Kolektor Calabi – Yau - Calabi–Yau manifold

Dwuwymiarowy przekrój kwintycznej rozmaitości 6D Calabiego-Yau.

W geometrii algebraicznej , A kolektor Calabiego-Yau , znana również jako miejsce Calabiego-Yau , stanowi szczególny typ kolektora , który ma właściwości takie jak Ricci płaskości , otrzymując zastosowania w fizyce teoretycznej . Szczególnie w teorii superstrun , czasami zakłada się , że dodatkowe wymiary czasoprzestrzeni przyjmują postać 6-wymiarowej rozmaitości Calabiego-Yau, co doprowadziło do idei lustrzanej symetrii . Ich nazwa została wymyślona przez Candelas et al. (1985) , po Eugenio Calabim  ( 1954 , 1957 ), który jako pierwszy przypuszczał, że takie powierzchnie mogą istnieć, oraz Shing-Tung Yau  ( 1978 ), który udowodnił hipotezę Calabiego .

Rozmaitości Calabiego – Yau są rozmaitościami złożonymi, które są uogólnieniami powierzchni K3 w dowolnej liczbie złożonych wymiarów (tj. Dowolnej parzystej liczbie wymiarów rzeczywistych ). Pierwotnie były one definiowane jako zwarte rozmaitości Kählera z zanikającą pierwszą klasą Cherna i metryką Ricciego-flat , chociaż czasami używa się wielu innych podobnych, ale nierównomiernych definicji.

Definicje

Definicja motywacyjna podana przez Shing-Tung Yau dotyczy zwartej rozmaitości Kählera z zanikającą pierwszą klasą Cherna, czyli płaską powierzchnią Ricciego .

Istnieje wiele innych definicji rozmaitości Calabiego-Yau używanych przez różnych autorów, niektóre są nierówne. W tej sekcji podsumowano niektóre z bardziej powszechnych definicji i relacje między nimi.

Wielokrotność Calabiego – Yau n lub rozmaitość Calabiego – Yau o (złożonym) wymiarze n jest czasami definiowana jako zwarta n- wymiarowa rozmaitość Kählera M spełniająca jeden z następujących równoważnych warunków:

• Kanoniczne pakiet z M jest trywialne.
• M ma holomorficzną formę n, która nigdzie nie znika.
• Grupa struktura z wiązki stycznej z M może zostać zmniejszona z U ( n ) SU ( n ).
• M ma miarę Kählera z globalną holonomią zawartą w SU ( n ) .

Te warunki oznaczają, że pierwsza integralna klasa Cherna z M znika. Niemniej jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdą. Najprostszymi przykładami, w których tak się dzieje, są hipereliptyczne powierzchnie , skończone ilorazy złożonego torusa o złożonym wymiarze 2, które mają zanikającą pierwszą całkową klasę Cherna, ale nietrywialny wiązkę kanoniczną. ${\ displaystyle c_ {1} (M)}$

Dla zwartej n- wymiarowej rozmaitości Kählera M następujące warunki są sobie równoważne, ale są słabsze niż powyższe warunki, chociaż czasami są używane jako definicja rozmaitości Calabiego-Yau:

• M zniknęła pierwsza prawdziwa klasa Cherna.
• M ma miernik Kählera ze znikającą krzywizną Ricciego.
• M ma metrykę Kählera z lokalną holonomią zawartą w SU ( n ) .
• Pozytywnym moc kanonicznej wiązki z M jest trywialne.
• M ma skończoną okładkę, która ma trywialny pakiet kanoniczny.
• M ma skończoną pokrywę, która jest produktem torusa i prostą połączoną rozmaitością z trywialną wiązką kanoniczną.

Jeśli zwarta rozmaitość Kählera jest po prostu połączona, wówczas słaba definicja powyżej jest równoważna z mocniejszą definicją. Powierzchnie Enriques'a podają przykłady złożonych rozmaitości, które mają metryki Ricciego-flat, ale ich wiązki kanoniczne nie są trywialne, więc są to rozmaitości Calabiego-Yau według drugiej, ale nie pierwszej definicji powyżej. Z drugiej strony, ich podwójne pokrycia są rozmaitościami Calabiego – Yau dla obu definicji (w rzeczywistości powierzchni K3).

Zdecydowanie najtrudniejszą częścią udowodnienia równoważności między różnymi powyższymi właściwościami jest udowodnienie istnienia metryk Ricciego. Wynika to z dowodu Yau na hipotezę Calabiego , który sugeruje, że zwarta rozmaitość Kählera ze znikającą pierwszą rzeczywistą klasą Cherna ma metrykę Kählera w tej samej klasie ze znikającą krzywizną Ricciego. (Klasa metryki Kählera to klasa kohomologii skojarzonej z nią postaci 2). Calabi wykazał, że taka metryka jest wyjątkowa.

Istnieje wiele innych nierównomiernych definicji rozmaitości Calabiego-Yau, które są czasami używane, a które różnią się między innymi w następujący sposób:

• Pierwsza klasa Cherna może zniknąć jako klasa integralna lub prawdziwa.
• Większość definicji głosi, że rozmaitości Calabiego-Yau są zwarte, ale niektóre pozwalają na to, aby były nie-zwarte. W uogólnieniu na rozmaitości niezagęszczone różnica musi zanikać asymptotycznie. Tutaj jest forma Kählera związana z metryką Kählera ( Gang Tian ; Shing-Tung Yau 1990 , 1991 ). ${\ Displaystyle (\ Omega \ klin {\ bar {\ Omega}} - \ omega ^ {n} / n!)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle g}$ 
• Niektóre definicje nakładają ograniczenia na podstawową grupę rozmaitości Calabiego-Yau, na przykład żądając, aby była ona skończona lub trywialna. Każda rozmaitość Calabiego – Yau ma skończoną pokrywę, która jest produktem torusa i po prostu połączonej rozmaitości Calabiego – Yau.
• Niektóre definicje wymagają, aby holonomia była dokładnie równa SU ( n ), a nie jej podgrupie, co oznacza, że liczby Hodge znikają dla . Powierzchnie abelowe mają płaską metrykę Ricciego z holonomią ściśle mniejszą niż SU (2) (w rzeczywistości trywialne), więc według takich definicji nie są rozmaitościami Calabiego-Yau. ${\ displaystyle h ^ {i, 0}}$${\ Displaystyle 0 <ja <\ dim (M)}$
• Większość definicji zakłada, że ​​rozmaitość Calabiego – Yau ma metrykę riemannowską, ale niektóre traktują je jako rozmaitości złożone bez metryki.
• Większość definicji zakłada, że ​​rozmaitość nie jest pojedyncza, ale niektóre dopuszczają łagodne osobliwości. Podczas gdy klasa Cherna nie jest dobrze zdefiniowana dla liczby pojedynczej Calabiego-Yau, wiązka kanoniczna i klasa kanoniczna mogą być nadal zdefiniowane, jeśli wszystkie osobliwości są Gorensteinem , a więc mogą być użyte do rozszerzenia definicji gładkiej rozmaitości Calabiego-Yau na prawdopodobnie jedyna odmiana Calabi – Yau.

Przykłady

Najważniejszym fundamentalnym faktem jest to, że każda gładka odmiana algebraiczna osadzona w przestrzeni rzutowej jest rozmaitością Kählera, ponieważ istnieje naturalna miara Fubiniego – Study dotycząca przestrzeni rzutowej, którą można ograniczyć do odmiany algebraicznej. Z definicji, jeśli ω jest metryką Kählera na rozmaitości algebraicznej X, a wiązka kanoniczna K _X jest trywialna, to X to Calabi – Yau. Co więcej, istnieje unikalna metryka Kählera ω na X taka, że ​​[ ω ₀ ] = [ ω ] ∈  H ² ( X , R ), fakt, który został przypuszczony przez Eugenio Calabiego i udowodniony przez Shing-Tung Yau (patrz hipoteza Calabiego ).

Krzywe algebraiczne Calabiego-Yau

W jednym złożonym wymiarze jedynymi zwartymi przykładami są tori , które tworzą rodzinę jednoparametrową. Metryka Ricciego na torusie jest w rzeczywistości metryką płaską , więc holonomia to trywialna grupa SU (1). Jednowymiarowa rozmaitość Calabiego – Yau jest złożoną krzywą eliptyczną , a zwłaszcza algebraiczną .

CY powierzchnie algebraiczne

W dwóch skomplikowanych wymiarach, powierzchnie K3 stanowią jedyne kompaktowe, łatwo połączone rozdzielacze Calabi – Yau. Można je skonstruować jako powierzchnie kwarcowe , takie jak złożona różnorodność algebraiczna zdefiniowana przez zanikające miejsce ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$

${\ Displaystyle X_ {0} ^ {4} + X_ {1} ^ {4} + X_ {2} ^ {4} + X_ {3} ^ {4} = 0}$ dla ${\ Displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}] \ in \ mathbb {P} ^ {3}}$

Inne przykłady można skonstruować jako fibracje eliptyczne ^{pg 4} , jako ilorazy powierzchni abelowych ^{pg 4} lub jako pełne przecięcia .

Niełatwe ze sobą przykłady są podane przez powierzchnie abelowe , które są prawdziwymi czterema torusami wyposażonymi w złożoną strukturę rozmaitości. Powierzchnie Enriquesa i powierzchnie hipereliptyczne mają pierwszą klasę Cherna, która znika jako element prawdziwej grupy kohomologii, ale nie jako element integralnej grupy kohomologii, więc twierdzenie Yau o istnieniu metryki Ricci-flat nadal ma do nich zastosowanie, ale są one czasami nie są uważane za rozmaitości Calabiego-Yau. Powierzchnie abelowe są czasami wykluczane z klasyfikacji bycia Calabim – Yau, ponieważ ich holonomia (znowu grupa trywialna) jest właściwą podgrupą SU (2), zamiast być izomorficzną z SU (2). Jednak podzbiór powierzchni Enriquesa nie odpowiada całkowicie podgrupie SU (2) w krajobrazie teorii strun . ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {4}}$

CY trzykrotnie

W trzech złożonych wymiarach klasyfikacja możliwych rozmaitości Calabiego-Yau jest problemem otwartym, chociaż Yau podejrzewa, że ​​istnieje skończona liczba rodzin (aczkolwiek znacznie większa niż jego szacunki sprzed 20 lat). Z kolei Miles Reid przypuszczał również, że liczba topologicznych typów 3-krotnych Calabiego-Yau jest nieskończona i że wszystkie one mogą być przekształcane w sposób ciągły (poprzez pewne łagodne osobliwości, takie jak konifoldy ) jedna w drugą - podobnie jak Powierzchnie Riemanna mogą. Jednym z przykładów trójwymiarowej rozmaitości Calabiego-Yau jest niejednorodny kwintyczny trójkształtny w CP ⁴ , który jest odmianą algebraiczną składającą się ze wszystkich zer jednorodnego kwintycznego wielomianu w jednorodnych współrzędnych CP ⁴ . Innym przykładem jest gładki model quintic Barth – Nieto . Niektóre dyskretne ilorazy kwintiki przez różne akcje Z ₅ to także Calabi – Yau i otrzymały one wiele uwagi w literaturze. Jeden z nich jest powiązany z oryginalnym kwintikiem przez symetrię lustrzaną .

Dla każdej liczby całkowitej n , w zestawie zera , w współrzędnych jednorodnych złożonego przestrzeni rzutowej CP ^{n +1} , o nieosobliwej jednorodnego stopnia n  + 2 wielomian n  + 2 zmiennych jest zwarty Calabiego-Yau n -krotnie. Przypadek n  = 1 opisuje krzywą eliptyczną, podczas gdy dla n  = 2 otrzymujemy powierzchnię K3.

Mówiąc bardziej ogólnie, odmiany / orbifoldy Calabi-Yau można znaleźć jako ważone pełne przecięcia w ważonej przestrzeni rzutowej . Głównym narzędziem służącym do znajdowania takich przestrzeni jest formuła połączeń .

Wszystkie rozmaitości hiper-Kählera są rozmaitościami Calabiego-Yau.

Zastosowania w teorii superstrun

Rozmaitości Calabiego-Yau są ważne w teorii superstrun . Zasadniczo, rozmaitości Calabiego-Yau są kształtami, które spełniają wymóg miejsca dla sześciu „niewidocznych” wymiarów przestrzennych teorii strun, które mogą być mniejsze niż nasze obecnie obserwowalne długości, ponieważ nie zostały jeszcze wykryte. Popularną alternatywą znaną jako duże dodatkowe wymiary , która często występuje w modelach braneworld , jest to, że Calabi-Yau jest duży, ale jesteśmy ograniczeni do małego podzbioru, na którym przecina D-brane . Obecnie badane są dalsze rozszerzenia w wyższych wymiarach z dodatkowymi konsekwencjami dla ogólnej teorii względności .

W najbardziej konwencjonalnych modelach superstrun przypuszcza się, że dziesięć domniemanych wymiarów w teorii strun występuje jako cztery, z których jesteśmy świadomi, niosąc pewien rodzaj fibracji o wymiarze włókna sześć. Zagęszczenie na fałdach Calabiego-Yau n jest ważne, ponieważ pozostawia część pierwotnej supersymetrii w stanie nienaruszonym. Dokładniej, przy braku strumieni , zagęszczenie na 3-krotnym Calabim – Yau (wymiar rzeczywisty 6) pozostawia jedną czwartą pierwotnej supersymetrii nieprzerwaną, jeśli holonomia jest pełną SU (3).

Mówiąc bardziej ogólnie, kompaktowanie bez strumienia na n- rozmaitości z holonomią SU ( n ) pozostawia 2 ^{1− n} pierwotnej supersymetrii nieprzerwanej, co odpowiada 2 ^{6− n} doładowaniom w zagęszczaniu supergrawitacji typu II lub 2 ^{5− n} doładowaniami w zagęszczeniu typu I. Gdy uwzględnione są strumienie, warunek supersymetrii zamiast tego implikuje, że rozmaitość zagęszczania jest uogólnionym Calabim – Yau , pojęciem wprowadzonym przez Hitchina (2003) . Te modele są znane jako kompaktowanie strumienia .

Zwartościowanie teorii F na różnych czterokrotnych układach Calabiego-Yau dostarcza fizykom metody znajdowania dużej liczby klasycznych rozwiązań w tak zwanym krajobrazie teorii strun .

Z każdą dziurą w przestrzeni Calabiego-Yau połączona jest grupa niskoenergetycznych wzorców wibracyjnych strun. Ponieważ teoria strun stwierdza, że ​​znane nam cząstki elementarne odpowiadają niskoenergetycznym wibracjom struny, obecność wielu dziur powoduje, że wzory struny dzielą się na wiele grup lub rodzin . Chociaż poniższe stwierdzenie zostało uproszczone, przekazuje logikę argumentu: jeśli Calabi-Yau ma trzy dziury, to trzy rodziny wzorców wibracyjnych, a tym samym trzy rodziny cząstek, będą obserwowane eksperymentalnie.

Logicznie rzecz biorąc, ponieważ struny wibrują we wszystkich wymiarach, kształt zwiniętych będzie wpływał na ich wibracje, a tym samym na właściwości obserwowanych cząstek elementarnych. Na przykład Andrew Strominger i Edward Witten wykazali, że masy cząstek zależą od sposobu przecięcia różnych dziur w Calabiego-Yau. Innymi słowy, Strominger i Witten odkryli, że pozycje otworów względem siebie i substancji przestrzeni Calabiego-Yau wpływają na masy cząstek w określony sposób. Dotyczy to wszystkich właściwości cząstek.

Zobacz też

• Quintic trojakie
• Rozdzielacz G2
• Algebra Calabiego – Yau

Bibliografia

Cytaty

Artykuły dla początkujących

• Przegląd fibracji eliptycznych Calabiego-Yau
• Wykłady na temat krajobrazu Calabi-Yau
• Fibracje w CICY Threefolds - ( pełne skrzyżowanie Calabi-Yau)

Bibliografia

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 10 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-15279-8 , OCLC   13793300
• Bini; Iacono (2016), Klasy dyfeomorfizmu odmian Calabi – Yau (PDF) , arXiv : 1612.04311 , Bibcode : 2016arXiv161204311B
• Chan, Yat-Ming (2004), Desingularizations of Calabi-Yau 3-folds with a conical singularity , arXiv : math / 0410260 , Bibcode : 2004math ..... 10260C
• Calabi, Eugenio (1954), „Przestrzeń metryk Kählera” , Proc. Natl. Internat. Congress Math. Amsterdam , 2 , s. 206–207, zarchiwizowane z oryginału w dniu 2011-07-17
• Calabi, Eugenio (1957), "O rozmaitościach Kählera z zanikającą klasą kanoniczną", w: Fox, Ralph H .; Spencer, Donald C .; Tucker, Albert W. (red.), Geometria algebraiczna i topologia. Sympozjum na cześć S. Lefschetza , Princeton Mathematical Series, 12 , Princeton University Press , str. 78–89, ISBN   9780691079073 , MR   0085583
• Greene, Brian (1997), Teoria strun na rozmaitościach Calabiego – Yau , Pola, struny i dwoistość (Boulder, CO, 1996), River Edge, NJ: World Sci. Publ., Str. 543–726, arXiv : hep-th / 9702155v1 , Bibcode : 1997hep.th .... 2155G , MR   1479700
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985), „Vacuum configuration for superstrings” , Nuclear Physics B , 258 : 46–74, Bibcode : 1985NuPhB.258 ... 46C , doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9
• Gross, M .; Huybrechts, D .; Joyce, Dominic (2003), Calabi – Yau rozmaitości i powiązane geometrie , Universitext, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-19004-9 , ISBN   978-3-540-44059-8 , MR   1963559 , OCLC   50695398
• Hitchin, Nigel (2003), „Generalized Calabi – Yau rozmaitości”, The Quarterly Journal of Mathematics , 54 (3): 281–308, arXiv : math.DG / 0209099 , CiteSeerX   10.1.1.237.8935 , doi : 10.1093 / qmath / hag025 , MR   2013140
• Hübsch, Tristan (1994), Calabi – Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists , Singapur, Nowy Jork: World Scientific , ISBN   978-981-02-1927-7 , OCLC   34989218 , archiwizowane z oryginałem na 2010-01-13 , pobierane 2009-02-04
• Im, Mee Seong (2008) „ Singularities-in-Calabi-Yau-varieties.pdf Osobliwości w odmianach Calabi-Yau ”
• Joyce, Dominic (2000), Compact Manifolds with Special Holonomy , Oxford University Press , ISBN   978-0-19-850601-0 , OCLC   43864470
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1990), „Complete Kähler manifolds with zero Ricci curvature, I”, J. Amer. Math. Soc. , 3 (3): 579–609, doi : 10,2307 / 1990928 , JSTOR   1990928
• Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1991), „Complete Kählera rozmaitości z zerową krzywizną Ricciego, II”, Wynalazek. Math. , 106 (1): 27–60, Bibcode : 1991InMat.106 ... 27T , doi : 10.1007 / BF01243902 , S2CID   122638262
• Yau, Shing Tung (1978), „On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I”, Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10,1002 / cpa .3160310304 , MR   0480350
• Yau, Shing-Tung (2009), „Badanie rozmaitości Calabiego – Yau”, Geometry, analysis, and algebraic geometry: czterdzieści lat czasopisma Journal of Differential Geometry , Surveys in Differential Geometry, 13 , Somerville, Massachusetts: Int. Press, s. 277–318, doi : 10.4310 / SDG.2008.v13.n1.a9 , MR   2537089
• Yau, Shing-Tung i Nadis, Steve; The Shape of Inner Space , Basic Books, 2010. ISBN   978-0-465-02023-2

Linki zewnętrzne

• Strona główna Calabiego-Yau to interaktywne odniesienie, które opisuje wiele przykładów i klas rozmaitości Calabiego-Yau, a także teorie fizyczne, w których się pojawiają.
• Film Spinning Calabi – Yau Space.
• Calabi – Yau Space autorstwa Andrew J. Hansona z dodatkowym wkładem Jeffa Bryanta, Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. „Przestrzeń Calabi – Yau” . MathWorld .
• Yau, ST, rozmaitość Calabi – Yau , Scholarpedia (podobny do ( Yau 2009 ))