Suma połączona - Connected sum

W matematyce , szczególnie w topologii , działanie sum połączonych jest geometryczną modyfikacją rozmaitości . Jej efektem jest połączenie dwóch podanych kolektorów razem w pobliżu wybranego punktu na każdej z nich. Konstrukcja ta odgrywa kluczową rolę w klasyfikacji powierzchni zamkniętych .

Bardziej ogólnie, można również łączyć rozmaitości razem wzdłuż identycznych podrozmaitości; to uogólnienie jest często nazywane sumą włókien . Istnieje również blisko spokrewnione pojęcie sumy połączonej węzłów , zwanej sumą węzłów lub składem węzłów.

Ilustracja połączonej sumy.

Suma powiązana w jednym punkcie

Połączone suma dwóch m -wymiarową rozdzielaczy jest utworzona przez układ rur usuwanie piłki wewnątrz każdego rozdzielacza i sklejanie wynikające brzegowe dziedziny .

Jeśli obie kolektory są zorientowane , istnieje niepowtarzalna połączona suma określona przez odwrócenie orientacji mapy klejenia. Chociaż konstrukcja wykorzystuje wybór piłek, wynik jest wyjątkowy aż do homeomorfizmu . Można również sprawić, by ta operacja działała w kategorii płynnej , a wynik jest unikalny aż do dyfeomorfizmu . W gładkim przypadku występują subtelne problemy: nie każdy dyfeomorfizm między granicami sfer daje tę samą złożoną rozmaitość, nawet jeśli orientacje są wybrane prawidłowo. Na przykład Milnor wykazał, że dwie 7-komórki można skleić wzdłuż ich granicy, tak że wynikiem jest egzotyczna kula homeomorficzna, ale nie diffeomorficzna z 7-kulą.

Jednakże, istnieje kanoniczny sposób wyboru klejenie i co daje niepowtarzalny dobrze zdefiniowaną podłączonego sumy. Wybierz zanurzeń i tak, że orientacja konserwy i odwraca orientację. Teraz uzyskaj z rozłącznej sumy ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ Displaystyle i_ {1}: D_ {n} \ rightarrow M_ {1}}$${\ Displaystyle i_ {2}: D_ {n} \ rightarrow M_ {2}}$${\ displaystyle i_ {1}}$${\ displaystyle i_ {2}}$${\ Displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$

${\ Displaystyle (M_ {1} -i_ {1} (0)) \ sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}$

identyfikując z dla każdego wektora jednostkowego i każdego . Wybierz orientację zgodną z i . Fakt, że ta konstrukcja jest dobrze zdefiniowana, zależy przede wszystkim od twierdzenia o dysku , które wcale nie jest oczywiste. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz ${\ displaystyle i_ {1} (tu)}$${\ Displaystyle i_ {2} ((1-t) u)}$${\ Displaystyle u \ w S ^ {n-1}}$${\ displaystyle 0 <t <1}$${\ Displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$

Operacja połączonej sumy jest oznaczona przez ; na przykład oznacza połączoną sumę i . ${\ displaystyle \ #}$${\ displaystyle A \ #B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Działanie sumy połączonej ma sferę jako tożsamość ; to znaczy jest homeomorficzny (lub diffeomorficzny) do . ${\ Displaystyle S ^ {m.}}$${\ Displaystyle M \ # S ^ {m.}}$${\ displaystyle M}$

Klasyfikacja zamkniętymi powierzchniami, fundamentalne historycznie znaczący skutek w topologii stwierdza, że każda zamknięta powierzchnia może być wyrażona jako suma podłączonego kuli z pewnej liczby z torusa i pewną liczbę od rzeczywistych projekcyjnych płaszczyznach . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle k}$

Suma połączona wzdłuż podrozmaitości

Niech i będą dwiema gładkimi, zorientowanymi rozmaitościami o równych wymiarach i gładką, zamkniętą, zorientowaną rozmaitością, osadzoną jako podrozmaitość w obu i Przypuśćmy ponadto, że istnieje izomorfizm wiązek normalnych${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ Displaystyle M_ {2}.}$

${\ Displaystyle \ psi: N_ {M_ {1}} V \ do N_ {M_ {2}} V}$

która odwraca orientację każdego włókna. Następnie wywołuje dyfeomorfizm zachowujący orientację ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle N_ {1} \ setminus V \ cong N_ {M_ {1}} V \ setminus V \ do N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,}$

gdzie każdy normalny pakiet jest diffeomorphically identyfikowane z sąsiedztwa z IN , a mapa ${\ displaystyle N_ {M_ {i}} V}$${\ displaystyle N_ {i}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {i}}$

${\ Displaystyle N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ do N_ {M_ {2}} V \ setminus V}$

jest dyfeomorficzną inwolucją odwracającą orientację

${\ displaystyle v \ mapsto v / | v | ^ {2}}$

na normalnych wektorach . Połączona suma od i razem jest to przestrzeń ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle (M_ {1} \ setminus V) \ bigcup _ {N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V} (M_ {2} \ setminus V)}$

uzyskane przez sklejenie usuniętych sąsiedztw razem przez dyfeomorfizm zachowujący orientację. Suma jest często oznaczana

${\ Displaystyle (M_ {1}, V) \ # (M_ {2}, V).}$

Jego typ dyfeomorfizmu zależy od wyboru dwóch osadzeń i od wyboru . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ psi}$

Mówiąc luźno, każde normalne włókno podrozmaitości zawiera pojedynczy punkt , a połączona suma wzdłuż jest po prostu połączoną sumą, jak opisano w poprzedniej sekcji, wykonaną wzdłuż każdego włókna. Z tego powodu połączona suma jest często nazywana sumą włókien . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Specjalny przypadek punktu odzyskuje połączoną sumę z poprzedniej sekcji. ${\ displaystyle V}$

Suma połączona wzdłuż podrozmaitości o kodzie wymiaru dwa

Inny ważny przypadek specjalny występuje, gdy wymiar jest o dwa mniejszy niż wymiar . Wtedy izomorfizm normalnych wiązek istnieje, gdy ich klasy Eulera są przeciwne: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - mi (N_ {M_ {2}} V).}$

Ponadto w tym przypadku grupa struktury normalnych wiązek jest grupą koła ; Wynika z tego, że wybór osadzeń można kanonicznie utożsamiać z grupą klas homotopii odwzorowań od do koła, co z kolei równa się pierwszej integralnej grupie kohomologicznej . Więc typ dyfeomorfizmu sumy zależy od wyboru i wyboru elementu z . ${\ Displaystyle SO (2)}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle H ^ {1} (V)}$${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle H ^ {1} (V)}$

Połączoną sumę wzdłuż k-wymiaru-dwa można również przeprowadzić w kategorii rozmaitości symplektycznych ; to rozwinięcie nazywa się sumą symplektyczną . ${\ displaystyle V}$

Obsługa lokalna

Podłączone suma jest lokalnym operacja na kolektorach, co oznacza, że zmienia summands tylko w okolicy z . Oznacza to, na przykład, że suma może być przeprowadzona na pojedynczej rozmaitości zawierającej dwie rozłączne kopie , z efektem sklejenia ze sobą. Na przykład, połączona suma dwóch kul w dwóch różnych punktach kuli daje dwa torusy. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$

Połączona suma węzłów

Istnieje ściśle powiązane pojęcie sumy dwóch węzłów. W rzeczywistości, jeśli postrzega się węzeł tylko jako jedną rozmaitość, to połączona suma dwóch węzłów jest po prostu ich połączoną sumą jako jednowymiarową rozmaitość. Jednak podstawową właściwością węzła nie jest jego różnorodna struktura (pod którą każdy węzeł jest odpowiednikiem koła), ale raczej jego osadzenie w otaczającej przestrzeni . Tak więc połączona suma węzłów ma bardziej złożoną definicję, która daje dobrze zdefiniowane osadzanie, jak poniżej.

Rozważ rozłączne płaskie rzuty każdego węzła.

Znajdź prostokąt na płaszczyźnie, w której jedna para boków jest łukami wzdłuż każdego węzła, ale poza tym jest oddzielona od węzłów.

Teraz połącz dwa węzły razem, usuwając te łuki z węzłów i dodając łuki, które tworzą drugą parę boków prostokąta.

Ta procedura skutkuje rzutem nowego węzła, połączonej sumy (lub sumy węzłów lub składu ) pierwotnych węzłów. Aby połączona suma węzłów była dobrze zdefiniowana, należy wziąć pod uwagę zorientowane węzły w 3 przestrzeniach. Aby zdefiniować połączoną sumę dla dwóch zorientowanych węzłów:

1. Rozważ planarny rzut każdego węzła i przypuśćmy, że te występy są rozłączne.
2. Znajdź prostokąt na płaszczyźnie, w której jedna para boków jest łukami wzdłuż każdego węzła, ale poza tym jest oddzielona od węzłów i tak, aby łuki węzłów po bokach prostokąta były zorientowane wokół granicy prostokąta w tym samym kierunku .
3. Teraz połącz dwa węzły razem, usuwając te łuki z węzłów i dodając łuki, które tworzą drugą parę boków prostokąta.

Wynikowy połączony węzeł sumaryczny dziedziczy orientację zgodną z orientacjami dwóch oryginalnych węzłów, a zorientowana klasa izotopu otoczenia wyniku jest dobrze określona, ​​w zależności tylko od zorientowanych klas izotopów otoczenia dwóch pierwotnych węzłów.

W ramach tej operacji zorientowane węzły w 3-przestrzeni tworzą przemienną monoidę z unikalną faktoryzacją liczby pierwszej , która pozwala zdefiniować, co rozumie się przez węzeł pierwszy . Dowód przemienności można zobaczyć, pozwalając jednemu wierzchołkowi skurczyć się, aż stanie się bardzo mały, a następnie przeciągając go wzdłuż drugiego węzła. Węzeł to jednostka. Dwa węzły trójliści są najprostszymi węzłami głównymi . Węzły o wyższych wymiarach mogą być dodawane przez splatanie sfer. ${\ displaystyle n}$

W trzech wymiarach węzeł nie może być zapisany jako suma dwóch nietrywialnych węzłów. Fakt ten wynika z addytywności rodzaju sęków ; inny dowód opiera się na nieskończonej konstrukcji, czasami nazywanej oszustwem Mazur . W wyższych wymiarach (z co najmniej trzema wymiarami) można uzyskać węzeł dodając dwa nietrywialne węzły.

Jeśli nie weźmie się pod uwagę orientacji węzłów, połączona suma operacji nie jest dobrze zdefiniowana na klasach izotopów (niezorientowanych) węzłów. Aby to zobaczyć, rozważ dwa nieodwracalne węzły K, L, które nie są równoważne (jako węzły niezorientowane); na przykład weźmy dwa węzły precla K = P (3,5,7) i L = P (3,5,9). Niech K ₊ i K _- będzie K z jego dwoma nierównymi orientacjami i niech L ₊ i L _- będzie L z jego dwoma nierównymi orientacjami. Istnieją cztery zorientowane powiązane sumy, które możemy utworzyć:

• A = K ₊ # L ₊
• B = K _- # L _-
• C = K ₊ # L _-
• D = K _- # L ₊

Wszystkie zorientowane klasy izotopów otoczenia tych czterech zorientowanych węzłów są różne. A kiedy weźmie się pod uwagę izotopię otoczenia węzłów bez względu na orientację, istnieją dwie odrębne klasy równoważności: { A ~ B } i { C ~ D }. Aby zobaczyć, że A i B są niezorientowanymi odpowiednikami, po prostu zauważ, że oba mogą być zbudowane z tej samej pary rozłącznych występów węzłów, jak powyżej, jedyną różnicą jest orientacja węzłów. Podobnie widać, że C i D mogą być zbudowane z tej samej pary rozłącznych występów węzłów.

Zobacz też

• Suma pasma
• Rozkład pierwotny (3-rozmaitości)
• Różnorodny rozkład
• Węzeł satelitarny

Dalsza lektura

• Robert Gompf : Nowa konstrukcja rozmaitości symplektycznych, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• William S. Massey, Kurs podstawowy w topologii algebraicznej , Springer-Verlag, 1991. ISBN   0-387-97430-X .

Bibliografia