Geometria konforemna - Conformal geometry

W matematyce , geometrię dopasowaną jest badanie zestaw kątowych zabezpieczonego ( konforemnych ) transformacje w przestrzeni.

W rzeczywistej dwuwymiarowej przestrzeni geometria konforemna jest dokładnie geometrią powierzchni Riemanna . W przestrzeni większej niż dwa wymiary geometria konforemna może odnosić się albo do badania konforemnych przekształceń tak zwanych „płaskich przestrzeni” (takich jak przestrzenie lub sfery euklidesowe ), albo do badania rozmaitości konforemnych, które są rozmaitościami riemannowskimi lub pseudo-riemannowskimi z klasą metryk, które są zdefiniowane w odpowiedniej skali. Badanie płaskich struktur jest czasami nazywane geometrią Möbiusa i jest rodzajem geometrii Kleina .

Rozmaitości konforemne

Kolektora konforemna to rozdzielacz pseudo Riemanna wyposażony klasy równoważności tensor metryczny , w którym dwie metryki g i h są równoważne, jeżeli i tylko jeżeli

gdzie λ jest gładką funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na rozmaitości i jest nazywana współczynnikiem konforemnym . Klasa równoważności takich metryk jest znana jako metryka konforemna lub klasa konforemna . Zatem metryka konforemna może być uważana za metrykę, która jest zdefiniowana tylko „do skali”. Często metryki konformalne są traktowane przez wybranie metryki w klasie konforemnej i zastosowanie do wybranej metryki tylko konstrukcji „konformalnie niezmiennych”.

Metryka konforemna jest konformalnie płaska, jeśli istnieje metryka reprezentująca ją, która jest płaska, w zwykłym sensie, w którym tensor krzywizny Riemanna znika. Może być możliwe tylko znalezienie metryki w klasie konforemnej, która jest płaska w otwartym sąsiedztwie każdego punktu. Gdy konieczne jest rozróżnienie tych przypadków, ten ostatni nazywa się lokalnie konformalnie płaskim , chociaż często w literaturze nie jest zachowane rozróżnienie. N -sphere jest lokalnie wiernie płaski układ rur, który nie jest globalnie wiernie płaskie w tym sensie, podczas gdy w przestrzeni euklidesowej, torusa lub kolektora konforemny, która jest pokryta przez otwarte podzestawu przestrzeni euklidesowa jest (na całym świecie) wiernie płaski w tym sens. Lokalnie konformalnie płaska rozmaitość jest lokalnie konformalna do geometrii Möbiusa , co oznacza, że ​​istnieje kąt zachowujący lokalny dyfeomorfizm z rozmaitości do geometrii Möbiusa. W dwóch wymiarach każda metryka konformalna jest lokalnie konformalnie płaska. W wymiarze n > 3 metryka konforemna jest lokalnie konformalnie płaska wtedy i tylko wtedy, gdy jej tensor Weyla znika; w wymiarze n = 3 , wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Cotton znika.

Geometria konforemna posiada szereg cech, które odróżniają ją od geometrii (pseudo-)riemannowskiej. Po pierwsze, chociaż w geometrii (pseudo-)riemannowskiej w każdym punkcie mamy dobrze zdefiniowaną metrykę, w geometrii konforemnej mamy tylko klasę metryk. Zatem długość wektora stycznego nie może być zdefiniowana, ale kąt między dwoma wektorami nadal może. Inną cechą jest to, że nie ma połączenia Levi-Civita bo jeśli g i λ 2 g są dwaj przedstawiciele struktury konformalną, wtedy symbole christoffela o g i λ 2 g nie zgodzi. Te związane z λ 2 g obejmowałyby pochodne funkcji λ, podczas gdy te związane z g nie.

Pomimo tych różnic, geometria konforemna jest nadal podatna na obróbkę. Połączenie i tensor krzywizny Levi-Civita , chociaż definiowane dopiero po wyodrębnieniu konkretnego reprezentanta struktury konforemnej, spełniają pewne prawa transformacji dotyczące λ i jego pochodnych, gdy wybrany zostanie inny reprezentant. W szczególności (w wymiarze wyższym niż 3) okazuje się, że tensor Weyla nie zależy od λ , a więc jest niezmiennikiem konforemnym . Co więcej, nawet jeśli nie ma połączenia Levi-Civita na konformalnej rozgałęźniku, można zamiast tego pracować z połączeniem konforemnym , które może być traktowane jako rodzaj połączenia Cartana modelowanego na powiązanej geometrii Möbiusa lub jako połączenie Weyla . Pozwala to na zdefiniowanie krzywizny konformalnej i innych niezmienników struktury konforemnej.

Geometria Mobiusa

Geometria Möbiusa to nauka o „ przestrzeni euklidesowej z punktem dodanym w nieskończoności” lub „ przestrzeni Minkowskiego (lub pseudoeuklidesowej) ze stożkiem zerowym dodanym w nieskończoności”. Oznacza to, że otoczenie jest zagęszczeniem znajomej przestrzeni; geometria dotyczy skutków kątami konserwujących.

Na poziomie abstrakcyjnym przestrzenie euklidesowe i pseudoeuklidesowe można obsługiwać w bardzo podobny sposób, z wyjątkiem wymiaru drugiego. Zwarta dwuwymiarowa płaszczyzna Minkowskiego wykazuje rozległą symetrię konforemną . Formalnie jego grupa przekształceń konforemnych jest nieskończenie wymiarowa. Natomiast grupa przekształceń konforemnych skompaktowanej płaszczyzny euklidesowej jest tylko 6-wymiarowa.

Dwa wymiary

Samolot Minkowskiego

Grupa konforemna dla kwadratowej postaci Minkowskiego q ( x , y ) = 2 xy w płaszczyźnie to abelowa grupa Liego

z algebrą Liego cso (1, 1) składającą się ze wszystkich rzeczywistych macierzy diagonalnych 2 × 2 .

Rozważmy teraz płaszczyznę Minkowski, ℝ 2 wyposażone w metrykę

Jednoparametrowa grupa przekształceń konforemnych powoduje powstanie pola wektorowego X o własności, że pochodna Liego g wzdłuż X jest proporcjonalna do g . Symbolicznie,

L X g = λg   jakiegoś Î .

W szczególności, używając powyższego opisu algebry Liego cso (1, 1) , oznacza to, że

  1. L X   dx = ( x ) dx
  2. L X   dy = b ( r ) dy

dla niektórych funkcji o wartościach rzeczywistych a i b zależnych odpowiednio od x i y .

I odwrotnie, przy danej parze funkcji o wartościach rzeczywistych istnieje pole wektorowe X spełniające 1 i 2. Stąd algebra Liego o nieskończenie małych symetriach struktury konforemnej, algebra Witta , jest nieskończenie wymiarowa .

Zagęszczenie konforemne płaszczyzny Minkowskiego jest iloczynem kartezjańskim dwóch okręgów S 1 × S 1 . Na uniwersalnej okładce nie ma przeszkód do całkowania nieskończenie małych symetrii, a więc grupa przekształceń konforemnych jest nieskończenie wymiarową grupą Liego

gdzie Diff( S 1 ) jest grupą dyfeomorfizmu koła.

Grupa konforemna CSO(1, 1) i jej algebra Liego są obecnie przedmiotem zainteresowania dwuwymiarowej konforemnej teorii pola .

Przestrzeń euklidesowa

Siatka współrzędnych przed transformacją Möbiusa
Ta sama siatka po transformacji Möbiusa

Grupa symetrii konforemnych postaci kwadratowej

to grupa GL 1 ( C ) = C × , grupa multiplikatywna liczb zespolonych. Jego algebra Liego to gl 1 ( C ) = C .

Rozważmy płaszczyznę zespoloną (euklidesową) wyposażoną w metrykę

Nieskończenie małe symetrie konforemne spełniają

gdzie f spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna , a więc jest holomorficzne w swojej dziedzinie. (Zobacz algebra Witta .)

Konformalne izometrie domeny składają się zatem z holomorficznych samo-map. W szczególności na zagęszczeniu konforemnym – sferze Riemanna – przekształcenia konforemne są podane przez przekształcenia Möbiusa

gdzie adbc jest niezerowe.

Wyższe wymiary

W dwóch wymiarach grupa automorfizmów konforemnych przestrzeni może być dość duża (jak w przypadku sygnatury Lorentzowskiej) lub zmienna (jak w przypadku sygnatury euklidesowej). Porównywalny brak sztywności przypadku dwuwymiarowego z przypadkiem wyższych wymiarów wynika z analitycznego faktu, że asymptotyczny rozwój nieskończenie małych automorfizmów struktury jest stosunkowo nieograniczony. W sygnaturze Lorentza wolność tkwi w parze funkcji o wartościach rzeczywistych. W Euklidesie wolność jest w jednej funkcji holomorficznej.

W przypadku wyższych wymiarów asymptotyczny rozwój nieskończenie małych symetrii jest co najwyżej wielomianem kwadratowym. W szczególności tworzą one skończenie wymiarową algebrę Liego . Punktowo nieskończenie małe symetrie konforemne rozmaitości mogą być całkowane dokładnie wtedy, gdy rozmaitość jest pewnym modelem konformalnie płaską przestrzenią ( aż do przyjęcia uniwersalnych okryć i dyskretnych ilorazów grupowych).

Ogólna teoria geometrii konforemnej jest podobna, choć z pewnymi różnicami, w przypadku sygnatury euklidesowej i pseudoeuklidesowej. W każdym przypadku istnieje kilka sposobów wprowadzenia przestrzeni modelu o konformalnie płaskiej geometrii. O ile z kontekstu nie wynika inaczej, ten artykuł traktuje przypadek konforemnej geometrii euklidesowej z założeniem, że ma ona również zastosowanie, mutatis mutandis , do sytuacji pseudoeuklidesowej.

Model odwrotny

Odwrotny model geometrii konforemnej składa się z grupy lokalnych przekształceń w przestrzeni euklidesowej E n generowanych przez inwersję w sferach. Zgodnie z twierdzeniem Liouville'a , każda lokalna (konforemna) transformacja zachowująca kąt ma tę postać. Z tej perspektywy właściwości transformacji płaskiej przestrzeni konforemnej są właściwościami geometrii odwrotnej .

Model projekcyjny

Model projekcyjny identyfikuje sferę konformalną z pewną kwadryką w przestrzeni rzutowej . Niech q oznacza lorentzowską postać kwadratową na R n +2 określoną przez

W przestrzeni rzutowej P ( R n +2 ) niech S będzie miejscem q = 0 . Wtedy S jest rzutowym (lub Möbius) modelem geometrii konforemnej. Transformacja dopasowaną na S jest rzutowa transformacji liniowej z P ( R n + 2 ), które pozostawia Quadratic niezmienne.

W pokrewnej konstrukcji kwadryka S jest traktowana jako sfera niebieska w nieskończoności stożka zerowego w przestrzeni Minkowskiego R n +1,1 , która jest wyposażona w kwadratową formę q jak powyżej. Stożek zerowy jest zdefiniowany przez

Jest to stożek afiniczny nad kwadryką rzutową S . Niech N + będzie przyszłą częścią zerowego stożka (z usuniętym początkiem). Wtedy rzut tautologiczny R n +1,1 ∖ {0} → P ( R n +2 ) ogranicza się do rzutu N +S . Daje to N + strukturę wiązki liniowej nad S . Konforemne przekształceń S wywołane przez orthochronous transformacji Lorentza z R n +1,1 , ponieważ są one jednorodne przekształceń liniowych konserwujące stożka przyszłości zerowej.

Sfera euklidesowa

Intuicyjnie, konformalnie płaska geometria kuli jest mniej sztywna niż riemannowska geometria kuli. Konformalne symetrie sfery są generowane przez inwersję we wszystkich jej hipersferach . Z drugiej strony, riemannowskie izometrie sfery są generowane przez inwersje w hipersferach geodezyjnych (patrz twierdzenie Cartana-Dieudonnégo ). Sferę euklidesową można mapować do sfery konforemnej w sposób kanoniczny, ale nie odwrotnie.

Sfera jednostek euklidesowych jest miejscem w R n +1

Można to zmapować do przestrzeni Minkowskiego R n +1,1 przez dopuszczenie

Łatwo zauważyć, że obraz kuli poddanej tej transformacji jest zerowy w przestrzeni Minkowskiego, a więc leży na stożku N + . W konsekwencji wyznacza przekrój wiązki liniowej N +S .

Mimo to wybór był arbitralny. Jeśli κ ( x ) jest dowolną dodatnią funkcją x = ( z , x 0 , ..., x n ) , to przypisanie

daje również mapowanie do N + . Funkcja κ jest dowolnym wyborem skali konforemnej .

Wskaźniki reprezentatywne

Reprezentatywna metryka riemannowska na sferze jest metryką proporcjonalną do standardowej metryki sferycznej. Daje to realizację sfery jako rozmaitości konforemnej . Standardowa metryka sferyczna jest ograniczeniem metryki euklidesowej na R n +1

do kuli

Konforemny przedstawiciel g jest metryką postaci λ 2 g , gdzie λ jest dodatnią funkcją na sferze. Klasa konforemna g , oznaczona [ g ], jest zbiorem wszystkich takich przedstawicieli:

Wbudowanie sfery euklidesowej w N + , tak jak w poprzedniej sekcji, określa skalę konforemną na S . Odwrotnie, każda konforemna skala na S jest dana przez takie osadzenie. Zatem wiązka liniowa N +S jest utożsamiana z wiązką skal konforemnych na S : podanie odcinka tej wiązki jest równoznaczne z podaniem metryki w klasie konforemnej [ g ].

Model metryczny otoczenia

Innym sposobem realizacji reprezentatywnych metryk jest specjalny układ współrzędnych na R n +1, 1 . Załóżmy, że euklidesowa n- sfera S ma stereograficzny układ współrzędnych . Składa się z następującej mapy R nSR n +1 :

W odniesieniu do tych współrzędnych stereograficznych można podać układ współrzędnych na stożku zerowym N + w przestrzeni Minkowskiego. Korzystając z osadzenia podanego powyżej, reprezentatywną częścią metryczną stożka zerowego jest

Wprowadź nową zmienną t odpowiadającą dylatacji w górę N + , tak aby zerowy stożek był koordynowany przez

Wreszcie niech ρ będzie następującą funkcją definiującą N + :

We współrzędnych t , ρ , y na R n +1,1 metryka Minkowskiego przyjmuje postać:

gdzie g ij jest metryką na sferze.

W tym ujęciu odcinek wiązki N + składa się ze specyfikacji wartości zmiennej t = t ( y i ) w funkcji y i wzdłuż stożka zerowego ρ = 0 . Daje to następujący przedstawiciel metryki konforemnej na S :

Model kleinowski

Rozważmy najpierw przypadek płaskiej geometrii konforemnej w sygnaturze euklidesowej. N wymiarowa jest model niebieskich kuli z ( n + 2) wymiarowej przestrzeni lorentzowskiej R n +1,1 . W tym przypadku model jest geometria Klein : a przestrzeń jednorodna G / H , gdzie G = SO ( n + 1, 1), działając na ( n + 2) wymiarowej przestrzeni lorentzowskiej R n +1,1 , a H jest izotropowość grupę o stały promień zerowy w stożku światła . Zatem modele konformalnie płaskie są przestrzeniami geometrii odwrotnej . Dla pseudoeuklidesowej sygnatury metrycznej ( p , q ) płaską geometrię modelu definiuje się analogicznie jako jednorodną przestrzeń O( p + 1, q + 1)/ H , gdzie ponownie H przyjmuje się jako stabilizator linii zerowej. Zauważ, że zarówno euklidesowe, jak i pseudoeuklidesowe przestrzenie modelu są zwarte .

Konforemne algebry Liego

Aby opisać grupy i algebry biorące udział w płaskiej przestrzeni modelu, ustal następującą postać na R p +1, q +1 :

gdzie J jest kwadratową formą podpisu ( p , q ) . Wtedy G = O( p + 1, q + 1) składa się z ( n + 2) × ( n + 2) macierzy stabilizujących Q  : t MQM = Q . Algebra Liego dopuszcza rozkład Cartana

gdzie

Alternatywnie, ta dekompozycja zgadza się z naturalną strukturą algebry Liego określoną na R ncso ( p , q ) ⊕ ( R n ) .

Stabilizator promienia zerowego skierowanego w górę ostatniego wektora współrzędnych jest określony przez podalgebrę Borela

H = g 0g 1 .

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ Paul Ginsparg (1989), Stosowana teoria pola konformalnego . arXiv : hep-th/9108028 . Opublikowano w Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Pola, struny i zjawiska krytyczne (Les Houches), wyd. przez E. Brézin i J. Zinn-Justin, Elsevier Science Publishers BV
  2. ^ Kobayashi (1972).
  3. ^ Ze względu na ogólne twierdzenie Sternberga (1962).
  4. ^ Słowacki (1993).
  5. ^ SA Stepanov (2001) [1994], "Twierdzenia Liouville" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press. G. Monge (1850). „ Rozszerzenie au case des trois wymiary de la question du tracé géographique, uwaga VI (przez J. Liouville)”. Aplikacja de l'Analiza à la geometria . Kawaler, Paryż. s. 609–615..

Bibliografia

Linki zewnętrzne