Obserwowalny - Observable

W fizyce An obserwowane jest wielkością fizyczną , które mogą być zmierzone. Przykłady obejmują pozycję i pęd . W systemach rządzonych mechaniką klasyczną jest to „funkcja” o wartościach rzeczywistych na zbiorze wszystkich możliwych stanów systemu. W fizyce kwantowej jest to operator lub cechowanie , w którym właściwość stanu kwantowego może być określona przez pewną sekwencję operacji . Na przykład operacje te mogą obejmować poddanie systemu działaniu różnych pól elektromagnetycznych i ostatecznie odczytanie wartości.

Fizycznie znaczące obserwable muszą również spełniać prawa transformacji, które wiążą obserwacje wykonywane przez różnych obserwatorów w różnych układach odniesienia . Te prawa przekształceń są automorfizmami przestrzeni stanów, czyli przekształceniami bijektywnymi, które zachowują pewne matematyczne własności danej przestrzeni.

Mechanika kwantowa

W fizyce kwantowej obserwowalne manifestują się jako operatory liniowe w przestrzeni Hilberta reprezentującej przestrzeń stanów stanów kwantowych. Wartości własne obserwowalnych są liczbami rzeczywistymi, które odpowiadają możliwym wartościom, które zmienna dynamiczna reprezentowana przez obserwowalny może być zmierzona. Oznacza to, że obserwable w mechanice kwantowej przypisują wynikom poszczególnych pomiarów liczby rzeczywiste , odpowiadające wartości własnej operatora w odniesieniu do zmierzonego stanu kwantowego układu . W konsekwencji tylko niektóre pomiary mogą wyznaczyć wartość obserwowalnej dla pewnego stanu układu kwantowego. W mechanice klasycznej każdy pomiar może być wykonany w celu określenia wartości obserwowalnego.

Zależność między stanem układu kwantowego a wartością obserwowalnej wymaga do jej opisu pewnej algebry liniowej . W matematycznym ujęciu mechaniki kwantowej stany są podane przez niezerowe wektory w przestrzeni Hilberta V . Uważa się, że dwa wektory v i w określają ten sam stan wtedy i tylko wtedy, gdy dla niektórych niezerowych . Obserwable są podane przez operatory samosprzężone na V . Jednak, jak wskazano poniżej, nie każdy operator samosprzężony odpowiada fizycznie znaczącemu obserwowalnemu. W przypadku układu cząstek , przestrzeń V składa się z funkcji zwanych funkcjami falowymi lub wektorami stanu .

W przypadku praw transformacji w mechanice kwantowej, wymaganymi automorfizmami są unitarne (lub antyunitarne ) liniowe przekształcenia przestrzeni Hilberta V . W teorii względności Galileusza lub szczególnej teorii względności matematyka układów odniesienia jest szczególnie prosta, co znacznie ogranicza zbiór fizycznie znaczących obserwowalnych.

W mechanice kwantowej pomiar obserwowalnych wykazuje pewne pozornie nieintuicyjne właściwości. W szczególności, jeśli system jest w stanie opisanym przez wektor w przestrzeni Hilberta , proces pomiaru wpływa na stan w sposób niedeterministyczny, ale statystycznie przewidywalny. W szczególności, po zastosowaniu pomiaru, opis stanu pojedynczym wektorem może zostać zniszczony, zastępując go zespołem statystycznym . Nieodwracalnego charakteru operacji pomiarowych mechaniki kwantowej jest czasami określany jako błąd pomiaru jest opisana matematycznie operacji kwantowej . Dzięki strukturze operacji kwantowych opis ten jest matematycznie równoważny z opisem oferowanym przez względną interpretację stanów, w której oryginalny układ jest traktowany jako podsystem większego układu, a stan oryginalnego układu jest określony przez częściowy ślad stanu układu. większy system.

W mechanice kwantowej zmienne dynamiczne, takie jak położenie, pęd translacyjny (liniowy) , orbitalny moment pędu , spin i całkowity moment pędu są powiązane z operatorem hermitowskim, który oddziałuje na stan układu kwantowego. Wartości własne operatora odpowiadają możliwym wartościom, które można zaobserwować zmienną dynamiczną. Na przykład załóżmy, że jest eigenket ( wektorem własnym ) obserwowalnej , z wartością własną i istnieje w przestrzeni Hilberta . Następnie

To równanie własne mówi, że jeśli pomiar obserwowalnego jest dokonywany, gdy system będący przedmiotem zainteresowania znajduje się w stanie , to obserwowana wartość tego konkretnego pomiaru musi z całą pewnością zwrócić wartość własną . Jeśli jednak system będący przedmiotem zainteresowania jest w stanie ogólnym , wartość własna jest zwracana z prawdopodobieństwem , zgodnie z regułą Borna .

Powyższa definicja jest w pewnym stopniu zależna od naszej konwencji wybierania liczb rzeczywistych do reprezentowania rzeczywistych wielkości fizycznych . Faktycznie to, że zmienne dynamiczne są „rzeczywiste”, a nie „nierzeczywiste” w sensie metafizycznym, nie oznacza, że ​​muszą odpowiadać liczbom rzeczywistym w sensie matematycznym.

Aby być bardziej precyzyjnym, zmienna dynamiczna/obserwowalna jest operatorem samosprzężonym w przestrzeni Hilberta.

Operatory na skończonych i nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta

Obserwable mogą być reprezentowane przez macierz hermitowską, jeśli przestrzeń Hilberta jest skończenie wymiarowa. W nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta obserwowalne jest reprezentowane przez operator symetryczny , którego nie wszędzie można zdefiniować . Powodem takiej zmiany jest to, że w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta operator obserwowalny może stać się nieograniczony , co oznacza, że ​​nie ma już największej wartości własnej. Inaczej jest w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta: operator nie może mieć więcej wartości własnych niż wymiar stanu, na który działa, a dzięki własności dobrego uporządkowania każdy skończony zbiór liczb rzeczywistych ma największy element. Na przykład położenie cząstki punktowej poruszającej się wzdłuż prostej może przyjąć dowolną liczbę rzeczywistą, a zbiór liczb rzeczywistych jest niepoliczalnie nieskończony . Ponieważ wartość własna obserwowalnej reprezentuje możliwą wielkość fizyczną, którą może przyjąć odpowiadająca jej zmienna dynamiczna, musimy stwierdzić, że nie ma największej wartości własnej dla pozycji obserwowalnej w tej niezliczonej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta.


Niezgodność obserwabli w mechanice kwantowej

Istotna różnica między wielkościami klasycznymi a obserwablami mechaniki kwantowej polega na tym, że te ostatnie mogą nie być jednocześnie mierzalne, co określa się mianem komplementarności . Jest to matematycznie wyrażone przez nieprzemienność odpowiednich operatorów, tak że komutator

Nierówność ta wyraża zależność wyników pomiarów w kolejności, w której pomiary obserwabli i są wykonywane. Obserwable odpowiadające operatorom nieprzejezdnym nazywane są obserwablemi niekompatybilnymi . Niekompatybilne obserwable nie mogą mieć pełnego zestawu wspólnych funkcji własnych . Zauważ , że może istnieć kilka równoczesnych wektorów własnych i , ale ich liczba jest niewystarczająca , aby stanowić kompletną podstawę .

Zobacz też

Dalsza lektura

  • Auyang, Sunny Y. (1995). Jak możliwa jest kwantowa teoria pola? . Nowy Jork, NY: Oxford University Press. Numer ISBN 978-0195093452.
  • Ballentine, Leslie E. (2014). Mechanika kwantowa: nowoczesny rozwój (Repr. ed.). World Scientific Publishing Co. ISBN 9789814578608.
  • von Neumann, John (1996). Matematyczne podstawy mechaniki kwantowej . Przetłumaczył Robert T. Beyer (12. druk., 1. miękka druk. ed.). Princeton, NJ: Uniwersytet Princeton. Naciskać. Numer ISBN 978-0691028934.
  • Varadarajan, VS (2007). Geometria teorii kwantów (wyd. 2). Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 9780387493862.
  • Weyl, Hermann (2009). „Dodatek C: Fizyka kwantowa i przyczynowość”. Filozofia matematyki i nauk przyrodniczych . Poprawione i rozszerzone wydanie angielskie oparte na tłumaczeniu Olafa Helmera. Princeton, NJ: Princeton University Press. s. 253-265. Numer ISBN 9780691141206.
  • Claude Cohen-Tannoudji; Bernarda Diu; Franck Laloë (4 grudnia 2019). Mechanika kwantowa, tom 1: Podstawowe pojęcia, narzędzia i aplikacje . Wileya. Numer ISBN 978-3-527-34553-3.
  • David J. Griffiths (2017). Wprowadzenie do mechaniki kwantowej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-1-107-17986-8.
  1. ^ Griffiths, David J. (2017). Wprowadzenie do mechaniki kwantowej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
  2. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernarda; Laloë, Franck (04.12.2019). Mechanika kwantowa, tom 1: Podstawowe pojęcia, narzędzia i aplikacje . Wileya. P. 232. Numer ISBN 978-3-527-34553-3.