Regularny ośmiościan - Regular octahedron

Wymiary

Jeśli długość krawędzi ośmiościanu foremnego wynosi a , promień kuli opisanej (takiej, która dotyka ośmiościanu na wszystkich wierzchołkach) wynosi

${\ Displaystyle R_ {u} = {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}} a \ około 0,707 \ cdot a}$

a promień wpisanej kuli ( stycznej do każdej ze ścian ośmiościanu) jest

${\ Displaystyle R_ {i} = {\ Frac {\ sqrt {6}} {6}} a \ około 0,408 \ cdot a}$

podczas gdy promień środkowy, który dotyka środka każdej krawędzi, wynosi

${\ Displaystyle R_ {m} = {\ tfrac {1} {2}} a = 0,5 \ cdot a}$

Rzuty prostopadłe

Ośmiościan cztery specjalne występy prostokątne , skoncentrowany na krawędzi, wierzchołka, twarzy i normalnej do powierzchni. Drugi i trzeci odpowiadają do B ₂ i A ₂ Coxeter płaszczyznach .

Rzuty prostopadłe

Wyśrodkowany przez	Krawędź	Normalna twarz	Wierzchołek	Twarz
Obraz
Symetria projekcyjna	[2]	[2]	[4]	[6]

Dachówka sferyczna

Oktaedron może być również reprezentowany jako kafelek sferyczny i rzutowany na płaszczyznę poprzez projekcję stereograficzną . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie powierzchnie lub długości. Linie proste na sferze są rzutowane na płaszczyznę jako łuki kołowe.

Rzut prostokątny	Projekcja stereograficzna

współrzędne kartezjańskie

Oktaedr o długości krawędzi √ 2 może być umieszczony ze środkiem na początku i wierzchołkami na osiach współrzędnych; na współrzędne kartezjańskie wierzchołków Następnie

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ± 1 ).

W kartezjańskim układzie współrzędnych x – y – z ośmiościan o współrzędnych środka ( a , b , c ) i promieniu r jest zbiorem wszystkich punktów ( x , y , z ) takich, że

${\ Displaystyle \ lewy | xa \ prawy | + \ lewy | yb \ prawy | + \ lewy | zc \ prawy | = r.}$

Powierzchnia i objętość

Pole powierzchni A i objętość V ośmiościanu foremnego o długości krawędzi a wynoszą:

${\ Displaystyle A = 2 {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ około 3,464 a ^ {2}}$

${\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {3}} {\ sqrt {2}} a ^ {3} \ około 0,471 a ^ {3}}$

W ten sposób objętość jest czterokrotnie większa niż regularnego czworościanu o tej samej długości krawędzi, a powierzchnia jest dwukrotnie większa (ponieważ mamy 8 zamiast 4 trójkątów).

Jeśli ośmiościan został rozciągnięty tak, że jest zgodny z równaniem

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {x} {x_ {m}}} \ po prawej | + \ po lewej | {\ Frac {y} {y_ {m}}} \ po prawej | + \ po lewej | {\ Frac { z}{z_{m}}}\right|=1,}$

formuły dla pola powierzchni i objętości rozszerzają się, aby stać się

${\ Displaystyle A = 4 \ x_ {m} \ y_ {m} \ z_ {m} \ razy {\ sqrt {{\ Frac {1} {x_ {m} ^ {2}}} + {\ frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}},}$

${\ Displaystyle V = {\ Frac {4}{3}} \, x_ {m} \ y_ {m} \ z_ {m}.}$

Dodatkowo tensor bezwładności rozciągniętego ośmiościanu wynosi

${\ Displaystyle I = {\ zacząć {bmatrix} {\ Frac {1} {10}} m (y_ {m} ^ {2} + Z_ {m} ^ {2}) i 0 i 0 \ \ 0 i {\ Frac {1 }{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}- y_{m}^{2})\koniec{bmatrycy}}.}$

Sprowadzają się one do równań dla ośmiościanu foremnego, gdy

${\ Displaystyle x_ {m} = y_ {m} = z_ {m} = a \ {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}}.}$

Relacje geometryczne

Wnętrze związku dwóch podwójnych czworościanów jest ośmiościanem, a związek ten, zwany stella octagula , jest jego pierwszą i jedyną gwiazdą . Odpowiednio ośmiościan foremny jest wynikiem odcięcia od czworościanu foremnego, czterech czworościanów foremnych o połowie wielkości liniowej (tj. prostowania czworościanu). Wierzchołki ośmiościanu leżą w punktach środkowych krawędzi czworościanu iw tym sensie odnosi się do czworościanu w taki sam sposób, w jaki sześcian i dwudziestościan odnoszą się do innych brył platońskich. Można również podzielić krawędzie ośmiościanu w stosunku złotego środka do określenia wierzchołków dwudziestościanu . Odbywa się to poprzez umieszczenie wektorów wzdłuż krawędzi ośmiościanu tak, że każda ściana jest ograniczona cyklem, a następnie podobnie dzieląc każdą krawędź na złoty środek wzdłuż kierunku jego wektora. Istnieje pięć oktaedrów, które w ten sposób określają dowolny dwudziestościan i razem tworzą regularny związek .

Oktaedry i czworościany można na przemian tworzyć w celu utworzenia wierzchołka, krawędzi i jednolitej mozaiki przestrzeni , zwanej kratownicą oktetową przez Buckminstera Fullera . Jest to jedyna taka płytka z wyjątkiem regularnej teselacji sześcianów i jest jednym z 28 wypukłych jednolitych plastrów miodu . Innym jest teselacja oktaedry i kuboktaedry .

Oktaedr jest wyjątkowy wśród brył platońskich, ponieważ ma parzystą liczbę ścian spotykających się w każdym wierzchołku. W konsekwencji jest jedynym członkiem tej grupy, który posiada płaszczyzny lustrzane, które nie przechodzą przez żadną z twarzy.

Używając standardowej nomenklatury dla brył Johnsona , ośmiościan nazwano by kwadratową bipiramidą . Obcięcie dwóch przeciwległych wierzchołków skutkuje kwadratem bifrustum .

Oktaed jest połączony z czterema , co oznacza, że ​​usunięcie czterech wierzchołków powoduje rozłączenie pozostałych wierzchołków. Jest to jeden z tylko czterech 4-podłączonym symplicjalnego dobrze pokryte wielościanów, co oznacza, że wszystkie maksymalnych niezależnych zestawów swych wierzchołkach mają taką samą wielkość. Pozostałe trzy wielościany z tą właściwością to dwupiramida pięciokątna , załamek dwuklinowy i nieregularny wielościan z 12 wierzchołkami i 20 trójkątnymi ścianami.

Oktaedron można również wygenerować w przypadku superelipsoidy 3D ze wszystkimi wartościami ustawionymi na 1.

Jednolita kolorystyka i symetria

Istnieją 3 jednolite kolory ośmiościanu, nazwane przez trójkątne kolory twarzy otaczające każdy wierzchołek: 1212, 1112, 1111.

Ośmiokąta jest grupa symetrii oznacza O _H , porządku 48, trójwymiarowy grupa hyperoctahedral . Podgrupy tej grupy obejmują D _3d (rząd 12), grupę symetrii trójkątnego antypryzmatu ; D _4h (rząd 16), grupa symetrii kwadratowej bipiramidy ; i T _d (rząd 24), grupa symetrii rektyfikowanego czworościanu . Symetrie te można podkreślić różnymi kolorami twarzy.

Nazwa	Oktaedr	Czworościan rektyfikowany ( czworościan )	Trójkątny antypryzmat	Kwadratowa bipiramida	rombowy fusil
Obraz (kolorowanie twarzy)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Schemat Coxetera		=
Symbol Schläfli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	stopy{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Symbol Wythoffa	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Symetria	O H , [4,3], (* 432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Zamówienie	48	24	12 6	16	8

Siatki

Oktaed foremny ma jedenaście układów sieci .

Podwójny

Ośmiościan to podwójny wielościan do sześcianu .

Jeżeli długość krawędzi ośmiościanu , to długość krawędzi sześcianu podwójnego . ${\displaystyle =a}$${\displaystyle ={\sqrt {2}}a}$

Facetowanie

Jednolity tetrahemihexahedron jest czworościenną symetrią fasetowaną ośmiościanu foremnego, dzielącą krawędź i układ wierzchołków . Ma cztery trójkątne twarze i 3 centralne kwadraty.

Oktaedr

Tetrahemihexahedron

v T mi Podstawowe wypukłe politopy regularne i jednolite o wymiarach 2–10
Rodzina	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Wielokąt foremny	Trójkąt	Kwadrat	p-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
Jednolity wielościan	Czworościan	Ośmiościan • kostka	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednolita polichoron	Pentachoron	16-ogniwowy • Tesseract	Demitesseract	24-komorowy	120-ogniwowy • 600-ogniwowy
Jednolity 5-politop	5-simplex	5-ortopleks • 5-kostka	5-demicube
Jednolity 6-politop	6-simplex	6-ortopleks • 6-kostka	6-demicube	1 22 • 2 21
Jednolity 7-politop	7-simplex	7-ortopleks • 7-kostka	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Jednolity 8-politop	8-simplex	8-ortopleks • 8-kostka	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Jednolity 9-politop	9-simplex	9-ortopleks • 9-kostka	9-demicube
Jednolity 10-politop	10-simplex	10-ortopleks • 10-kostka	10-demicube
Jednolity n - polytope	n - simpleks	n - ortoplex • n - sześcian	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny Polytope • Regularny polytope • Lista regularnych polytopów i związków