. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Przestrzeń topologiczna jest odłączony wtedy, gdy istnieją rozłączne, niepusty, otwarte podgrupy i z którego związków są ponadto jest całkowicie odłączona , gdy ma ona otwarty podstawy składa się z zamkniętych zestawy. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$

Właściwości zbiorów zamkniętych

Zamknięty zbiór zawiera własną granicę . Innymi słowy, jeśli znajdujesz się „poza” zamkniętym zestawem, możesz przesunąć niewielką ilość w dowolnym kierunku i nadal pozostawać poza zestawem. Zauważ, że jest to również prawdziwe, jeśli granicą jest zbiór pusty, np. w przestrzeni metrycznej liczb wymiernych, dla zbioru liczb, którego kwadrat jest mniejszy niż${\ Displaystyle 2.}$

• Każde przecięcie dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zamknięte (w tym przecięcia nieskończenie wielu zbiorów domkniętych)
• Unia z skończenie wielu zbiorów domkniętych jest zamknięta.
• Zbiór pusty jest zamknięty.
• Cały zestaw jest zamknięty.

W rzeczywistości, jeśli dany zbiór i zbiór podzbiorów takich, że elementy mają właściwości wymienione powyżej, to istnieje unikalna topologia w taki sposób, że zamknięte podzbiory są dokładnie tymi zbiorami, które należą do Właściwość przecięcia również pozwala w celu określenia zamknięcie zestawu w miejscu , które jest zdefiniowane jako najmniejsze zamknięty podzbiór czyli rozszerzeniem w szczególności, zamknięcie może być wykonane jako przecięcia wszystkich tych zamkniętych nadzbiorami. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} \ neq \ varnothing}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}.}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A.}$${\ Displaystyle X}$

Zbiory, które można skonstruować jako sumę przeliczalnie wielu zbiorów zamkniętych, _nazywamy zbiorami F _σ . Te zestawy nie muszą być zamknięte.

Przykłady zbiorów zamkniętych

• Zamknięty przedział od liczb rzeczywistych jest zamknięta. (Patrz Interval (matematyka) dla wyjaśnienia notacji zestawu nawiasów i nawiasów).${\displaystyle [a,b]}$
• Przedział jednostkowy jest zamknięty w przestrzeni metrycznej liczb rzeczywistych, a zestaw z liczb wymiernych między a (włącznie) jest zamknięty w przestrzeni liczb wymiernych, ale nie jest zamknięta w rzeczywistych liczb.${\displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle [0,1] \ czapka \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle [0,1] \ czapka \ mathbb {Q}}$
• Niektóre zbiory nie są ani otwarte, ani zamknięte, na przykład przedział półotwarty w liczbach rzeczywistych.${\ Displaystyle [0,1)}$
• Niektóre zestawy są zarówno otwarte, jak i zamknięte i nazywane są zestawami clopen .
• Ray jest zamknięty.${\displaystyle [1,+\infty )}$
• Zbiór Cantora jest niezwykły zestaw zamknięty w tym sensie, że składa się wyłącznie z punktów brzegowych i nigdzie gęsty.
• Punkty singletonowe (a więc zbiory skończone) są zamknięte w przestrzeniach Hausdorffa .
• Zbiór liczb całkowitych jest nieskończonym i nieograniczonym zbiorem domkniętym w liczbach rzeczywistych.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Jeśli jest funkcją pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, to jest ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy przedobrazy zbiorów domkniętych w są domknięte w${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X.}$

Zobacz też

• Zestaw zamknięty  – podzbiór, który jest zarówno otwarty, jak i zamknięty
• Zamknięta mapa
• Zbiór otwarty  – podstawowy podzbiór przestrzeni topologicznej
• Sąsiedztwo  — zbiór otwarty w przestrzeni topologicznej zawierającej dany punkt lub podzbiór
• Region (matematyka)
• Regularny zamknięty zestaw

Uwagi

Bibliografia

• Doleckiego, Szymona ; Mynard, Fryderyk (2016). Podstawy zbieżności topologii . New Jersey: World Scientific Publishing Company. Numer ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. Numer ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jego podstawy . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Ogólna topologia (pierwsze wyd.). Mineola, NY : Dover Publikacje . Numer ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .