Mapa logistyczna - Logistic map

Odwzorowanie logistyczne jest wielomianem mapowanie (równoważnie nawrót związek I) stopnia 2 , często jako archetypowych przykład jak kompleks chaotyczne zachowanie może wynikać z prostych nieliniowych równań dynamicznych. Mapa została spopularyzowana w artykule z 1976 roku przez biologa Roberta Maya , po części jako model demograficzny w czasie dyskretnym, analogiczny do równania logistycznego spisanego przez Pierre'a François Verhulsta . Matematycznie napisana jest mapa logistyczna

${\ Displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} \ lewo (1-x_ {n} \ po prawej)}$

( 1 )

gdzie x _n jest liczbą od zera do jeden, która reprezentuje stosunek istniejącej populacji do maksymalnej możliwej populacji. Interesujące wartości parametru r (czasami również oznaczane μ ) to wartości z przedziału [−2, 4] , tak że x _n pozostaje ograniczone do [−0.5, 1,5] . To nieliniowe równanie różnicowe ma na celu uchwycenie dwóch efektów:

• reprodukcja, w której populacja będzie rosła w tempie proporcjonalnym do obecnej populacji, gdy wielkość populacji jest niewielka.
• głód (śmiertelność zależna od gęstości), w którym tempo wzrostu będzie się zmniejszać w tempie proporcjonalnym do wartości uzyskanej przez pomniejszenie teoretycznej „nośności” środowiska o obecną populację.

Jednak jako model demograficzny mapa logistyczna ma patologiczny problem, że niektóre warunki początkowe i wartości parametrów (na przykład, jeśli r > 4 ) prowadzą do ujemnych liczebności populacji. Problem ten nie występuje w starszym modelu Rickera , który również wykazuje chaotyczną dynamikę.

R = 4 dla mapy jest nieliniową logistycznego przekształcenie zarówno mapy bitowej przesunięcia i ľ = 2 przypadku map namiotu .

Charakterystyka mapy

Zachowanie zależne od r

Poniższy rysunek przedstawia zawartość amplitudy i częstotliwości niektórych iteracji mapy logistycznej dla wartości parametrów w zakresie od 2 do 4.

Zmieniając parametr r , obserwuje się następujące zachowanie:

Ewolucja różnych warunków początkowych w funkcji r

• Dla r pomiędzy -2 a -1 sekwencja logistyczna również charakteryzuje się chaotycznym zachowaniem.
• Gdy r między 0 a 1, populacja ostatecznie umrze, niezależnie od populacji początkowej.
• Gdy r między 1 a 2, populacja szybko zbliży się do wartości r − 1/r, niezależnie od populacji początkowej.
• Gdy r między 2 a 3, populacja w końcu również zbliży się do tej samej wartościr − 1/r, ale najpierw przez jakiś czas będzie oscylować wokół tej wartości. Szybkość zbieżności jest liniowy, za wyjątkiem R = 3 , gdy jest znacznie powoli, mniej niż liniowa (patrz pamięci rozwidlenia ).
• Z r pomiędzy 1 -  √ 6 i -1 dla x ₀ pomiędzy 1/ r i 1-1/ r , oraz z r pomiędzy 3 a 1 +  √ 6 ≈ 3,44949 dla x ₀ pomiędzy 0 a 1 populacja będzie zbliżać się do stałych oscylacji pomiędzy dwie wartości. Te dwie wartości są zależne od r i podane przez .${\ Displaystyle X_ {\ pm } = {\ Frac {1} {2r}} (r + 1 \ pm {\ sqrt {(r-3) (r + 1)}})}$
• Przy r pomiędzy 3.44949 a 3.54409 (w przybliżeniu), z prawie wszystkich warunków początkowych populacja zbliży się do stałych oscylacji wśród czterech wartości. Ta ostatnia liczba jest pierwiastkiem wielomianu 12 stopnia (sekwencja A086181 w OEIS ).
• Wraz ze wzrostem r powyżej 3,54409, z prawie wszystkich warunków początkowych populacja będzie zbliżać się do oscylacji pomiędzy 8 wartościami, następnie 16, 32 itd. Długości przedziałów parametrów, które dają oscylacje o danej długości, gwałtownie maleją; stosunek długości dwóch kolejnych przedziałów bifurkacji zbliża się do stałej Feigenbauma δ ≈ 4.66920 . To zachowanie jest przykładem kaskady podwajania okresów .
• Przy r 3,56995 (sekwencja A098587 w OEIS ) następuje początek chaosu, pod koniec kaskady podwojenia okresu. Z prawie wszystkich warunków początkowych nie widzimy już oscylacji o skończonym okresie. Niewielkie zmiany w początkowej populacji dają radykalnie różne wyniki w czasie, co jest główną cechą chaosu.
• Większość wartości r powyżej 3,56995 wykazuje zachowanie chaotyczne, ale nadal istnieją pewne izolowane zakresy r, które wykazują zachowanie niechaotyczne ; są one czasami nazywane wyspami stabilności . Na przykład, zaczynając od 1 +  √ 8 (około 3.82843) istnieje zakres parametrów r, które pokazują oscylację pomiędzy trzema wartościami, a dla nieco wyższych wartości oscylacji r pomiędzy 6 wartościami, potem 12 itd.
• Rozwój chaotycznego zachowania sekwencji logistycznej, gdy parametr r zmienia się od około 3,56995 do około 3,82843, jest czasami nazywany scenariuszem Pomeau-Manneville , charakteryzującym się okresową (laminarną) fazą przerywaną wybuchami nieperiodycznego zachowania. Taki scenariusz ma zastosowanie w urządzeniach półprzewodnikowych. Istnieją inne zakresy, które dają oscylację wśród 5 wartości itd.; wszystkie okresy oscylacji występują dla niektórych wartości r . Okno Okres podwajania parametrem C znajduje się zakres r -values składających się z szeregu podzakresów. K p podzakresu zawiera wartości r w którym znajduje się cykl stabilny (cykl, który przyciąga zestaw punktów początkowych środka jednostkową) okres 2 ^k ° C . Ta sekwencja podzakresów nazywana jest kaskadą harmonicznych . W podzakresie ze stabilnym cyklem o okresie 2 ^{k *} c , istnieją niestabilne cykle o okresie 2 ^k c dla wszystkich k < k * . Wartość r na końcu nieskończonej sekwencji podzakresów nazywana jest punktem akumulacji kaskady harmonicznych. Wraz ze wzrostem r pojawia się szereg nowych okien o różnych wartościach c . Pierwsza dotyczy c = 1 ; wszystkie kolejne okna zawierające nieparzyste c występują w kolejności malejącej od c, zaczynając od dowolnie dużego c .
• Powyżej r = 4 prawie wszystkie wartości początkowe ostatecznie opuszczają przedział [0,1] i rozchodzą się.

Dla dowolnej wartości r istnieje co najwyżej jeden stabilny cykl. Jeśli cykl stabilny istnieje, jest stabilny globalnie, przyciągając prawie wszystkie punkty. Niektóre wartości r przy stabilnym cyklu pewnego okresu mają nieskończenie wiele niestabilnych cykli różnych okresów.

Podsumowuje to diagram bifurkacji po prawej stronie. Oś pozioma pokazuje możliwe wartości parametru r, podczas gdy oś pionowa pokazuje zbiór wartości x odwiedzanych asymptotycznie z prawie wszystkich warunków początkowych przez iteracje równania logistycznego z tą wartością r .

Diagram bifurkacyjny dla mapy logistycznej. Atraktorem dla każdej wartości parametru R jest pokazany w linii pionowej w tym badania .

Diagram bifurkacji jest samopodobny : jeśli przybliżymy wspomnianą wartość r ≈ 3.82843 i skupimy się na jednym z trzech ramion, sytuacja w pobliżu wygląda jak zmniejszona i lekko zniekształcona wersja całego diagramu. To samo dotyczy wszystkich innych niechaotycznych punktów. Jest to przykład głębokiego i wszechobecnego związku między chaosem a fraktalami .

Powiększenie chaotycznego obszaru mapy.

Regiony stabilne w regionie chaotycznym.

Chaos i mapa logistyczna

Schemat pajęczyna na mapie logistycznej, pokazując chaotyczne zachowanie dla większości wartości r > 3,57

Funkcja logistyczna f (niebieski) i jej iterowane wersje f ² , f ³ , f ⁴ i f ⁵ dla r = 3,5 . Na przykład dla dowolnej wartości początkowej na osi poziomej f ⁴ daje wartość iteracji o cztery iteracje później.

Względna prostota mapy logistycznej sprawia, że ​​jest ona szeroko stosowanym punktem wyjścia do rozważań nad pojęciem chaosu. Zgrubny opis chaosu jest taki, że systemy chaotyczne wykazują dużą wrażliwość na warunki początkowe — właściwość mapy logistycznej dla większości wartości r pomiędzy około 3,57 a 4 (jak wspomniano powyżej). Częstym źródłem takiej wrażliwości na warunki początkowe jest to, że mapa reprezentuje powtarzające się fałdowanie i rozciąganie przestrzeni, na której jest definiowana. W przypadku mapy logistycznej opisujące ją równanie różnicy kwadratowej można traktować jako operację rozciągania i składania na przedziale (0,1) .

Poniższy rysunek ilustruje rozciąganie i składanie sekwencji iteracji mapy. Rysunek (a), po lewej, pokazuje dwuwymiarowy wykres Poincarégo przestrzeni stanów mapy logistycznej dla r = 4 i wyraźnie pokazuje krzywą kwadratową równania różnicowego ( 1 ). Możemy jednak osadzić tę samą sekwencję w trójwymiarowej przestrzeni stanów, aby zbadać głębszą strukturę mapy. Rysunek (b), po prawej, pokazuje to, pokazując, jak początkowo pobliskie punkty zaczynają się rozchodzić, szczególnie w tych obszarach x _t odpowiadających bardziej stromym sekcjom wykresu.

To rozciąganie i składanie nie tylko powoduje stopniową rozbieżność sekwencji iteracji, ale rozbieżność wykładniczą (patrz wykładniki Lapunowa ), o czym świadczy również złożoność i nieprzewidywalność chaotycznej mapy logistycznej. W rzeczywistości wykładnicza rozbieżność sekwencji iteracji wyjaśnia związek między chaosem a nieprzewidywalnością: mały błąd w domniemanym stanie początkowym systemu będzie zwykle odpowiadał dużemu błędowi w późniejszej jego ewolucji. Stąd przewidywania dotyczące przyszłych stanów stają się stopniowo (w rzeczywistości wykładniczo ) gorsze, gdy w naszej wiedzy o stanie początkowym występują nawet bardzo małe błędy. Ta cecha nieprzewidywalności i pozornej losowości doprowadziła do użycia równania mapy logistycznej jako generatora liczb pseudolosowych we wczesnych komputerach.

Ponieważ mapa jest ograniczona do przedziału na osi liczb rzeczywistych, jej wymiar jest mniejszy lub równy jedności. Numeryczne oszacowania uzyskania wymiaru korelacji z0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), wymiar Hausdorffa około 0,538 ( Grassberger 1981) i wymiar informacyjny około 0,5170976 ( Grassberger 1983) dla r 3,5699456 (początek chaosu). Uwaga: można wykazać, że wymiar korelacji z pewnością mieści się w przedziale od 0,4926 do 0,5024.

Często jednak możliwe jest sformułowanie precyzyjnych i dokładnych stwierdzeń o prawdopodobieństwie przyszłego stanu w chaotycznym systemie. Jeśli (prawdopodobnie chaotyczny) system dynamiczny ma atraktor , to istnieje miara prawdopodobieństwa, która podaje długookresową proporcję czasu spędzonego przez system w różnych obszarach atraktora. W przypadku mapy logistycznej o parametrze r = 4 i stanie początkowym w (0,1) atraktorem jest również przedział (0,1) a miara prawdopodobieństwa odpowiada rozkładowi beta o parametrach a = 0,5 i b = 0,5 . W szczególności miarą niezmienną jest

${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.}$

Nieprzewidywalność to nie losowość, ale w pewnych okolicznościach bardzo do niej przypomina. Stąd i na szczęście, nawet jeśli wiemy bardzo mało o stanie początkowym mapy logistycznej (lub jakimś innym chaotycznym systemie), wciąż możemy powiedzieć coś o rozkładzie stanów arbitralnie odległych w przyszłość i wykorzystać tę wiedzę do podejmowania decyzji na podstawie stanu systemu.

Szczególne przypadki mapy

Górna granica, gdy 0 ≤ r ≤ 1

Chociaż dokładne rozwiązania relacji powtarzalności są dostępne tylko w niewielkiej liczbie przypadków, górna granica formy zamkniętej na mapie logistycznej jest znana, gdy 0 ≤ r ≤ 1 . Istnieją dwa aspekty zachowania mapy logistycznej, które powinny być uchwycone przez górną granicę w tym reżimie: asymptotyczny zanik geometryczny ze stałą r , oraz szybki zanik początkowy, gdy x ₀ jest bliski 1, napędzany przez (1 − x _n ) wyraz w relacji rekurencyjnej. Poniższa granica obejmuje oba te efekty:

${\ Displaystyle \ forall n \ w \ {0,1, \ ldots \} \ quad {\ tekst {i}} \ quad x_ {0}, r \ w [0,1], \ quad x_ {n} \ leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$

Rozwiązanie gdy r = 4

Specjalny przypadek r = 4 można w rzeczywistości rozwiązać dokładnie, tak jak przypadek z r = 2 ; jednak ogólny przypadek można przewidzieć tylko statystycznie. Rozwiązaniem, gdy r = 4 jest,

${\ Displaystyle X_ {n} = \ grzech ^ {2} \ lewo (2 ^ {n} \ theta \ pi \ prawej)}$

gdzie parametr warunku początkowego θ jest podany przez

${\ Displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {\ pi}} \ sin ^ {-1} \ lewo ({\ sqrt {x_ {0}}} \ po prawej).}$

Dla wymiernej θ , po skończonej liczbie iteracji x _n odwzorowuje się w ciąg okresowy. Ale prawie wszystkie θ są irracjonalne, a dla irracjonalnego θ , x _n nigdy nie powtarza się - to nie jest okresowe. To równanie rozwiązania wyraźnie pokazuje dwie kluczowe cechy chaosu – rozciąganie i składanie: czynnik 2 ⁿ pokazuje wykładniczy wzrost rozciągania, co skutkuje wrażliwą zależnością od warunków początkowych , podczas gdy funkcja sinus kwadratowy utrzymuje x _n złożone w przedziale [0 ,1] .

Dla r = 4 równoważnym rozwiązaniem pod względem liczb zespolonych zamiast funkcji trygonometrycznych jest

${\ Displaystyle x_ {n} = {\ Frac {- \ alfa ^ {2 ^ {n}} - \ alfa ^ {-2 ^ {n}} + 2} {4}}}$

gdzie α jest jedną z liczb zespolonych

${\ Displaystyle \ alfa =1-2x_ {0} \ pm {\ sqrt {\ lewo (1-2x_ {0} \ po prawej) ^ {2}-1}}}$

z modułem równym 1. Tak jak kwadrat funkcji sinusa w rozwiązaniu trygonometrycznym nie powoduje ani kurczenia się, ani rozszerzania odwiedzanego zbioru punktów, tak w drugim rozwiązaniu efekt ten jest osiągany przez jednostkowy moduł α .

Natomiast rozwiązanie, gdy r = 2 to

${\ Displaystyle x_ {n} = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (1-2x_ {0} \ prawej) ^ {2 ^ {n}}}$

dla x ₀ ∈ [0,1) . Ponieważ (1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1) dla dowolnej wartości x ₀ innej niż niestabilny punkt stały 0, wyraz (1 − 2 x ₀ ) ^{2 n} idzie do 0, gdy n zmierza do nieskończoności, więc x _n idzie do stabilnego punktu stałego1/2.

Znajdowanie cykli o dowolnej długości, gdy r = 4

Dla przypadku r = 4 , z prawie wszystkich warunków początkowych ciąg iteracji jest chaotyczny. Niemniej jednak istnieje nieskończona liczba warunków początkowych, które prowadzą do cykli, i rzeczywiście istnieją cykle o długości k dla wszystkich liczb całkowitych k > 0 . Możemy wykorzystać związek mapy logistycznej z transformacją dwójkową (znaną również jako mapa przesunięcia bitowego ), aby znaleźć cykle o dowolnej długości. Jeśli x podąża za mapą logistyczną x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n ), a y podąża za transformacją dwójkową

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = {\ zacząć {przypadki} 2y_ {n} i 0 \ leq y_ {n} < {\ tfrac {1} {2}} \ \ 2 y_ {n} -1 i {\ tfrac { 1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{przypadki}}}$

wtedy oba są powiązane homeomorfizmem

${\ Displaystyle x_ {n} = \ grzech ^ {2} \ lewo (2 \ pi Y_ {n} \ po prawej).}$

Powodem, dla którego transformacja dwójkowa jest również nazywana mapą przesunięcia bitowego, jest to, że gdy y jest zapisane w notacji binarnej, mapa przesuwa punkt binarny o jedno miejsce w prawo (a jeśli bit na lewo od punktu binarnego staje się "1", to "1" jest zmieniane na "0"). Na przykład cykl o długości 3 występuje, gdy iteracja ma w rozwinięciu binarnym 3-bitową powtarzającą się sekwencję (która nie jest również jednobitową powtarzającą się sekwencją): 001, 010, 100, 110, 101 lub 011. Iteracja 001001001... odwzorowuje na 01001001..., która odwzorowuje na 100100100..., która z kolei odwzorowuje na oryginalny 001001001...; więc jest to 3-cykl mapy przesunięcia bitowego. A pozostałe trzy powtarzające się sekwencje rozszerzania binarnego dają 3-cyklowy 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... Każdy z tych 3-cykli można przekształcić w postać ułamkową: na przykład pierwszy podany 3-stopniowy cykl można zapisać jako1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7. Użycie powyższej translacji z mapy przesunięcia bitowego do mapy logistycznej daje odpowiedni cykl logistyczny 0.611260467... → 0.950484434... → 0.188255099... → 0.611260467.... Moglibyśmy w podobny sposób przetłumaczyć inne przesunięcie bitowe 3- w odpowiedni cykl logistyczny. Podobnie cykle o dowolnej długości k można znaleźć w mapie przesunięcia bitowego, a następnie przełożyć je na odpowiednie cykle logistyczne. ${\displaystyle r=4}$

Ponieważ jednak prawie wszystkie liczby w [0,1) są irracjonalne, prawie wszystkie warunki początkowe mapy przesunięcia bitowego prowadzą do nieperiodyczności chaosu. Jest to jeden ze sposobów, aby zobaczyć, że mapa logistyczna r = 4 jest chaotyczna dla prawie wszystkich warunków początkowych.

Liczba cykli o (minimalnej) długości k = 1, 2, 3,… dla mapy logistycznej z r = 4 ( mapa namiotu z μ = 2 ) jest znanym ciągiem całkowitym (sekwencja A001037 w OEIS ): 2, 1 , 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... To mówi nam, że mapa logistyczna z r = 4 ma 2 stałe punkty, 1 cykl o długości 2, 2 cykle o długości 3 i tak dalej. Sekwencja ta przybiera szczególnie prostą postać dla liczby pierwszej k : 2 ⋅2 ^{k - 1} - 1/k. Na przykład: 2 ⋅ 2 ^{13 − 1} − 1/13 = 630 to liczba cykli o długości 13. Ponieważ ten przypadek mapy logistycznej jest chaotyczny dla prawie wszystkich warunków początkowych, wszystkie te cykle o skończonej długości są niestabilne.

Pojęcia pokrewne

Feigenbaum uniwersalność map 1-D

Powszechność map jednowymiarowych z parabolicznym maksimów i stała feigenbauma , jest dobrze widoczne na mapie proponowanego jako model zabawka dla dyskretnych dynamiki laserowych: , gdzie oznacza amplitudę pola elektrycznego, to zysk laser jako parametru bifurkacji. ${\ Displaystyle \ delta = 4.669201...}$${\ Displaystyle \ alfa = 2.502907...}$${\displaystyle x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle G}$

Diagram bifurkacji dla hiperbolicznej mapy stycznej. Jest samopodobny w szerszym zakresie parametru bifurkacji G. Jest to inny wszechobecny związek między chaosem a fraktalami .

Stopniowy wzrost w interwałach zmienia dynamikę z regularnej na chaotyczną z jakościowo takim samym diagramem bifurkacyjnym jak dla mapy logistycznej. ${\ Displaystyle G}$${\displaystyle [0,\infty )}$

Zobacz też

• Funkcja logistyczna , rozwiązanie ciągłego odpowiednika mapy logistycznej: Logistyczne równanie różniczkowe .
• Stabilność Lapunowa#Definicja dla systemów z czasem dyskretnym
• Model wzrostu maltuzjańskiego
• Punkty okresowe złożonych odwzorowań kwadratowych , których mapa logistyczna jest szczególnym przypadkiem ograniczonym do linii rzeczywistej
• Radialna sieć funkcji bazowej , która ilustruje odwrotny problem dla mapy logistycznej.
• równanie Schrödera
• Równanie sztywne

Uwagi

Bibliografia

• Grassberger, P .; Procaccia, I. (1983). „Pomiar dziwności dziwnych atraktorów”. Fizyka D . 9 (1–2): 189–208. Kod Bibcode : 1983PhyD....9..189G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .
• Grassberger, P. (1981). „Na wymiarze Hausdorffa atraktorów fraktalnych”. Czasopismo Fizyki Statystycznej . 26 (1): 173–179. Kod Bibcode : 1981JSP....26..173G . doi : 10.1007/BF01106792 . S2CID  119833080 .
• Sprott, Julien Clinton (2003). Analiza chaosu i szeregów czasowych . Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-850840-3.
• Strogatz, Steven (2000). Dynamika nieliniowa i chaos . Wydawnictwo Perseusza. Numer ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Tufillaro, Mikołaja; Abbott, Tyler; Reilly, Jeremiasz (1992). Eksperymentalne podejście do nieliniowej dynamiki i chaosu . Addison-Wesley Nowy Jork. Numer ISBN 978-0-201-55441-0.

Zewnętrzne linki

• Hiperpodręcznik Chaosu . Wprowadzenie do chaosu i fraktali.
• Interaktywna wizualizacja mapy logistycznej jako notatnik Jupyter
• Mapa logistyczna i chaos autorstwa Elmera G. Wiens
• Complexity & Chaos (audiobook) Rogera White'a. Rozdział 5 obejmuje równanie logistyczne.
• „ Historia iterowanych map ” w A New Kind of Science autorstwa Stephena Wolframa . Champaign, IL: Wolfram Media, s. 918, 2002.
• „Bardzo krótka historia uniwersalności w okresie podwojenia” P. Cvitanović
• „Nie tak krótka historia Uniwersalnej Funkcji” P. Cvitanović
• Discrete Logistic Equation autorstwa Marka Bodnara po pracy Phila Ramsdena, Wolfram Demonstrations Project .
• Multiplikatywne łączenie 2 map logistycznych autorstwa C. Pellicer-Lostao i R. Lopez-Ruiz na podstawie pracy Eda Pegga Jr, Wolfram Demonstrations Project .
• Używanie SAGE do badania dyskretnego równania logistycznego