Równanie Eulera-Lagrange'a - Euler–Lagrange equation

W rachunku zmian i mechaniki , że równania Eulera-Lagrange'a jest systemem drugiego rzędu równania różniczkowe zwyczajne , których rozwiązania są nieruchome punkty o podanym działaniem funkcyjnej . Równania zostały odkryte w latach pięćdziesiątych XVIII wieku przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera i włoskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange'a .

Ponieważ funkcjonał różniczkowalny jest stacjonarny w swoich ekstremach lokalnych , równanie Eulera-Lagrange'a jest przydatne do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych , w których przy danym funkcjonale poszukuje się funkcji minimalizującej lub maksymalizującej. Jest to analogiczne do twierdzenia Fermata w rachunku różniczkowym , stwierdzającego, że w każdym punkcie, w którym funkcja różniczkowalna osiąga ekstremum lokalne, jej pochodna wynosi zero.

W mechanice Lagrange'a , zgodnie z zasadą działania stacjonarnego Hamiltona , ewolucja układu fizycznego jest opisana rozwiązaniami równania Eulera dla działania układu. W tym kontekście równania Eulera są zwykle nazywane równaniami Lagrange'a . W mechanice klasycznej jest to równoważne prawom dynamiki Newtona , ale ma tę zaletę, że przyjmuje tę samą postać w każdym układzie współrzędnych uogólnionych i lepiej nadaje się do uogólnień. W klasycznej teorii pola istnieje analogiczne równanie do obliczania dynamiki pola .

Historia

Równanie Eulera-Lagrange'a zostało opracowane w latach 50. XVIII wieku przez Eulera i Lagrange'a w związku z ich badaniami problemu tautoochrony . Jest to problem wyznaczenia krzywej, na której ważona cząstka spadnie do ustalonego punktu w ustalonym czasie, niezależnie od punktu początkowego.

Lagrange rozwiązał ten problem w 1755 i wysłał rozwiązanie do Eulera. Obaj dalej rozwinęli metodę Lagrange'a i zastosowali ją do mechaniki , co doprowadziło do sformułowania mechaniki Lagrange'a . Ich korespondencja doprowadziła ostatecznie do rachunku wariacyjnego , terminu ukutego przez samego Eulera w 1766 roku.

Oświadczenie

Niech będzie systemem mechanicznym o stopniach swobody. Tu jest miejsce konfiguracja i Lagrange'a , czyli sprawne rzeczywista funkcja taka, że i jest wymiarowa „wektor prędkości”. (Dla tych, którzy znają geometrię różniczkową , jest gładką rozmaitością , a gdzie jest wiązka styczna z${\ Displaystyle (X, L)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle L = L (t {\ boldsymbol {q}} {\ boldsymbol {v}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\w X,}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle L: {\ mathbb {R} } _ {t} \ razy TX \ do {\ mathbb {R}}}$${\displaystyle TX}$${\ Displaystyle X).}$

Niech będzie zbiorem gładkich ścieżek, dla których i Funkcjonalność działania jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle {\ cal {P}} (a, b, {\ pogrubienie {x}} _ {a}, {\ pogrubienie {x}} _ {b})}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\do X}$${\ Displaystyle {\ pogrubienie {q}} (a) = {\ pogrubienie {x}} _ {a}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {q}} (b) = {\ boldsymbol {x}}_ {b}.}$ ${\ Displaystyle S: {\ cal {P}} (a, b, {\ pogrubienie {x}} _ {a}, {\ pogrubienie {x}} _ {b}) \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle S [{\ pogrubienie {q}}] = \ int _ {a} ^ {b} L (t {\ pogrubienie {q}} (t), {\ kropka {\ pogrubienie {q} }}(t))\,dt.}$

Ścieżka jest stacjonarny punkt z wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {q}} \ w {\ cal {P}} (a, b {\ boldsymbol {x}} _ {a} {\ boldsymbol {x}} _ {b})}$${\displaystyle S}$

Tutaj jest pochodna czasu${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}$

Wyprowadzenie jednowymiarowego równania Eulera-Lagrange'a

Wyprowadzenie jednowymiarowego równania Eulera-Lagrange'a jest jednym z klasycznych dowodów w matematyce . Opiera się na podstawowym lemie rachunku wariacyjnego . Chcemy znaleźć funkcję spełniającą warunki brzegowe , i który extremizes funkcjonalna ${\displaystyle f}$${\ Displaystyle f (a) = A}$${\ Displaystyle f (b) = B}$ ${\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} L (x, f (x), f '(x)) \ \ operatorname {d} x \.}$ Zakładamy, że jest dwa razy w sposób ciągły różniczkowalny. Można zastosować słabsze założenie, ale dowód staje się trudniejszy. ${\ Displaystyle L}$ Jeśli ekstremizuje funkcjonalną podległą warunkom brzegowym, to każde niewielkie zaburzenie, które zachowuje wartości brzegowe, musi albo wzrosnąć (jeśli jest minimalizatorem), albo zmniejszyć (jeśli jest maksymalizatorem). ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle J}$${\displaystyle f}$ Pozwolić być wynikiem takiego perturbacji z , gdzie jest mały i jest różniczkowalna funkcja zaspokojenia . Następnie zdefiniuj ${\ Displaystyle g_ {\ varepsilon} (x) = f (x) + \ varepsilon \ eta (x)}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ eta (x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle \ eta (x)}$${\ Displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0}$ ${\ Displaystyle J_ {\ varepsilon} = \ int _ {a} ^ {b} L (x, g_ {\ varepsilon} (x), g_ {\ varepsilon} '(x)) \ \ operatorname {d} x =\int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x}$ gdzie . ${\ Displaystyle L_ {\ varepsilon } = L (x \, g_ {\ varepsilon} (x), \, g_ {\ varepsilon} '(x))}$ Teraz chcemy obliczyć całkowitą pochodną w stosunku do ε . ${\displaystyle J_{\varepsilon}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon}}{\mathrm {d} \varepsilon}}={\frac {\mathrm {d}}}{\ operatorname {d} \varepsilon}}\ int _{a}^{b}L_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} L_{\varepsilon }}{\ mathrm {d} \varepsilon}}\,\mathrm {d} x.}$ Z całkowitej pochodnej wynika, że ${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ operatorname {d} L_ {\ varepsilon}}{\ operatorname {d} \ varepsilon}} i = {\ Frac {\ operatorname {d} x}{\ operatorname {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon } }{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }'}{\mathrm {d} \varepsilon }} {\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\\&={\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g'_{\varepsilon }}}\\&=\eta (x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ .\\\end{aligned}}}$ Więc ${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} J_ {\ varepsilon}}{\ operatorname {d} \ varepsilon}} = \ int _ {a} ^ {b} \ lewo [\ eta (x) {\ Frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial L_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ ,\right]\,\mathrm {d} x\ .}$ Gdy ε = 0 mamy g ε = f , L ε = L(x, f(x), f'(x)) i J ε   ma wartość ekstremum , tak że ${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {\ operatorname {d} J_ {\ varepsilon}}{\ operatorname {d} \ varepsilon}} \ prawo | _ {\ varepsilon = 0} = \ int _ {a} ^ { b}\left[\eta (x){\frac {\częściowy L}{\częściowy f}}+\eta '(x){\frac {\częściowy L}{\częściowy f'}}\,\right ]\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Następnym krokiem jest użycie całkowania przez części na drugim członie całki, dającej ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy f}} - {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} {\frac {\częściowy L}{\częściowy f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\częściowy L}{\częściowy f'}}\right]_{a}^{b}=0\ .}$ Korzystając z warunków brzegowych , ${\ Displaystyle \ eta (a) = \ eta (b) = 0}$ ${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ lewo [{\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy f}} - {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} {\frac {\częściowe L}{\częściowe f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Zastosowanie podstawowego lematu rachunku wariacyjnego daje teraz równanie Eulera-Lagrange'a ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy f}} - {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}}{\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy f' }}=0\ .}$

Alternatywne wyprowadzenie jednowymiarowego równania Eulera-Lagrange'a

Biorąc pod uwagę funkcjonalną ${\ Displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} L (t, y (t), y' (t)) \ \ operatorname {d} t}$ dalej z warunkami brzegowymi i , aproksymujemy krzywą ekstremalną linią wielokątną z segmentami i przechodzimy do granicy, gdy liczba segmentów rośnie arbitralnie. ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$${\ Displaystyle y (a) = A}$${\ Displaystyle y (b) = B}$${\ Displaystyle n}$ Podziel przedział na równe odcinki z punktami końcowymi i niech . Zamiast funkcji gładkiej rozważamy linię wieloboczną z wierzchołkami , gdzie i . W związku z tym nasz funkcjonał staje się rzeczywistą funkcją zmiennych podanych przez ${\displaystyle [a,b]}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}=b}$${\ Displaystyle \ Delta t = t_ {k}-t_ {k-1}}$${\ Displaystyle y (t)}$${\ Displaystyle (t_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (t_ {n}, y_ {n})}$${\displaystyle y_{0}=A}$${\ Displaystyle y_ {n} = B}$${\displaystyle n-1}$ ${\ Displaystyle J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n-1}) \ około \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} L \ lewo (t_ {k}, y_ {k}, {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$ Ekstrema tego nowego funkcjonału zdefiniowane na dyskretnych punktach odpowiadają punktom, w których ${\displaystyle t_{0},\ldots,t_{n}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy J (y_ {1}, \ ldots, y_ {n})} {\ częściowy y_ {m}}} = 0.}$ Obliczenie tej pochodnej cząstkowej daje ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy J} {\ częściowy y_ {m}}} = L_ {y} \ lewo (t_ {m}, r_ {m}, {\ Frac {y_ {m + 1} -y_ {m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{ m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{ \Delta t}}\prawo).}$ Dzieląc powyższe równanie przez daje ${\ Displaystyle \ Delta t}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy J} {\ częściowy y_ {m} \ Delta t}} = L_ {y} \ lewo (t_ {m}, y_ {m}, {\ Frac {y_ {m + 1 }-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m}, {\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\ szczelina {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\prawo)\prawo],}$ i przyjęcie granicy z prawej strony tego wyrażenia daje ${\ Displaystyle \ Delta t \ do 0}$ ${\ Displaystyle L_ {y} - {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} L_ {y'} = 0.}$ Lewa strona poprzedniego równania jest pochodną funkcjonalną funkcjonału . Warunkiem koniecznym, aby funkcjonał różniczkowalny miał ekstremum na jakiejś funkcji, jest to, że jego pochodna funkcjonalna znika w tej funkcji, co zapewnia ostatnie równanie. ${\ Displaystyle \ delta J/\ delta y}$${\ Displaystyle J}$

Przykłady

Standardowym przykładem jest znalezienie funkcji o wartościach rzeczywistych y ( x ) na przedziale [ a , b ] takiej, że y ( a ) = c i y ( b ) = d , dla której długość ścieżki wzdłuż krzywej wyznaczona przez y jest jak najkrótszy.

${\ Displaystyle {\ tekst {s}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ operatorname {d} x ^ {2} + \ operatorname {d} y ^ {2}}} = \ int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

funkcja całki to L ( x , y , y ′ ) = √ 1 + y ′ ² .

Pochodnymi cząstkowymi L są:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy L (x, y, y)} {\ częściowy r '}} = {\ Frac {y'} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}}} \ quad {\text{i}}\quad {\frac {\częściowy L(x,y,y')}{\częściowy y}}=0.}$

Podstawiając je do równania Eulera-Lagrange'a, otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} x}} {\ Frac {y’(x)} {\ sqrt {1 + (y’ (x)) )^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text {stała}}\\\strzałka w prawo y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\strzałka w prawo y(x)&=Ax+ B\end{wyrównany}}}$

to znaczy, że funkcja musi mieć stałą pierwszą pochodną, ​​a zatem jej wykres jest linią prostą .

Uogólnienia

Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi

Stacjonarne wartości funkcjonału

${\ Displaystyle I [f] = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f, f ', f '', \ kropki, f ^ { ( k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac { \mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f} {\mathrm {d} x^{k}}}}$

można uzyskać z równania Eulera-Lagrange'a

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ częściowy {\ mathcal {l}}} {\ częściowy f}} - {\ cfrac {\ operatorname {d}} }{\ operatorname {d} x}} \ lewo ({\ cfrac { \partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left ({\cfrac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k }}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

w ustalonych warunkach brzegowych zarówno dla samej funkcji, jak i dla pierwszych pochodnych (tj. dla wszystkich ). Wartości końcowe najwyższej pochodnej pozostają elastyczne. ${\ Displaystyle k-1}$${\ Displaystyle f ^ {(i)}, ja \ w \ {0, ..., k-1 \}}$${\ Displaystyle f ^ {(k)}}$

Kilka funkcji jednej zmiennej z pojedynczą pochodną

Jeśli problem polega na znalezieniu kilku funkcji ( ) jednej zmiennej niezależnej ( ), które definiują ekstremum funkcjonału ${\displaystyle f_{1},f_{2},\kropki,f_{m}}$${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ kropki, f_ {m}] = \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ mathcal {L}} (x, f_{1},f_{2},\kropki,f_{m},f_{1}',f_{2}',\kropki,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~ f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

to odpowiednie równania Eulera-Lagrange'a są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {l}}} {\ częściowy f_ {i}}} - {\ Frac {\ operator {d}} {\ operator {d} x }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0\end{aligned}}}$

Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z jedną pochodną

Uogólnienie wielowymiarowe pochodzi z rozważania funkcji na n zmiennych. Jeśli jest jakaś powierzchnia, to ${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle I [f] = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, f, f_ {1}, \ kropki, f_ {n} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

jest ekstremizowana tylko wtedy, gdy f spełnia równanie różniczkowe cząstkowe

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}} {\ częściowy f}} - \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {j} }}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{j}}}\right)=0.}$

Gdy n = 2, a funkcjonalna jest funkcjonalna energetyczna , prowadzi to do problemu z minimalną powierzchnią filmu mydlanego . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Kilka funkcji kilku zmiennych z pojedynczą pochodną

Jeśli istnieje kilka nieznanych funkcji do określenia i kilka zmiennych, takich jak:

${\ Displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, \ kropki, f_ {m}] = \ int _ {\ Omega {\ matematyczne {L}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {n },f_{1},\kropki,f_{m},f_{1,1},\kropki,f_{1,n},\kropki,f_{m,1},\kropki,f_{m,n })\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}} }$

układ równań Eulera-Lagrange'a jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}} {\ częściowy f_ {1}}} - \ suma _ {j = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy }{\częściowy x_{j}}}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\ {\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{j} }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad & \quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{ \partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned }}}$

Pojedyncza funkcja dwóch zmiennych z wyższymi pochodnymi

Jeśli istnieje pojedyncza nieznana funkcja f do określenia, która jest zależna od dwóch zmiennych x ₁ i x ₂ oraz jeśli funkcja zależy od wyższych pochodnych f do n -tego rzędu, takich, że

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja [f] i = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, f, f_ {1}, f_ {2 },f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i }:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

to równanie Eulera-Lagrange'a to

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {\ częściowy {\ matematyczny {L}}} {\ częściowy f}} i - {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {1}}} \ lewo ( {\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{1}}}\right)-{\frac {\częściowy }{\częściowy x_{2}}}\left({\frac { \partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left( {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2 }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2 }^{2}}}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n }{\frac {\częściowy ^{n}}{\częściowy x_{2}^{n}}}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{wyrównany}}}$

które można przedstawić w skrócie jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}} {\ częściowy f}} + \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ suma _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{ j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

gdzie są indeksy, które obejmują liczbę zmiennych, czyli tutaj przechodzą od 1 do 2. Tutaj sumowanie po indeksach kończy się tylko po to , aby uniknąć wielokrotnego liczenia tej samej pochodnej cząstkowej, na przykład pojawia się tylko raz w poprzednim równaniu . ${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ kropki \ mu _ {j}}$${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ kropki \ mu _ {j}}$${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ leq \ mu _ {2} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}}$${\ Displaystyle f_ {12} = f_ {21}}$

Kilka funkcji kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi

Jeśli istnieje p nieznanych funkcji f _i do ustalenia, które są zależne od m zmiennych x ₁ ... x _m i jeśli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych od f _i do n -tego rzędu, takich, że

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} ja [f_ {1}, \ ldots, f_ {p}] i = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm} ;\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i, \mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\częściowy x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:= {\cfrac {\częściowy ^{2}f_{i}}{\częściowy x_{\mu _{1}}\częściowy x_{\mu _{2}}}};,\;\;\dots \ koniec{wyrównany}}}$

gdzie są indeksy, które obejmują liczbę zmiennych, czyli przechodzą od 1 do m. Wtedy równanie Eulera-Lagrange'a to ${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ kropki \ mu _ {j}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy {\ mathcal {L}}} {\ częściowy f_ {i}}} + \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ suma _ {\ mu _ {1}\ leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\ mu _{j}}}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\ dobrze)=0}$

gdzie sumowanie przez the unika kilkukrotnego liczenia tej samej pochodnej , tak jak w poprzednim podrozdziale. Można to wyrazić bardziej zwięźle jako ${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ kropki \ mu _ {j}}$${\ Displaystyle f_ {i \ mu _ {1} \ mu _ {2}} = f_ {i \ mu _ {2} \ mu _ {1}}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 0} ^ {n} \ suma _ {\ mu _ {1} \ leq \ ldots \ leq \ mu _ {j}} (-1) ^ {j} \ częściowy _ { \mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\częściowy {\mathcal {L}}}{\częściowy f_{i,\mu _{1}\ kropki \mu _{j}}}}\right)=0}$

Uogólnienie na rozmaitości

Niech będzie rozmaitością gładką i oznaczmy przestrzeń funkcji gładkich . Następnie dla funkcjonałów postaci ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} ([a, b])}$ ${\displaystyle f:[a,b]\do M}$${\ Displaystyle S: C ^ {\ infty} ([a, b]) \ do \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle S [f] = \ int _ {a} ^ {b} (L \ circ {\ kropka {f}}) (t) \ \ operatorname {d} t}$

gdzie jest Lagrange'em, twierdzenie jest równoważne twierdzeniu, że dla wszystkich , każda trywializacja układu współrzędnych sąsiedztwa daje następujące równania: ${\ Displaystyle L: TM \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {d} S_ {f} = 0}$${\displaystyle t\w [a,b]}$ ${\ Displaystyle (x ^ {i}, X ^ {i})}$${\ Displaystyle {\ kropka {f}} (t)}$${\ Displaystyle \ słabe M}$

${\ Displaystyle \ forall ja: {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}}{\ Frac {\ częściowy L} {\ częściowy X ^ {i}}} {\ duży |} _ {{\dot {f}}(t)}={\frac {\częściowy L}{\częściowy x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}. }$

Zobacz też

• Mechanika Lagrange'a
• mechanika hamiltonowska
• Mechanika analityczna
• Tożsamość Beltrami
• Pochodna funkcjonalna

Uwagi

Bibliografia

• „Równania Lagrange'a (w mechanice)” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Równanie różniczkowe Eulera-Lagrange'a” . MatematykaŚwiat .
• „Rachunek Wariacji” . PlanetMath .
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Rachunek Wariacji . Dover. Numer ISBN 0-486-41448-5.
• Roubicek T.: Rachunek wariacyjny . Rozdział 17 w: Narzędzia matematyczne dla fizyków . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN  978-3-527-41188-7 , s. 551-588.