Równanie różniczkowe jednorodne - Homogeneous differential equation
Równanie różniczkowe może być jednorodny albo w dwóch aspektach.
Pierwsze równanie różniczkowe celu mówi się, że jednorodne, jeżeli może być napisana
gdzie f i g są jednorodnymi funkcjami tego samego stopnia x i y . W tym przypadku zmiana zmiennej y = ux prowadzi do równania postaci
co jest łatwe do rozwiązania przez integrację dwóch członków.
W przeciwnym razie równanie różniczkowe jest jednorodne, jeśli jest jednorodną funkcją nieznanej funkcji i jej pochodnych. W przypadku liniowych równań różniczkowych oznacza to, że nie ma stałych składników . Rozwiązania dowolnego liniowego równania różniczkowego zwyczajnego dowolnego rzędu można wywnioskować przez całkowanie z rozwiązania równania jednorodnego otrzymanego przez usunięcie składnika stałego.
Historia
Termin jednorodny został po raz pierwszy zastosowany do równań różniczkowych przez Johanna Bernoulliego w sekcji 9 jego artykułu z 1726 roku De integraionibus aequationum differencjum (O całkowaniu równań różniczkowych).
Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu
Równania różniczkowe |
---|
Klasyfikacja |
Rozwiązanie |
Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu w postaci:
jest typem jednorodnym, jeśli obie funkcje M ( x , y ) i N ( x , y ) są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia n . Oznacza to, że pomnożenie każdej zmiennej za pomocą parametru Î , znajdziemy
A zatem,
Metoda rozwiązania
W ilorazie możemy pozwolić t = 1 / x uprościć ten iloraz do funkcji f pojedynczej zmiennej y / x :
To jest
Wprowadź zmianę zmiennych y = ux ; rozróżnij za pomocą reguły iloczynu :
To przekształca pierwotne równanie różniczkowe w postać możliwą do rozdzielenia
lub
które można teraz całkować bezpośrednio: ln x równa się funkcji pierwotnej prawej strony (patrz zwykłe równanie różniczkowe ).
Szczególny przypadek
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci ( a , b , c , e , f , g są stałymi)
gdzie af ≠ be można przekształcić w typ jednorodny poprzez liniową transformację obu zmiennych ( α i β są stałymi):
Jednorodne liniowe równania różniczkowe
Liniowe równanie różniczkowe jest jednorodne, jeśli jest jednorodnym równaniem liniowym w nieznanej funkcji i jej pochodnych. Wynika z tego, że jeśli φ ( x ) jest rozwiązaniem, tak jest cφ ( x ) , dla dowolnej (niezerowej) stałej c . Aby ten warunek był spełniony, każdy niezerowy składnik liniowego równania różniczkowego musi zależeć od nieznanej funkcji lub dowolnej jej pochodnej. Liniowe równanie różniczkowe, które nie spełnia tego warunku, nazywa się niejednorodnym.
Liniowe równanie różniczkowe może być przedstawiony jako operatora liniową działającą w r ( x ), gdzie x jest zwykle zmienną niezależną i Y jest zmienną zależną. Dlatego ogólną postacią liniowego jednorodnego równania różniczkowego jest
gdzie L jest operator różnicowy , suma pochodnych (definiujących 0TH „pochodna” jak oryginalne, nie zróżnicowanych funkcji), z których każdy mnożony przez funkcję f I z X :
gdzie f i może być stałymi, ale nie wszystkie f i mogą wynosić zero.
Na przykład następujące liniowe równanie różniczkowe jest jednorodne:
mając na uwadze, że dwa poniższe są niejednorodne:
Istnienie członu stałego jest warunkiem wystarczającym, aby równanie było niejednorodne, jak w powyższym przykładzie.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Boyce, William E .; DiPrima, Richard C. (2012), elementarne równania różniczkowe i problemy z wartością brzegową (wyd. 10), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (To jest dobre odniesienie wprowadzające do równań różniczkowych).
- Ince, EL (1956), Zwykłe równania różniczkowe , Nowy Jork: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (Jest to klasyczna wzmianka o ODE, opublikowana po raz pierwszy w 1926 r.)
- Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 listopada 2017). Podręcznik zwykłych równań różniczkowych: dokładne rozwiązania, metody i problemy . CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
- Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 listopada 2009). Równania różniczkowe z algebrą liniową . Oxford University Press. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .