Podnoszenie i obniżanie indeksów - Raising and lowering indices

W matematyce i fizyce matematycznej , podnoszenie i opuszczanie wskaźników są operacje na tensorów , które zmieniają swój typ . Podnoszenie i obniżanie indeksów jest formą manipulacji indeksem w wyrażeniach tensorowych.

Typ tensora

Mając pole tensorowe na rozmaitości M , w obecności formy nieosobliwej na M (takiej jak metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego ), można podnieść lub obniżyć indeksy, aby zmienić tensor typu ( a , b ) na a ( a + 1, b − 1) tensor (indeks podbicia) lub do a ( a − 1, b + 1) tensor (indeks dolny), gdzie notacja ( a , b ) została użyta do oznaczenia porządku tensorów a + b z a górne indeksy i b indeksy dolne.

Robi się to, mnożąc przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryki, a następnie skracając indeksy, co oznacza, że ​​dwa indeksy są równe, a następnie sumowane przez powtarzające się indeksy (stosując notację Einsteina ). Zobacz przykłady poniżej.

Wektory (tensory rzędu 1)

Pomnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny g ^ij i skrócenie daje inny tensor z górnym indeksem:

${\ Displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} \ ,,}$

Ten sam symbol bazowy jest zwykle używany do oznaczenia tego nowego tensora, a zmiana położenia indeksu jest zwykle rozumiana w tym kontekście jako odniesienie do tego nowego tensora i jest nazywana podnoszeniem indeksu , co byłoby napisane

${\ Displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} \,.}$

Podobnie pomnożenie przez tensor metryki kowariantnej i skrócenie obniża indeks (przy takim samym zrozumieniu ponownego użycia symbolu podstawowego):

${\ Displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} \,.}$

Forma g _ij nie musi być nieosobliwa, aby obniżyć indeks, ale aby uzyskać odwrotność (a tym samym podnieść indeks) musi być nieosobliwa.

Podnoszenie, a następnie obniżanie tego samego indeksu (lub odwrotnie) to operacje odwrotne, co znajduje odzwierciedlenie w odwrotności kowariancyjnych i kontrawariantnych tensorów metryki:

${\ Displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {\ delta ^ {i}} _ {k} = {\ delta _ {k}} ^ {i}}$

gdzie δ ⁱ _k jest deltą Kroneckera lub macierzą jednostkową . Ponieważ istnieją różne możliwości wyboru metryki z różnymi sygnaturami (znaki wzdłuż elementów przekątnych, tj. składowe tensorowe o równych indeksach), zwykle podaje się nazwę i sygnaturę, aby uniknąć nieporozumień. Różni autorzy używają różnych metryk i podpisów z różnych powodów.

Mnemonicznie (choć niesłusznie ) można by pomyśleć o indeksach „anulujących” między metryką a innym tensorem oraz o metryce podnoszącej lub zmniejszającej indeks. W powyższych przykładach takie „odwołania” i „kroki” są jak

${\ Displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {\ anuluj {g}} ^ {i {\ anuluj {j}}} A_ {\ anuluj {j}} = A ^ {i} \ ,,}$

Ponownie, chociaż jest to pomocny przewodnik, jest to tylko mnemoniczne, a nie właściwość tensorów, ponieważ indeksy nie znoszą się jak w równaniach, jest to tylko koncepcja notacji. Wyniki są kontynuowane poniżej, dla tensorów wyższego rzędu (tj. większej liczby indeksów).

Przy podnoszeniu indeksów wielkości w czasoprzestrzeni pomaga rozłożyć sumy na „składniki czasopodobne” (gdzie indeksy są zerowe) i „składniki przestrzennopodobne” (gdzie indeksami są 1, 2, 3, reprezentowane umownie za pomocą liter łacińskich).

Przykład z czasoprzestrzeni Minkowskiego

Kowariantna pozycja 4 jest dana przez

${\ Displaystyle X_ {\ mu} = (-ct, x, y, z)}$

z komponentami:

${\displaystyle X_{0}=-ct\quad X_{1}=x\quad X_{2}=y\quad X_{3}=z}$

(gdzie x , y , z są zwykłymi współrzędnymi kartezjańskimi ), a tensor metryczny Minkowskiego z podpisem (− + + +) jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu } = \ eta ^ {\ mu \ nu } = {\ zacznij {pmatrix} -1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$

w komponentach:

${\ Displaystyle \ eta _ {00} = -1, \ quad \ eta _ {i0} = \ eta _ {0 i} = 0, \ quad \ eta _ {ij} = \ delta _ {ij} \ (i ,j\neq 0).}$

Aby podnieść indeks, pomnóż przez tensor i skróć:

${\ Displaystyle X ^ {\ lambda} = \ eta ^ {\ lambda \ mu} X_ {\ mu} = \ eta ^ {\ lambda 0} X_ {0}+ \ eta ^ {\ lambda i} X_ {i} }$

wtedy dla λ = 0 :

${\ Displaystyle X ^ {0} = \ eta ^ {00} X_ {0} + \ eta ^ {0i} X_ {i} = - X_ {0}}$

a dla λ = j = 1, 2, 3 :

${\ Displaystyle X ^ {j} = \ eta ^ {j0} X_ {0}+ \ eta ^ {ji} X_ {i} = \ delta ^ {ji} X_ {i} = X_ {j} \ ,.}$

Tak więc podniesiona indeksem kontrawariantna 4 pozycja to:

${\ Displaystyle X ^ {\ mu} = (ct, x, y, z) \,.}$

Tensory (wyższego rzędu)

Zamówienie 2

W przypadku tensora rzędu 2 dwukrotne pomnożenie przez kontrawariantny tensor metryki i skrócenie w różnych indeksach powoduje wzrost każdego indeksu:

${\ Displaystyle A ^ {\ alfa \ beta} = g ^ {\ alfa \ gamma} g ^ {\ beta \ delta} A_ {\ gamma \ delta}}$

a dwukrotne pomnożenie przez kowariantny tensor metryki i skurczenie w różnych indeksach obniża każdy indeks:

${\ Displaystyle A_ {\ alfa \ beta} = g_ {\ alfa \ gamma} g_ {\ beta \ delta} A ^ {\ gamma \ delta}}$

Przykład z klasycznego elektromagnetyzmu i szczególnej teorii względności

Kontrawariantny napinacz elektromagnetyczne w (+ - - -) podpis jest przez

${\ Displaystyle F ^ {\ alfa \ beta} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i - {\ Frac {E_ {x}} {c}} i - {\ Frac {E_ {y}} {c}} i - {\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{ c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

w komponentach:

${\ Displaystyle F ^ {0i} = - F ^ {i0} = - {\ Frac {E ^ {i}} {c}} \ quad F ^ {ij} = - \ varepsilon ^ {ijk} B_ {k }}$

Aby otrzymać tensor kowariantny F _αβ , pomnóż przez tensor metryczny i _skróć :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F_ {\ alfa \ beta} i = \ eta _ {\ alfa \ gamma} \ eta _ {\ beta \ delta} F ^ {\ gamma \ delta} \ \ & = \ eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0} \eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{wyrównany}}}$

a ponieważ F ⁰⁰ = 0 i F ^{0 i} = − F ^{i 0} , zmniejsza się to do

${\ Displaystyle F_ {\ alfa \ beta} = \ lewo (\ eta _ {\ alfa i} \ eta _ {\ beta 0} - \ eta _ {\ alfa 0} \ eta _ {\ beta i} \ prawej) F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

Teraz dla α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F_ {0 k} i = \ lewo (\ eta _ {0i} \ eta _ {k0} - \ eta _ {00} \ eta _ {ki} \ po prawej) F ^ {i0 }+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+ 0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{wyrównany}}}$

i przez antysymetrię, dla α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\ Displaystyle F_ {k0} = - F ^ {k0}}$

następnie ostatecznie dla a = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} F_ {kl} & = \ lewo (\ eta _ {ki} \ eta _ {l0} - \ eta _ {k0} \ eta _ {li} \ po prawej) F ^ {i0 }+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl }\\\end{wyrównany}}}$

Dolny indeksowany tensor (kowariantny) jest wtedy:

${\ Displaystyle F_ {\ alfa \ beta} = {\ zacząć {pmatrix} 0 i {\ Frac {E_ {x}} {c}} i {\ Frac {E_ {y}} {c}} i {\ Frac { E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c} }&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Zamówienie nr

Gdy przestrzeń wektorowa jest wyposażona w iloczyn skalarny (lub metrykę, jak się ją często nazywa w tym kontekście), istnieją operacje, które przekształcają indeks kontrawariantny (górny) na indeks kowariantny (dolny) i odwrotnie. Sama metryka jest (symetrycznym) (0,2)-tensorem, dlatego możliwe jest skrócenie górnego indeksu tensora z jednym z dolnych indeksów metryki. Daje to nowy tensor z taką samą strukturą indeksu jak poprzedni, ale z indeksem dolnym w pozycji skróconego indeksu górnego. Ta operacja jest dość graficznie znana jako obniżanie indeksu. I odwrotnie, metryka ma odwrotność, którą jest (2,0)-tensor. Ta odwrotna metryka może być skrócona z niższym indeksem, aby uzyskać wyższy indeks. Ta operacja nazywa się podnoszeniem indeksu.

Dla tensora rzędu n indeksy są podnoszone o (zgodne z powyższym):

${\ Displaystyle g ^ {j_ {1}i_ {1}} g ^ {j_ {2}i_ {2}} \ cdots g ^ {j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2 }\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

i obniżone o:

${\ Displaystyle g_ {j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\ cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}}$

a dla tensora mieszanego:

${\displaystyle g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}} g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}_{j_{ 1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}} }$

Zobacz też

• rachunek Ricciego
• notacja Einsteina
• Tensor metryczny
• Izomorfizm muzyczny
• Podwójna przestrzeń § Produkty dwuliniowe i podwójne przestrzenie

Bibliografia