Pierścień topologiczny - Topological ring

W matematyce , A pierścień topologiczna jest pierścień R , który jest również topologiczna przestrzeni tak, że zarówno w trakcie dodawania i mnożenia są ciągły jak mapy:

${\ Displaystyle R \ razy R \ do R}$

gdzie przenosi topologię produktu . Oznacza to, że R jest addytywną grupą topologiczną i multiplikatywną półgrupą topologiczną . ${\ Displaystyle R \ razy R}$

Pierścienie topologiczne są zasadniczo związane z polami topologicznymi i powstają naturalnie podczas ich badania, gdyż np. uzupełnienie pola topologicznego może być pierścieniem topologicznym, który nie jest polem .

Uwagi ogólne

Grupa jednostek R ^x o topologii pierścienia R jest grupa topologiczna , gdy wyposażony w topologii pochodzące z osadzania z R ^x w produkcie R x R jako ( x , x ^-1 ). Jeśli jednak grupie jednostek nadano topologię podprzestrzenną jako podprzestrzeń R , to może nie być grupą topologiczną, ponieważ inwersja na R ^× nie musi być ciągła względem topologii podprzestrzennej. Przykładem takiej sytuacji jest Adele pierścień o zakresie globalnym ; jego grupa jednostkowa, zwana grupą idele , nie jest grupą topologiczną w topologii podprzestrzennej. Jeśli inwersja na R ^× jest ciągła w topologii podprzestrzennej R, to te dwie topologie na R ^× są takie same.

Jeśli nie wymaga się, aby pierścień miał jednostkę, to trzeba dodać wymóg ciągłości odwrotności addytywnej lub równoważnej, aby zdefiniować pierścień topologiczny jako pierścień będący grupą topologiczną (dla +), w której mnożenie jest ciągły.

Przykłady

Topologiczne pierścienie występują w analizy matematycznej , na przykład w postaci pierścieni ciągłych o wartościach rzeczywistych funkcji w pewnym topologii powierzchni (gdzie topologia przedstawiona jest przez zbieżności punktowej) lub w pierścieniach ciągłych operatorów liniowych i niektórych unormowanej przestrzeni wektorowej ; wszystkie algebry Banacha są pierścieniami topologicznymi. Te racjonalne , prawdziwe , złożone i p -adic numery są również pierścienie topologiczne (nawet pól topologiczne, patrz niżej) z ich standardowych topologii. W płaszczyźnie liczby split-complex i liczby dualne tworzą alternatywne pierścienie topologiczne. Zobacz liczby hiperkompleksowe dla innych niskowymiarowych przykładów.

W algebrze powszechna jest następująca konstrukcja: zaczyna się od pierścienia przemiennego R zawierającego idealny I , a następnie rozważa się topologię I- adyczną na R : podzbiór U z R jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x w U istnieje liczba naturalna n taka, że x + I ⁿ ⊆ U . To zamienia R w pierścień topologiczny. I -adic topologii Hausdorff wtedy i tylko wtedy, gdy punkt przecięcia wszystkich sił I jest idealny zero (0).

P -adic Topologia na całkowite jest przykładem I -adic topologii (z I = ( p )).

Ukończenie

Każdy pierścień topologiczny jest grupą topologiczną (pod względem addycji), a więc w naturalny sposób jednolitą przestrzenią . Można więc zapytać, czy dany pierścień topologiczny R jest kompletny . Jeśli tak nie jest, to może być skompletowane : można znaleźć zasadniczo unikalny kompletny pierścień topologiczny S, który zawiera R jako gęsty podpierścień, taki, że dana topologia na R jest równa topologii podprzestrzeni wynikającej z S . Jeśli początkowy pierścień R jest metryczny, pierścień S można skonstruować jako zbiór klas równoważności sekwencji Cauchy'ego w R , ta relacja równoważności sprawia, że ​​pierścień S Hausdorffa i przy użyciu stałych sekwencji (które są Cauchy'ego) realizuje się (jednostajnie) ciągłą morfizm (CM w sequelu) c  : R → S taki, że dla wszystkich CM f  : R → T , gdzie T to Hausdorff i kompletne, istnieje jednoznaczne CM g  : S → T takie, że . Jeśli R nie jest metryczne (jak na przykład pierścień wszystkich funkcji wymiernych o wartościach rzeczywistych, tj. wszystkich funkcji f  : R → Q wyposażonych w topologię zbieżności punktowej), standardowa konstrukcja używa minimalnych filtrów Cauchy'ego i spełnia tę samą uniwersalną własność jak wyżej (patrz Bourbaki , Topologia ogólna, III.6.5). ${\displaystyle f=g\circ c}$

Pierścienie formalnych szeregów potęgowych i p -adyczne liczby całkowite są najbardziej naturalnie definiowane jako uzupełnienia pewnych pierścieni topologicznych niosących topologie I -adyczne.

Pola topologiczne

Niektóre z najważniejszych przykładów to pola topologiczne . Pole topologiczne jest pierścieniem topologicznym, który jest również polem i takim, że odwrócenie elementów niezerowych jest funkcją ciągłą. Najczęstszymi przykładami są liczby zespolone i wszystkie ich podpola oraz pola o wartościach , które obejmują pola p - adic .

Cytaty

Bibliografia