Krzywizna skalarna - Scalar curvature

W geometrii Riemanna The skalarne krzywizny (lub Ricci skalarne ) jest najprostszym krzywizna niezmienna z Riemanna kolektora . Każdemu punktowi na rozmaitości Riemanna przypisuje pojedynczą liczbę rzeczywistą określoną przez wewnętrzną geometrię rozmaitości w pobliżu tego punktu. W szczególności krzywizna skalarna reprezentuje wielkość, o jaką objętość małej kuli geodezyjnej w rozmaitości riemannowskiej różni się od objętości kuli standardowej w przestrzeni euklidesowej . W dwóch wymiarach krzywizna skalarna jest dwukrotnie większa od krzywizny Gaussai całkowicie charakteryzuje krzywiznę powierzchni. Jednak w więcej niż dwóch wymiarach krzywizna rozmaitości riemannowskich obejmuje więcej niż jedną funkcjonalnie niezależną wielkość.

W ogólnej teorii względności krzywizna skalarna jest gęstością Lagrange'a dla działania Einsteina-Hilberta . Do równania Eulera-Lagrange'a dla tego Lagrange'a spowodowanym zmianami w metryka stanowią próżni Równanie Einsteina , a stacjonarne dane są nazywane danymi Einsteina . Krzywizna skalarna n- rozmaitości jest definiowana jako ślad tensora Ricciego i może być zdefiniowana jako n ( n  − 1) razy średnia krzywizn przekroju w punkcie.

Na pierwszy rzut oka krzywizna skalarna w wymiarze co najmniej 3 wydaje się być słabym niezmiennikiem o niewielkim wpływie na globalną geometrię rozmaitości, ale w rzeczywistości niektóre głębokie twierdzenia pokazują moc krzywizny skalarnej. Jednym z takich wyników jest twierdzenie o dodatniej masie Schoena , Yau i Wittena . Powiązane wyniki dają prawie pełne zrozumienie, które rozmaitości mają metrykę Riemanna z dodatnią krzywizną skalarną.

Definicja

Skalarna krzywizny S (także powszechnie R lub Sc ) określa się jako ślad na Ricci krzywizny tensora ustawienia względem metryki :

${\ Displaystyle S = \ nazwa operatora {tr} _ {g} \ nazwa operatora {Ric}.}$

Ślad zależy od metryki, ponieważ tensor Ricciego jest tensorem (0,2)-walentnym; należy najpierw podnieść indeks, aby otrzymać tensor (1,1)-walentny, aby wykonać ślad. Pod względem współrzędnych lokalnych można pisać one

${\ Displaystyle S = g ^ {ij} R_ {ij} = R_ {j} ^ {j}}$

gdzie R _ij są składowymi tensora Ricciego w bazie współrzędnych:

${\ Displaystyle \ Operatorname {Ric} = R_ {ij} \ dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j}}.$

Mając dany układ współrzędnych i tensor metryczny, krzywizna skalarna może być wyrażona w następujący sposób:

${\ Displaystyle S = g ^ {ab} \ lewo ({\ Gamma ^ {c}} _ {ab, c} - {\ Gamma ^ {c}} _ {ac, b} + {\ Gamma ^ {d} }_{ab}{\Gamma ^{c}}_{cd}-{\Gamma ^{d}}_{ac}{\Gamma ^{c}}_{bd}\right)=2g^{ab }\left({\Gamma ^{c}}_{a[b,c]}+{\Gamma ^{d}}_{a[b}{\Gamma ^{c}}_{c]d} \dobrze)}$

gdzie są symbole Christoffela metryki i jest pochodną cząstkową w i- tym kierunku współrzędnych. ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {a}} _ {BC}}$${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk, i}}$${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk}}$

W przeciwieństwie do tensora krzywizny Riemanna lub tensora Ricciego, z których oba można zdefiniować dla dowolnego połączenia afinicznego , krzywizna skalarna wymaga pewnego rodzaju metryki. Metryka może być pseudo-riemannowska zamiast riemannowska. Rzeczywiście, takie uogólnienie jest niezbędne dla teorii względności. Bardziej ogólnie, tensor Ricciego można zdefiniować w szerszej klasie geometrii metrycznych (za pomocą bezpośredniej interpretacji geometrycznej, poniżej), która obejmuje geometrię Finslera .

Bezpośrednia interpretacja geometryczna

Gdy krzywizna skalarna jest dodatnia w punkcie, objętość małej kulki wokół punktu ma mniejszą objętość niż kulka o tym samym promieniu w przestrzeni euklidesowej. Z drugiej strony, gdy krzywizna skalarna jest ujemna w punkcie, objętość małej kulki jest większa niż w przestrzeni euklidesowej.

Można to uczynić bardziej ilościowymi, aby scharakteryzować dokładną wartość krzywizny skalarnej S w punkcie p n- rozmaitości Riemanna . Mianowicie, stosunek n- wymiarowej objętości kuli o promieniu ε w rozmaitości do odpowiadającej jej kuli w przestrzeni euklidesowej, dla małych ε, jest dany wzorem ${\ Displaystyle (M, g)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Operator {Vol} (B_ {\ varepsilon} (p) \ podzbiór M)} {\ Operator {Vol} \ lewo (B_ {\ varepsilon} (0) \ podzbiór {\ mathbb {R } }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right). }$

Zatem druga pochodna tego stosunku, obliczona przy promieniu ε  = 0, jest dokładnie minus krzywizna skalarna podzielona przez 3 ( n  + 2).

Granicami tych kul są ( n  − 1)-wymiarowe kule o promieniu ; ich miary hiperpowierzchniowe („obszary”) spełniają następujące równanie: ${\displaystyle \varepsilon}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ nazwa operatora {obszar} (\ częściowy B_ {\ varepsilon} (p) \ podzbiór M)} {\ nazwa operatora {obszar} (\ częściowy B_ {\ varepsilon} (0) \ podzbiór {\ mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).}$

Przypadki specjalne

Powierzchnie

W dwóch wymiarach krzywizna skalarna jest dokładnie dwa razy większa od krzywizny Gaussa. Dla osadzonej powierzchni w przestrzeni euklidesowej R ³ oznacza to, że

${\ Displaystyle S = {\ Frac {2} {\ rho _ {1} \ rho _ {2}}} \,}$

gdzie są główne promienie powierzchni. Na przykład krzywizna skalarna 2-sfery o promieniu r jest równa 2/ r ² . ${\ Displaystyle \ rho _ {1}, \ \ rho _ {2}}$

Dwuwymiarowy tensor krzywizny Riemanna ma tylko jedną niezależną składową i może być wyrażony w postaci krzywizny skalarnej i metrycznej postaci pola. Mianowicie w dowolnym układzie współrzędnych trzeba

${\ Displaystyle 2R_ {1212} \ = S \ Det (g_ {ij}) = S \ lewo [g_ {11} g_ {22} - (g_ {12}) ^ {2} \ prawej].}$

Formy przestrzenne

Tworzą przestrzeń jest z definicji Riemanna kolektora o stałym przekroju krzywizny. Formy przestrzenne są lokalnie izometryczne do jednego z następujących typów:

Przestrzeń euklidesowa

Tensor Riemanna n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej znika w identyczny sposób, podobnie jak krzywizna skalarna.

n -sfer

Krzywizna przekroju n- sfery o promieniu r wynosi K  = 1/ r ² . Stąd krzywizna skalarna wynosi S  =  n ( n  − 1)/ r ² .

Przestrzeń hiperboliczna

Przez hiperboloidy modelu An n wymiarową przestrzeń hiperboliczny mogą być identyfikowane z podgrupy ( n  + 1) wymiarowej przestrzeni Minkowskiego

${\ Displaystyle x_ {0}^ {2}-x_ {1} ^ {2}-\ cdots -x_ {n} ^ {2} = r ^ {2} \ quad x_ {0}> 0.}$

Parametr r jest geometrycznym niezmiennikiem przestrzeni hiperbolicznej, a krzywizna przekroju wynosi K  = −1/ r ² . Krzywizna skalarna wynosi zatem S  = − n ( n  − 1)/ r ² .

Produkty

Krzywizna skalarna iloczynu M × N rozmaitości riemannowskich jest sumą krzywizn skalarnych M i N . Na przykład, dla każdego płynnego zamkniętym kolektora M , M x S ² ma metryki pozytywnej skalarnej krzywizny po prostu poprzez 2-kuli jest mała w porównaniu do M (tak, że jej krzywizna jest duży). Ten przykład może sugerować, że krzywizna skalarna ma niewielki związek z globalną geometrią rozmaitości. W rzeczywistości ma pewne globalne znaczenie, o czym mowa poniżej .

notacja tradycyjna

Wśród tych, którzy używają notacji indeksowej dla tensorów, często używa się litery R do reprezentowania trzech różnych rzeczy:

1. tensor krzywizny Riemanna: or${\ Displaystyle R_ {ijk} ^ {l}}$${\displaystyle R_{abcd}}$
2. tensor Ricciego: ${\displaystyle R_{ij}}$
3. krzywizna skalarna: ${\ Displaystyle R}$

Te trzy są następnie odróżniane od siebie liczbą indeksów: tensor Riemanna ma cztery indeksy, tensor Ricciego ma dwa indeksy, a skalar Ricciego ma zero indeksów. Ci, którzy nie używają notacji indeksowej, zwykle rezerwują R dla pełnego tensora krzywizny Riemanna. Alternatywnie, w notacji bez współrzędnych można użyć Riem dla tensora Riemanna, Ric dla tensora Ricciego i R dla skalara krzywizny.

Problem Yamabe

Problemem Yamabe rozwiązano Trudinger , Aubin i Schoen. Mianowicie, każdą metrykę Riemanna na zamkniętej rozmaitości można pomnożyć przez jakąś gładką funkcję dodatnią, aby otrzymać metrykę o stałej krzywiźnie skalarnej. Innymi słowy, każda metryka na zamkniętej rozmaitości jest zgodna z metryką o stałej krzywiźnie skalarnej.

Dodatnia krzywizna skalarna

Na zamkniętym Riemanna 2 rozgałęzioną M skalarne krzywizna ma wyraźny związek z topologii z M , wyrażona Gaussa-Bonneta twierdzenie : całkowita skalarne krzywizna M jest równe 4 gatunku razy charakterystycznych Eulera z M . Na przykład jedynymi zamkniętymi powierzchniami z metrykami o dodatniej krzywiźnie skalarnej są te o dodatniej charakterystyce Eulera: sfera S ² i RP ² . Ponadto te dwie powierzchnie nie mają metryk o krzywiźnie skalarnej ≤ 0.

Znak krzywizny skalarnej ma słabszy związek z topologią w wyższych wymiarach. Mając gładką zamkniętą rozmaitość M o wymiarze co najmniej 3, Kazdan i Warner rozwiązali zadany problem krzywizny skalarnej , opisując, które gładkie funkcje na M powstają jako krzywizna skalarna pewnej metryki Riemanna na M . Mianowicie M musi być dokładnie jednego z trzech następujących typów:

1. Każda funkcja na M jest skalarną krzywizną jakiejś metryki na M .
2. Funkcja na M jest krzywizną skalarną jakiejś metryki na M wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona albo identycznie zerowa, albo gdzieś ujemna.
3. Funkcja na M jest krzywizną skalarną jakiejś metryki na M wtedy i tylko wtedy, gdy jest gdzieś ujemna.

Zatem każda rozmaitość o wymiarze co najmniej 3 ma metrykę z ujemną krzywizną skalarną, w rzeczywistości o stałej ujemnej krzywiźnie skalarnej. Wynik Kazdana-Warnera skupia uwagę na pytaniu, które rozmaitości mają metrykę o dodatniej krzywiźnie skalarnej, która jest równoważna własności (1). Przypadek graniczny (2) można opisać jako klasę rozmaitości o silnie skalarno-płaskiej metryce , czyli metrykę o krzywiźnie skalarnej zero takiej, że M nie ma metryki o dodatniej krzywiźnie skalarnej.

Wiele wiadomo na temat tego, które gładkie, zamknięte rozmaitości mają metryki z dodatnią krzywizną skalarną. W szczególności, Gromov i Lawson , każda połączona rozmaitość o wymiarze co najmniej 5, która nie jest spinem, ma metrykę z dodatnią krzywizną skalarną. Natomiast Lichnerowicz wykazał, że rozmaitość spinowa o dodatniej krzywiźnie skalarnej musi mieć rodzaj równy zero. Hitchin wykazał, że bardziej wyrafinowana wersja rodzaju Â, α-niezmiennicza , znika również w przypadku rozmaitości spinowych z dodatnią krzywizną skalarną. Jest to nietrywialne tylko w niektórych wymiarach, ponieważ α-niezmiennik n- rozmaitości przyjmuje wartości w grupie KO _n , wymienionej tutaj:

n (mod 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
KO n	Z	Z /2	Z /2	0	Z	0	0	0

I odwrotnie, Stolz wykazał, że każda prosta rozmaitość spinowa o wymiarze co najmniej 5 z α-niezmienniczym zerem ma metrykę z dodatnią krzywizną skalarną.

Argument Lichnerowicza z wykorzystaniem operatora Diraca został rozszerzony, aby podać wiele ograniczeń dotyczących nieprosto połączonych rozmaitości z dodatnią krzywizną skalarną, poprzez K-teorię C*-algebr . Na przykład Gromov i Lawson wykazali, że zamknięta rozmaitość, która dopuszcza metrykę z krzywizną przekroju ≤ 0, taką jak torus , nie ma metryki z dodatnią krzywizną skalarną. Bardziej ogólnie, część o injektywności hipotezy Bauma-Connesa dla grupy G , która jest znana w wielu przypadkach, sugerowałaby, że zamknięta rozmaitość asferyczna z podstawową grupą G nie ma metryki z dodatnią krzywizną skalarną.

W wymiarach 3 i 4 występują szczególne wyniki. Po pracy Schoena, Yau, Gromova i Lawsona, dowód twierdzenia Perelmana na temat geometryzacji doprowadził do kompletnej odpowiedzi w wymiarze 3: zamknięty orientowalny trójdzielnik ma metrykę z dodatnim skalarne krzywiznę tylko wtedy, gdy jest połączony suma z kulistych 3-rozdzielaczy i kopie S ²  x  S ¹ . W wymiarze 4 dodatnia krzywizna skalarna ma silniejsze implikacje niż w wyższych wymiarach (nawet dla po prostu połączonych rozmaitości), przy użyciu niezmienników Seiberga-Wittena . Na przykład, jeśli X jest zwartą rozmaitością Kählera o wymiarze zespolonym 2, która nie jest racjonalna ani rządzona , to X (jako gładka 4-rozmaitość) nie ma metryki riemannowskiej z dodatnią krzywizną skalarną.

Wreszcie Akito Futaki pokazał, że metryki silnie skalarno-płaskie (jak zdefiniowano powyżej) są niezwykle wyjątkowe. Dla prosto połączonej rozmaitości riemannowskiej M o wymiarze co najmniej 5, która jest silnie skalarno-płaska, M musi być iloczynem rozmaitości riemannowskich z grupą holonomiczną SU( n ) ( rozmaitości Calabiego–Yau ), Sp( n ) ( rozmaitości hiperkählera ), lub Zakręć(7). W szczególności te metryki są płaskie według Ricciego, a nie tylko płaskie skalarne. Odwrotnie, istnieją przykłady rozmaitości z tymi grupami holonomii, takie jak powierzchnia K3 , które są spinowe i mają niezerowy α-niezmiennik, a więc są silnie skalarno-płaskie.

Zobacz też

• Podstawowe wprowadzenie do matematyki zakrzywionej czasoprzestrzeni
• niezmiennik Yamabe
• Skalar Kretschmanna
• Twierdzenie Vermeila

Uwagi

Bibliografia

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein Manifolds , Springer , ISBN 3-540-15279-2, MR  0867684
• Jost, Jürgen (2011) [1995], Geometria Riemanna i Analiza Geometryczna , Springer , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5, MR  1031992
• LeBrun, Claude (1999), "Wymiar Kodaira i problem Yamabe", Communications in Analysis and Geometry , 7 : 133–156, arXiv : DG-ga/9702012 , doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n1.a5 , MR  1674105 , S2CID  7223836
• Marques, Fernando Codá (2012), "Deformowanie trójrozmaitościowe z dodatnią krzywizną skalarną", Annals of Mathematics , 176 (2): 815-863, arXiv : 0907.2444 , doi : 10.4007/annals.2012.176.2.3 , MR  2950765 , S2CID  16528231
• Petersen, Peter (2016) [1998], Geometria Riemanna , Springer , ISBN 978-3-319-26652-7, MR  3469435
• Ricci, G. (1903-1904), „Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque” , Atti R. Inst. Veneto , 63 (2): 1233–1239, JFM  35.0145.01
• Stolz, Stephen (2002), "Rozmaitości dodatniej krzywizny skalarnej" (PDF) , Topologia wielowymiarowych rozmaitości , Triest: ICTP , str. 661-709, MR  1937026