Reprezentacja grupy Lie - Representation of a Lie group

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Lie algebry
Półprosta algebra Lie
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstw w fizyce
Naukowcy Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup Lie
v t mi

W matematyce i fizyce teoretycznej , A przedstawia grupę Lie liniowa działanie z grupy Lie w przestrzeni wektorowej . Równoważnie reprezentacja jest gładkim homomorfizmem grupy do grupy operatorów odwracalnych w przestrzeni wektorowej. Reprezentacje odgrywają ważną rolę w badaniu ciągłej symetrii . Wiele wiadomo na temat takich reprezentacji, a podstawowym narzędziem ich badań jest użycie odpowiadających im „nieskończenie małych” reprezentacji algebr Liego .

Reprezentacje skończeniowymiarowe

Reprezentacje

Złożona reprezentacja grupy to działanie grupy na skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej nad polem . Reprezentacja grupy Liego G , działająca na n- wymiarowej przestrzeni wektorowej V powyżej, jest więc gładkim homomorfizmem grupowym${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ nazwa operatora {GL} (V)}$ ,

gdzie jest ogólna liniowa grupa wszystkich odwracalnych przekształceń liniowych pod ich składem. Ponieważ wszystkie n- wymiarowe przestrzenie są izomorficzne, grupę można utożsamić z grupą odwracalnych, złożonych macierzy, zwanych ogólnie Gładkością mapy, można uznać za techniczność, w której każdy ciągły homomorfizm będzie automatycznie gładki. ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (V)}$${\ displaystyle n \ razy n}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C}).}$${\ displaystyle \ Pi}$

Możemy alternatywnie opisywać reprezentację grupy Lie jako liniowej akcji z na przestrzeni wektorowej . W notacji zapisalibyśmy wtedy zamiast sposobu, w jaki element grupowy działa na wektorze . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle g \ cdot v}$${\ displaystyle \ Pi (g) v}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle v \ in V}$

Typowym przykładem, w którym reprezentacje pojawiają się w fizyce, byłoby badanie liniowego równania różniczkowego cząstkowego o grupie symetrii . Chociaż poszczególne rozwiązania równania mogą nie być niezmienne pod wpływem działania , przestrzeń wszystkich rozwiązań jest niezmienna pod działaniem . W ten sposób stanowi reprezentację . Zobacz przykład SO (3), omówiony poniżej. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$

Podstawowe definicje

Jeśli homomorfizm jest iniekcyjny (tj. Monomorfizm ), mówi się, że reprezentacja jest wierna . ${\ displaystyle \ Pi}$

Jeśli zostanie wybrana podstawa złożonej przestrzeni wektorowej V , reprezentację można wyrazić jako homomorfizm w ogólnej grupie liniowej . Jest to znane jako reprezentacja macierzowa . Dwie reprezentacje G przestrzeniami wektora V , W są równoważne , jeśli ma te same reprezentacji macierzy względem pewnych wyborów podstaw V i W . ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n; \ mathbb {C})}$

Biorąc pod uwagę reprezentację , mówimy, że podprzestrzeń W z V jest niezmienną podprzestrzenią, jeśli dla wszystkich i . Mówi się, że reprezentacja jest nieredukowalna, jeśli jedynymi niezmiennymi podprzestrzeniami V są przestrzeń zerowa i samo V. W przypadku pewnych typów grup Liego, a mianowicie grup zwartych i półprostych, każda skończona-wymiarowa reprezentacja rozkłada się jako bezpośrednia suma reprezentacji nieredukowalnych, właściwość znana jako całkowita redukowalność. Dla takich grup typowym celem teorii reprezentacji jest klasyfikacja wszystkich skończonych wymiarowych nieredukowalnych reprezentacji danej grupy, aż do izomorfizmu. (Zobacz sekcję Klasyfikacja poniżej). ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ nazwa operatora {GL} (V)}$${\ Displaystyle \ Pi (g) w \ w W}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle w \ in W}$

Jednostkowa reprezentacja w skończonej wymiarowej wewnętrznej przestrzeni iloczynu jest definiowana w ten sam sposób, z wyjątkiem tego, że jest to wymagane do odwzorowania na grupę operatorów unitarnych . Jeśli G jest zwartą grupą Liego , każda skończona-wymiarowa reprezentacja jest równoważna jednostkowej. ${\ displaystyle \ Pi}$

Reprezentacje Lie algebra

Każda reprezentacja grupy Liego G daje początek reprezentacji jej algebry Liego; ta korespondencja została szczegółowo omówiona w kolejnych rozdziałach. Zobacz reprezentację algebr Liego dla teorii algebry Liego.

Przykład: grupa rotacyjna SO (3)

W mechanice kwantowej, czas niezależne równanie Schrödingera , odgrywa ważną rolę. W przypadku trójwymiarowego, jeśli ma symetrię obrotową, to przestrzeń rozwiązań będzie niezmienna pod działaniem SO (3). Zatem - dla każdej ustalonej wartości - będzie stanowić reprezentację SO (3), która jest typowo skończona. Próbując rozwiązać , warto wiedzieć, jak wyglądają wszystkie możliwe skończone-wymiarowe reprezentacje SO (3). Teoria reprezentacji SO (3) odgrywa kluczową rolę np. W matematycznej analizie atomu wodoru . ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle V_ {E}}$${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$${\ displaystyle V_ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$

Każdy standardowy podręcznik mechaniki kwantowej zawiera analizę, która zasadniczo klasyfikuje skończone wymiarowe nieredukowalne reprezentacje SO (3) za pomocą algebry Liego. (Relacje komutacyjne między operatorami momentu pędu są po prostu relacjami dla algebry Liego z SO (3).) Jedną z subtelności tej analizy jest to, że reprezentacje grupy i algebry Liego nie są w zgodności jeden do jednego, punkt, który ma kluczowe znaczenie dla zrozumienia różnicy między spinem całkowitoliczbowym a spinem półcałkowitym . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3)}$

Zwyczajne reprezentacje

Grupa rotacyjna SO (3) jest zwartą grupą Liego, a zatem każda skończona-wymiarowa reprezentacja SO (3) rozkłada się jako bezpośrednia suma nieredukowalnych reprezentacji. Grupa SO (3) ma jedną nieredukowalną reprezentację w każdym nieparzystym wymiarze. Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej nieredukowalna reprezentacja wymiaru może być zrealizowana jako przestrzeń jednorodnych wielomianów harmonicznych o stopniu . Tutaj SO (3) działa w zwykły sposób, w jaki rotacje oddziałują na funkcje : ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2k + 1}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle (\ Pi (R) f) (x) = f (R ^ {- 1} x) \ quad R \ in \ operatorname {SO} (3).}$

Ograniczeniem do sfery jednostkowej elementów są sferyczne harmoniczne stopnia . ${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle V_ {k}}$${\ displaystyle k}$

Jeśli, powiedzmy , wszystkie wielomiany, które są jednorodne stopnia, to harmoniczna i otrzymujemy trójwymiarowy przestrzeń rozpięta przez wielomianów liniowych , oraz . Jeżeli przestrzeń jest łączony przez wielomianów , , , , i . ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle yz}$${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$${\ Displaystyle x ^ {2} -z ^ {2}}$

Jak wspomniano powyżej, skończone wymiarowe reprezentacje SO (3) pojawiają się naturalnie podczas badania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla potencjału radialnego, takiego jak atom wodoru , jako odzwierciedlenie symetrii obrotowej problemu. (Zobacz rolę odgrywaną przez sferyczne harmoniczne w matematycznej analizie wodoru ).

Reprezentacje rzutowe

Jeśli spojrzymy na algebrę Liego z SO (3), ta algebra Liego jest izomorficzna z algebrą Liego z SU (2). Zgodnie z teorią reprezentacji istnieje zatem jedna nieredukowalna reprezentacja w każdym wymiarze. Reprezentacje parzysto-wymiarowe nie odpowiadają jednak reprezentacjom grupy SO (3). Te tak zwane reprezentacje „spinu ułamkowego” odpowiadają jednak reprezentacjom rzutowym SO (3). Reprezentacje te pojawiają się w mechanice kwantowej cząstek o spinie frakcyjnym, takich jak elektron. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3)}$

Operacje na reprezentacjach

W tej sekcji opiszemy trzy podstawowe operacje na reprezentacjach. Zobacz także odpowiednie konstrukcje do reprezentacji algebry Liego.

Sumy bezpośrednie

Jeśli mamy dwie reprezentacje grupy , a następnie bezpośrednia suma miałaby jako bazową przestrzeń wektorową, z działaniem grupy podanym przez ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$${\ Displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$${\ Displaystyle V_ {1} \ oplus V_ {2}}$

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1}, v_ {2}) = (\ pi _ {1} (g) v_ {1}, \ pi _ {2} (g) v_ {2}), }$

dla wszystkich i . ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1},}$ ${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$${\ displaystyle g \ in G}$

Pewne typy grup Liego - w szczególności zwarte grupy Liego - mają tę właściwość, że każda skończona-wymiarowa reprezentacja jest izomorficzna z bezpośrednią sumą nieredukowalnych reprezentacji. W takich przypadkach klasyfikacja reprezentacji sprowadza się do klasyfikacji reprezentacji nieredukowalnych. Zobacz twierdzenie Weyla o całkowitej redukowalności .

Produkty tensorowe reprezentacji

Jeśli mamy dwie reprezentacje grupy , a następnie iloczyn tensorowy reprezentacji miałby przestrzeń wektorową iloczynu tensorowego jako podstawową przestrzeń wektorową, z działaniem jednoznacznie określonym przez założenie, że ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow GL (V_ {1})}$${\ Displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow GL (V_ {2})}$${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Pi (g) (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (\ Pi _ {1} (g) v_ {1}) \ otimes (\ Pi _ {2} (g) v_ { 2})}$

dla wszystkich i . To znaczy . ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$${\ Displaystyle \ Pi (g) = \ Pi _ {1} (g) \ otimes \ Pi _ {2} (g)}$

Reprezentacja algebry Liego związana z reprezentacją iloczynu tensorowego jest określona wzorem: ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle \ pi (X) = \ pi _ {1} (X) \ otimes ja + ja \ otimes \ pi _ {2} (X).}$

Iloczyn tensorowy dwóch nieredukowalnych reprezentacji zwykle nie jest nieredukowalny; Podstawowym problemem teorii reprezentacji jest zatem rozłożenie iloczynów tensorowych nieredukowalnych reprezentacji jako bezpośredniej sumy nieredukowalnych podprzestrzeni. W literaturze fizyki problem ten nosi nazwę „dodawania momentu pędu” lub „ teorii Clebscha-Gordana ”.

Podwójne reprezentacje

Niech będzie grupą Liego i będzie reprezentacją G. Niech będzie przestrzenią dualną, czyli przestrzenią funkcjonałów liniowych . Następnie możemy zdefiniować reprezentację za pomocą wzoru ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow GL (V)}$${\ displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ Pi ^ {*}: G \ rightarrow GL (V ^ {*})}$

${\ Displaystyle \ Pi ^ {*} (g) = (\ Pi (g ^ {- 1})) ^ {\ operatorname {tr}},}$

gdzie dla dowolnego operatora operator transpozycji jest zdefiniowany jako operator „kompozycji z ”: ${\ Displaystyle A: V \ rightarrow V}$${\ Displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}: V ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle (A ^ {\ operatorname {tr}} \ phi) (v) = \ phi (Av).}$

(Jeśli pracujemy w bazie, jest to zwykła transpozycja macierzy ). Odwrotność w definicji jest potrzebna, aby zapewnić, że jest to faktycznie reprezentacja w świetle tożsamości . ${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$${\ displaystyle \ Pi ^ {*}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}}$

Dwoistość nieredukowalnej reprezentacji jest zawsze nieredukowalna, ale może, ale nie musi, być izomorficzna z oryginalną reprezentacją. Na przykład w przypadku grupy SU (3) nieredukowalne reprezentacje są oznaczone parą nieujemnych liczb całkowitych. Podwójna reprezentacja skojarzona z reprezentacją jest skojarzona z . ${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$${\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$${\ displaystyle (m_ {2}, m_ {1})}$

Grupa Lie a reprezentacje algebry Liego

Przegląd

W wielu przypadkach wygodnie jest studiować reprezentacje grupy Liego, badając reprezentacje powiązanej algebry Liego. Ogólnie jednak nie każda reprezentacja algebry Liego pochodzi z reprezentacji grupy. Fakt ten na przykład leży u podstaw rozróżnienia między spinem całkowitoliczbowym a spinem połowicznym całkowitym w mechanice kwantowej. Z drugiej strony, jeśli G jest po prostu połączoną grupą, to twierdzenie mówi, że w rzeczywistości otrzymujemy zgodność jeden do jednego między reprezentacjami grupy i algebry Liego.

Niech G będzie grupą Lie Lie z algebry , i zakładamy, że reprezentacja z jest w zasięgu ręki. Korespondencji Lie mogą być stosowane w celu uzyskania reprezentacji grup podłączonego składnika G . Z grubsza mówiąc, uzyskuje się to poprzez przyjęcie wykładniczej macierzy macierzy reprezentacji algebry Liego. Subtelność pojawia się, jeśli G nie jest po prostu połączony . Może to spowodować projekcyjnych reprezentacji lub w żargonie fizyki, z wieloma wartościami reprezentacji G . Są to rzeczywiście reprezentacje grupy uniwersalnej przewodnim z G . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Wyniki te zostaną dokładniej wyjaśnione poniżej.

Korespondencja Lie daje wyniki tylko dla połączonego składnika grup, a zatem inne składniki pełnej grupy są traktowane osobno, podając przedstawicieli dla macierzy reprezentujących te składniki, po jednym dla każdego składnika. Te formy (przedstawicieli z) zerowego grupa homotopią z G . Na przykład w przypadku czteroskładnikowej grupy Lorentza przedstawiciele odwrócenia przestrzeni i odwrócenia czasu muszą być wprowadzeni ręcznie . Dalsze ilustracje zostaną zaczerpnięte z teorii reprezentacji grupy Lorentza poniżej.

Mapowanie wykładnicze

Sophus Lie , twórca teorii Lie . Teoria rozmaitości nie została odkryta w czasach Liego, więc pracował on lokalnie z podzbiorami Struktury, którą dziś nazwalibyśmy grupą lokalną . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Jeśli jest grupą Liego z algebrą Liego , to mamy mapę wykładniczą od do , zapisaną jako ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle X \ mapsto e ^ {X}, \ quad X \ in {\ mathfrak {g}}.}$

Jeśli jest to grupa Liego macierzy, wyrażenie można obliczyć za pomocą zwykłych szeregów potęg wykładniczych. W żadnej z grup Lie istnieją dzielnice o tożsamości w i z pochodzenia z własności, że każdy w można zapisać jednoznacznie jako z . Oznacza to, że mapa wykładnicza ma odwrotność lokalną . W większości grup jest to tylko lokalne; oznacza to, że mapa wykładnicza zwykle nie jest ani jeden do jednego, ani na. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle g = e ^ {X}}$${\ displaystyle X \ in V}$

Reprezentacje algebry Lie z reprezentacji grupowych

Zawsze jest możliwe przejście od reprezentacji grupy Liego G do reprezentacji jej algebry Liego Jeśli Π: G → GL ( V ) jest reprezentacją grupową dla pewnej przestrzeni wektorowej V , to jej wypychanie (różniczkowe) przy tożsamości, lub mapa Lie , jest reprezentacją algebry Lie. Jest jawnie obliczany przy użyciu ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ do {\ text {koniec}} V}$

${\ Displaystyle \ pi (X) = \ lewo. {\ Frac {d} {dt}} \ Pi (e ^ {tX}) \ prawo | _ {t = 0} \ quad X \ in {\ mathfrak { sol}}.}$

( G6 )

Podstawowa właściwość dotycząca i obejmuje mapę wykładniczą: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ Pi (e ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}.}$

Pytanie, które chcemy zbadać, dotyczy tego, czy każda reprezentacja wywodzi się w ten sposób z reprezentacji grupy . Jak zobaczymy, dzieje się tak, gdy jest po prostu podłączony. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Reprezentacje grupowe z reprezentacji algebry Liego

Główny wynik tej sekcji jest następujący:

Twierdzenie : Jeśli jest po prostu podłączony, a następnie każda reprezentacja algebry Lie of pochodzi z reprezentacji o sobie. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Z tego łatwo wyciągamy następujące wnioski:

Następstwem : Jeśli jest podłączony, ale nie po prostu połączone, każda reprezentacja z pochodzi z reprezentacji z , uniwersalną osłoną . Jeśli jest nieredukowalne, a następnie opada do projekcyjnej reprezentacji z . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Reprezentacja rzutowa to taka, w której każda jest zdefiniowana tylko do pomnożenia przez stałą. W fizyce kwantowej naturalne jest dopuszczanie reprezentacji rzutowych oprócz zwykłych, ponieważ stany są tak naprawdę definiowane tylko do stałej. (To znaczy, jeśli jest wektorem w przestrzeni Hilberta kwantowej, a następnie przedstawia ten sam stan fizyczny dla dowolnej stałej ). Każda skończenie wymiarowa rzutowa reprezentacja podłączonego grupy Lie pochodzi ze zwykłej reprezentacji powszechnego ubezpieczenia od . I odwrotnie, jak omówimy poniżej, każda nieredukowalna zwykła reprezentacja funkcji sprowadza się do projekcyjnej reprezentacji . W literaturze fizyki reprezentacje rzutowe są często opisywane jako reprezentacje wielowartościowe (tj. Każda z nich nie ma jednej wartości, ale całą rodzinę wartości). Zjawisko to jest ważne w badaniach ułamkowego spinu w mechanice kwantowej. ${\ Displaystyle \ Pi (g) \, g \ w G,}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle c \ psi}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi (g)}$

Tutaj V jest skończeniowymiarową przestrzenią wektorową, GL ( V ) jest zbiorem wszystkich odwracalnych przekształceń liniowych na V i jest jego algebrą Liego. Mapy π i Π to odpowiednio algebra Liego i reprezentacje grup, a exp to odwzorowanie wykładnicze. Diagram przechodzi do znaku tylko wtedy, gdy Π jest rzutowe. ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$

Przedstawiamy teraz dowód głównych wyników powyżej. Załóżmy, że jest przedstawieniem na przestrzeni wektorowej V . Jeśli ma być skojarzona reprezentacja grupy Liego , musi ona spełniać relację wykładniczą z poprzedniej podsekcji. Teraz, w świetle lokalnej odwracalności wykładniczej, możemy zdefiniować mapę z sąsiedztwa tożsamości za pomocą tej relacji: ${\ Displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ Pi (e ^ {X}) = e ^ {\ pi (X)}, \ quad g = e ^ {X} \ w U.}$

Kluczowe pytanie brzmi zatem: czy ta lokalnie zdefiniowana mapa jest „lokalnym homomorfizmem”? (To pytanie miałoby zastosowanie nawet w szczególnym przypadku, gdy mapowanie wykładnicze jest globalnie jeden do jednego i na; w takim przypadku byłaby to mapa zdefiniowana globalnie, ale nie jest oczywiste, dlaczego miałby być homomorfizm). to pytanie brzmi: tak: jest lokalnym homomorfizmem i można to ustalić za pomocą wzoru Bakera – Campbella – Hausdorffa . ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$

Jeśli jest połączony, to każdy element jest co najmniej iloczynem wykładników elementów . W ten sposób możemy wstępnie zdefiniować globalnie w następujący sposób. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pi (g = e ^ {X}) & \ equiv e ^ {\ pi (X)}, && X \ in {\ mathfrak {g}}, \ quad g = e ^ {X} \ in \ operatorname {im} (\ exp), \\\ Pi (g = g_ {1} g_ {2} \ cdots g_ {n}) & \ equiv \ Pi (g_ {1}) \ Pi (g_ {2}) \ cdots \ Pi (g_ {n}), && g \ notin \ operatorname {im} (\ exp), \ quad g_ {1}, g_ {2}, \ ldots, g_ {n} \ in \ operatorname {im} (\ exp). \ end {aligned}}}$

( G2 )

Należy jednak zauważyć, że reprezentacja danego elementu grupy jako iloczyn wykładników jest bardzo daleka od unikalności, więc nie jest jasne, czy jest właściwie dobrze zdefiniowana. ${\ displaystyle \ Pi}$

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy jest dobrze zdefiniowana, łączymy każdy element grupy z tożsamością za pomocą ciągłej ścieżki. Można wtedy zdefiniować wzdłuż ścieżki i wykazać, że wartość pozostaje niezmieniona przy ciągłym odkształcaniu ścieżki ze stałymi punktami końcowymi. Jeśli jest po prostu połączona, każda ścieżka zaczynająca się od tożsamości i kończąca się na może być nieustannie deformowana w każdą inną taką ścieżkę, co pokazuje, że jest ona całkowicie niezależna od wyboru ścieżki. Biorąc pod uwagę, że początkowa definicja bliskości tożsamości była homomorfizmem lokalnym, nietrudno jest wykazać, że mapa globalnie definiowana jest również spełniającym homomorfizmem (G2) . ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi (g)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Pi (g)}$${\ displaystyle \ Pi}$

Jeśli nie jest po prostu podłączyć, możemy zastosować powyższą procedurę do powszechnego ubezpieczenia od . Niech będzie mapą pokrywającą. Jeśli zdarzy się, że jądro z zawiera jądro z , to schodzi do reprezentacji oryginalnej grupy . Nawet jeśli tak nie jest, zauważ, że jądro programu jest dyskretną normalną podgrupą , która znajduje się zatem w środku . Tak więc, jeśli jest nieredukowalny, lemat Schura implikuje, że jądro woli działa przez skalarne wielokrotności tożsamości. W ten sposób schodzi do reprezentacji rzutowej , to znaczy takiej, która jest określona tylko modulo skalarnymi wielokrotnościami tożsamości. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p: {\ tilde {G}} \ rightarrow G}$${\ Displaystyle \ Pi: {\ tilde {G}} \ rightarrow \ nazwa operatora {GL} (V)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$

Obrazowy obraz tego, jak uniwersalna grupa pokrywająca zawiera wszystkie takie klasy homotopii, a jej techniczna definicja (jako zbiór i jako grupa) jest podana w widoku geometrycznym .

Na przykład, gdy jest to wyspecjalizowane w podwójnie połączonym SO (3, 1) ⁺ , to uniwersalna grupa pokrywająca jest taka i to , czy jej odpowiadająca jej reprezentacja jest wierna, decyduje o tym, czy Π jest rzutowe . ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$

Klasyfikacja w kompaktowej obudowie

Jeśli G jest podłączony zwarta grupa Lie, jej reprezentacje skończenie wymiarowej można rozłożyć jako bezpośrednich kwot z niesprowadzalnych przedstawień . Nieredukowalne są klasyfikowane według „ twierdzenia o największej wadze ”. Podajemy tutaj krótki opis tej teorii; Więcej szczegółów można znaleźć w artykułach na temat teorii reprezentacji połączonej zwartej grupy Liego oraz teorii równoległej klasyfikującej reprezentacje półprostych algebr Liego .

Niech T będzie maksymalny torus w G . Według lematu Schura nieredukowalne reprezentacje T są jednowymiarowe. Reprezentacje te można łatwo sklasyfikować i są one oznaczone określonymi „analitycznie integralnymi elementami” lub „wagami”. Jeśli jest nieredukowalną reprezentacją G , ograniczenie do T zwykle nie będzie nieredukowalne, ale ulegnie rozkładowi jako bezpośrednia suma nieredukowalnych reprezentacji T , oznaczonych odpowiednimi wagami. (Ta sama waga może wystąpić więcej niż jeden raz.) W przypadku ustalonej wagi można określić jedną z wag jako „najwyższą”, a reprezentacje są następnie klasyfikowane według tej najwyższej wagi. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Ważnym aspektem teorii reprezentacji jest związana z nią teoria postaci . Tutaj dla reprezentacji z G , postać jest funkcja ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ chi _ {G}: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$

podane przez

${\ Displaystyle \ chi _ {G} (g) = \ operatorname {ślad} (\ Sigma (g)).}$

Dwie reprezentacje o tym samym znaku okazują się izomorficzne. Ponadto wzór postaci Weyla daje niezwykłą formułę charakteru przedstawienia pod względem jego największej wagi. Formuła ta nie tylko dostarcza wielu użytecznych informacji o reprezentacji, ale odgrywa również kluczową rolę w dowodzeniu twierdzenia o największej wadze.

Jednostkowe reprezentacje w przestrzeniach Hilberta

Niech V będzie złożona przestrzeń Hilberta, który może być nieskończony wymiarów, i niech oznaczają grupę jednostkowe operatorów na V . Jednolitą reprezentację z grupy Lie G na V, to homomorfizm grupy z właściwości, dla każdego stałego , mapa ${\ Displaystyle U (V)}$ ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow U (V)}$${\ displaystyle v \ in V}$

${\ Displaystyle g \ mapsto \ Pi (g) v}$

ciągła mapa G na V .

Skończenie wymiarowe jednostkowe reprezentacje

Jeżeli przestrzeń Hilberta V jest skończenie wymiarowa, istnieje skojarzony reprezentacji algebry Lie z . Jeżeli jest podłączony, to przedstawienie od jest jednolita tylko wtedy, gdy jest skośna-samosprzężone do siebie . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ pi (X)}$${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$

Jeśli jest zwarty , to każda reprezentacja z na przestrzeni wektorowej skończenie wymiarowa V jest „unitarizable”, co oznacza, że możliwe jest, aby wybrać produkt na wewnętrzną V tak, że każdy jest jednolita. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Pi (g) \, g \ w G}$

Nieskończenie wymiarowe jednolite reprezentacje

Jeśli pozwolimy, by przestrzeń Hilberta V była nieskończenie wymiarowa, badanie reprezentacji jednostkowych obejmuje szereg interesujących cech, które nie występują w przypadku skończonych wymiarów. Na przykład konstrukcja odpowiedniej reprezentacji algebry Liego staje się technicznie trudna. Jednym z ustawień, w którym reprezentacja algebry Liego jest dobrze rozumiana, są półproste (lub redukcyjne) grupy Liego, w których powiązana reprezentacja algebry Liego tworzy (g, K) -moduł . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Przykłady reprezentacji unitarnych pojawiają się w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola, ale także w analizie Fouriera, jak pokazano w poniższym przykładzie. Pozwól , niech kompleks przestrzeń Hilberta V będzie . Reprezentację definiujemy przez ${\ displaystyle G = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ psi: \ mathbb {R} \ rightarrow U (L ^ {2} (\ mathbb {R}))}$

${\ Displaystyle [\ psi (a) (f)] (x) = f (xa).}$

Oto kilka ważnych przykładów, w których przeanalizowano jednolite reprezentacje grupy Liego.

• Twierdzenie Stone – von Neumanna można rozumieć jako klasyfikację nieredukowalnych, unitarnych reprezentacji grupy Heisenberga .
• Klasyfikacja Wignera dotycząca reprezentacji grupy Poincaré odgrywa ważną koncepcyjną rolę w kwantowej teorii pola, pokazując, jak można zrozumieć masę i spin cząstek w kategoriach teorii grup.
• Teorii reprezentacji SL (2, R), został opracowany przez V. BARGMANN i służy jako prototyp badania jednostkowych reprezentacji niezagęszczonych półprosty grup Lie.

Reprezentacje rzutowe

W fizyce kwantowej często interesują się rzutowe, unitarne reprezentacje grupy Liego . Powodem tego zainteresowania jest to, że stany układu kwantowego są reprezentowane przez wektory w przestrzeni Hilberta - ale przy założeniu, że dwa stany różniące się stałą są w rzeczywistości tym samym stanem fizycznym. Symetrie przestrzeni Hilberta są następnie opisywane przez operatory unitarne, ale operator unitarny będący wielokrotnością tożsamości nie zmienia stanu fizycznego systemu. A zatem interesują nas nie zwykłe reprezentacje unitarne - to znaczy homomorfizmy do grupy unitarnej - ale raczej projekcyjne reprezentacje unitarne - to znaczy homomorfizmy w projekcyjną grupę unitarną. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbf {H}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle U (\ mathbf {H})}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle PU (\ mathbf {H}): = U (\ mathbf {H}) / \ {e ^ {i \ theta} ja \}.}$

Inaczej mówiąc, dla reprezentacji rzutowej konstruujemy rodzinę operatorów unitarnych , w których rozumie się, że zmiana o stałą o wartości bezwzględnej 1 jest liczona jako „ten sam” operator. Operatory są następnie zobowiązane do spełnienia właściwości homomorfizmu do stałej : ${\ Displaystyle \ rho (g), \, \, g \ w G}$${\ displaystyle \ rho (g)}$${\ displaystyle \ rho (g)}$

${\ Displaystyle \ rho (g) \ rho (h) = e ^ {i \ theta _ {g, h}} \ rho (gh).}$

Omówiliśmy już nieredukowalne projekcyjne jednolite reprezentacje grupy rotacyjnej SO (3) powyżej; rozważenie reprezentacji rzutowych pozwala na spin ułamkowy oprócz spinu całkowitego.

Twierdzenie Bargmanna stwierdza, że ​​dla pewnych typów grup Liego nieredukowalne projekcyjne unitarne reprezentacje są w korespondencji jeden do jednego ze zwykłymi, unitarnymi reprezentacjami uniwersalnego pokrycia . Ważnymi przykładami, w których ma zastosowanie twierdzenie Bargmanna, są SO (3) (jak właśnie wspomniano) i grupa Poincarégo . Ten ostatni przypadek jest ważny dla klasyfikacji Wignera reprezentacji rzutowych grupy Poincarégo, z zastosowaniami do kwantowej teorii pola. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Jednym z przykładów, gdzie twierdzenie Bargmanna nie ma zastosowania, jest grupa . Zbiór przekładów w pozycji i pędu tworzy projekcyjną, jednolitą reprezentację, ale nie pochodzi ona ze zwykłej reprezentacji uniwersalnej osłony - która jest po prostu sobą. W tym przypadku, aby otrzymać zwykłą reprezentację, należy przejść do grupy Heisenberga , która jest jednowymiarowym centralnym rozszerzeniem . (Zobacz dyskusję tutaj .) ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Przypadek przemienny

Jeśli jest przemienną grupą Liego , to każda nieredukowalna unitarna reprezentacja w złożonych przestrzeniach wektorowych jest jednowymiarowa. (Twierdzenie to wypływa z lematu Schura i utrzymuje się, nawet jeśli z wyprzedzeniem nie zakłada się, że reprezentacje są skończone). Zatem nieredukowalne jednostkowe reprezentacje są po prostu ciągłymi homomorfizmami w jednostkowej grupie koła, U (1). Na przykład, jeśli nieredukowalne jednolite reprezentacje mają postać ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ Pi (x) = [e ^ {iax}]}$ ,

dla jakiejś liczby rzeczywistej . ${\ displaystyle a}$

Zobacz także dualność Pontryagina dla tego przypadku.

Zobacz też

• Teoria reprezentacji połączonych grup zwartych
• Reprezentacja algebry Lie
• Reprezentacja rzutowa
• Teoria reprezentacji SU (2)
• Teoria reprezentacji grupy Lorentza
• Teoria reprezentacji algebr Hopfa
• Wspólna reprezentacja grupy Lie
• Lista tematów grupy Lie
• Symetria w mechanice kwantowej
• Matryca D Wignera

Uwagi

Bibliografia

• Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Teksty magisterskie z matematyki. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-97495-8 . MR   1153249 .
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158 .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN   978-3319134666 .
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, 140 (2nd ed.), Boston: Birkhäuser .
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN   978-0-19-859683-7 . Przedruk z 2003 r. Poprawia kilka błędów typograficznych.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations , The Quantum Theory of Fields, 1 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN   0-521-55001-7