Topologia podprzestrzeni — Subspace topology

W topologii i powiązanych dziedzinach matematyki , A podprzestrzeń z przestrzeni topologicznej X jest podzbiór S z X , który jest wyposażony w topologii indukowanej się od X zwany topologii podprzestrzeni (lub względem topologii , lub indukowaną topologii , lub ślad topologia ).

Definicja

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczna i podzbiór z The topologia podprzestrzeni na określony jest przez ${\displaystyle (X,\tau)}$ ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ tau _ {S} = \ lbrace S \ czapka U \ mid U \ w \ tau \ r brace.}$

Oznacza to, że podzbiór jest otwarty w topologii podprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest to skrzyżowanie z ze zbioru otwartego w . Jeśli jest wyposażony w topologii podprzestrzeni to jest przestrzenią topologiczną, sama w sobie, a nazywany jest podprzestrzeń z . Zazwyczaj zakłada się, że podzbiory przestrzeni topologicznych są wyposażone w topologię podprzestrzeni, chyba że zaznaczono inaczej. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau)}$

Alternatywnie możemy zdefiniować topologia podprzestrzeni dla podzbioru o co topologii grubość ziaren , dla którego mapa włączenie${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ iota: S \ hookrightarrow X}$

jest ciągły .

Bardziej ogólnie, załóżmy, że jest wstrzykiwaniem ze zbioru do przestrzeni topologicznej . Wtedy topologia podprzestrzenna jest zdefiniowana jako najgrubsza topologia, dla której jest ciągła. Otwarte zestawy w tej topologii są właśnie te formularza dla Open in . jest wtedy homeomorficzny do swojego obrazu (także z topologią podprzestrzenną) i jest nazywany osadzaniem topologicznym . ${\ Displaystyle \ iota }$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ iota }$${\ Displaystyle \ iota ^ {-1} (U)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ iota }$

Podprzestrzeń nazywa się otwartą podprzestrzenią, jeśli wstrzyknięcie jest otwartą mapą , tj. jeśli przedni obraz otwartego zbioru jest otwarty w . Podobnie nazywa się to zamkniętą podprzestrzenią, jeśli wstrzyknięcie jest zamkniętą mapą . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle \ iota }$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ iota }$

Terminologia

Rozróżnienie między zbiorem a przestrzenią topologiczną jest często dla wygody zamazane notacyjnie, co może być źródłem zamieszania przy pierwszym kontakcie z tymi definicjami. W ten sposób, gdy jest podzbiorem i jest przestrzeń topologiczna, następnie surową Symbol „ ” i „ ” mogą być często stosowany w odniesieniu zarówno do i traktowane jako dwa podzbiory , a także i w topologicznych przestrzeni, podobne jak omówiono nad. Tak więc wyrażenia takie jak „ otwarta podprzestrzeń ” są używane w znaczeniu, że jest to otwarta podprzestrzeń , w znaczeniu użytym poniżej; to jest: (i) ; oraz (ii) jest uważany za wyposażony w topologię podprzestrzenną. ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (S, \ tau _ {S})}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (S, \ tau _ {S})}$${\displaystyle (X,\tau)}$${\ Displaystyle S \ w \ tau}$${\displaystyle S}$

Przykłady

Poniżej przedstawia liczby rzeczywiste w ich zwykłej topologii. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• Topologia podprzestrzenna liczb naturalnych , jako podprzestrzeń , jest topologią dyskretną .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Te liczby wymierne traktować jako podprzestrzeni nie mieć dyskretnego topologii ({0}, na przykład nie jest ustawione w otwartym ). Jeśli a i b są wymierne, to przedziały ( a , b ) i [ a , b ] są odpowiednio otwarte i zamknięte, ale jeśli a i b są niewymierne, to zbiór wszystkich wymiernych x z a < x < b jest obydwoma otwarte i zamknięte.${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$
• Zbiór [0,1] jako podprzestrzeń jest zarówno otwarty jak i domknięty, natomiast jako jego podzbiór jest tylko domknięty.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Jako podprzestrzeń , [0, 1] ∪ [2, 3] składa się z dwóch rozłącznych otwartych podzbiorów (które są również zamknięte), a zatem jest przestrzenią rozłączną .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Niech S = [0, 1) będzie podprzestrzenią prostej rzeczywistej . Wtedy [0, 1 ⁄ 2 ) jest otwarte w S, ale nie w . Podobnie [ 1 ⁄ 2 , 1) jest zamknięte w S, ale nie w . S jest zarówno otwarty, jak i zamknięty jako podzbiór samego siebie, ale nie jako podzbiór .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Nieruchomości

Topologia podprzestrzeni ma następującą charakterystyczną właściwość. Niech będzie podprzestrzenią i niech będzie mapą inkluzji. Wtedy dla dowolnej przestrzeni topologicznej odwzorowanie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie złożone jest ciągłe. ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\do X}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle f: Z \ do Y}$${\displaystyle i\circ f}$

Ta właściwość jest charakterystyczna w tym sensie, że można jej użyć do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na . ${\ Displaystyle Y}$

Podajemy kilka dalszych właściwości topologii podprzestrzeni. W dalszej części niech będzie podprzestrzeń . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$

• Jeśli jest ciągły, to ograniczenie do jest ciągłe.${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle S}$
• Jeśli jest ciągły, to jest ciągły.${\displaystyle f:X\do Y}$${\displaystyle f:X\do f(X)}$
• Zamknięte zbiory w są dokładnie przecięciami z domkniętymi zbiorami w .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$
• Jeśli jest podprzestrzenią wtedy to również podprzestrzeń z tej samej topologii. Innymi słowy, topologia podprzestrzeni, z której dziedziczy, jest taka sama, jak ta, z której dziedziczy .${\ Displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$
• Załóżmy, że jest otwartą podprzestrzenią (tak ). Wtedy podzbiór jest otwarty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w .${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ w \ tau}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$
• Załóżmy, że jest zamkniętą podprzestrzenią (so ). Wtedy podzbiór jest zamknięty w wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty w .${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ setminus S \ w \ tau}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$
• Jeśli jest podstawą dla to jest podstawą dla .${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B_ {S} = \ {U \ czapka S: U \ w B \}}$${\displaystyle S}$
• Topologia indukowana na podzbiorze przestrzeni metryki przez ograniczenie metryki do tego podzbioru zbiega się z topologią podprzestrzeni dla tego podzbioru.

Zachowanie właściwości topologicznych

Jeśli przestrzeń topologiczna posiadająca jakąś własność topologiczną implikuje, że jej podprzestrzenie mają tę własność, to mówimy, że własność jest dziedziczna . Jeśli tylko zamknięte podprzestrzenie muszą dzielić tę właściwość, nazywamy ją słabo dziedziczną .

• Każda otwarta i każda zamknięta podprzestrzeń przestrzeni całkowicie metryzowalnej jest całkowicie metryzowalna.
• Każda otwarta podprzestrzeń przestrzeni Baire'a jest przestrzenią Baire'a.
• Każda zamknięta podprzestrzeń przestrzeni zwartej jest zwarta.
• Bycie przestrzenią Hausdorffa jest dziedziczne.
• Bycie normalną przestrzenią jest słabo dziedziczne.
• Całkowita granica jest dziedziczna.
• Będąc całkowicie odłączony jest dziedziczna.
• Pierwsza policzalna i druga policzkowalność są dziedziczne.

Zobacz też

• przestrzeń ilorazu podwójnego pojęcia
• topologia produktu
• topologia sumy bezpośredniej

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas, Elementy matematyki: ogólna topologia , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Kontrprzykłady w topologii ( przedruk Dover 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446
• Willarda, Stefana. Ogólna topologia , Dover Publications (2004) ISBN  0-486-43479-6