Metoda objętości skończonych - Finite volume method

Równania różniczkowe
Równania różniczkowe Naviera-Stokesa stosowane do symulacji przepływu powietrza wokół przeszkody
Zakres Nauki przyrodnicze Inżynieria Astronomia Fizyka Chemia Biologia Geologia Matematyka stosowana Mechanika kontinuum Teoria chaosu Układy dynamiczne Nauki społeczne Ekonomia Dynamika populacji
Klasyfikacja
Rodzaje Zwyczajny Częściowy Różniczkowo-algebraiczny Całko-różnicowy Frakcyjny Liniowy Nieliniowy Według typu zmiennej Zmienne zależne i niezależne Autonomiczny Złożony Połączone / Oddzielone Dokładny Jednorodne  / Niejednorodne funkcje Zamówienie Operator Notacja
Związek z procesami Różnica (dyskretny analog) Stochastyczny Stochastyczne częściowe Opóźnienie
Rozwiązanie
Istnienie i wyjątkowość Twierdzenie Picarda-Lindelöfa Twierdzenie o istnieniu Peano Twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego
Tematy ogólne wroński Portret fazowy Przestrzeń fazowa Lapunow  / Asymptotyczna  / Stabilność wykładnicza Wskaźnik konwergencji Seria  / Rozwiązania integralne Całkowanie numeryczne Funkcja delta Diraca
Metody rozwiązania Kontrola Metoda charakterystyki Euler Wykładnicza formuła odpowiedzi Różnica skończona  ( Crank-Nicolson ) Końcowy element Nieskończony element Skończona objętość Galerkin Pietrow-Galerkin Czynnik integrujący Przekształcenia całkowe Teoria zaburzeń Runge-Kutta Separacja zmiennych Nieokreślone współczynniki Zmienność parametrów
Ludzie Izaak Newton Gottfrieda Leibniza Leonhard Euler Emil Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t mi

Metoda objętości skończonych ( FVM ) to metoda reprezentacji i oceny równań różniczkowych cząstkowych w postaci równań algebraicznych. W metodzie objętości skończonych całki objętościowe w równaniu różniczkowym cząstkowym, które zawierają człon dywergencji, są przekształcane na całki powierzchniowe przy użyciu twierdzenia o dywergencji . Terminy te są następnie oceniane jako strumienie na powierzchni każdej skończonej objętości. Ponieważ strumień wchodzący do danej objętości jest identyczny jak strumień opuszczający objętość sąsiednią, metody te są zachowawcze . Kolejną zaletą metody objętości skończonych jest łatwość jej formułowania, aby umożliwić tworzenie siatek niestrukturalnych. Metoda ta jest wykorzystywana w wielu pakietach obliczeniowej dynamiki płynów . „Skończona objętość” odnosi się do małej objętości otaczającej każdy punkt węzłowy na siatce.

Metody objętości skończonych można porównać i przeciwstawić metodom różnic skończonych , które aproksymują pochodne za pomocą wartości węzłowych, lub metodami elementów skończonych , które tworzą lokalne aproksymacje rozwiązania na podstawie danych lokalnych i konstruują aproksymację globalną, łącząc je ze sobą. Natomiast metoda skończonych objętości ocenia dokładne wyrażenia dla średniej wartości roztworu w pewnej objętości i wykorzystuje te dane do konstruowania przybliżeń roztworu w komórkach.

Przykład

Rozważ prosty problem adwekcji 1D :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy t}} + {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}$

( 1 )

Tutaj reprezentuje zmienną stanu i reprezentuje strumień lub przepływ . Tradycyjnie dodatni oznacza przepływ w prawo, a ujemny oznacza przepływ w lewo. Jeśli założymy, że równanie ( 1 ) reprezentuje płynące medium o stałym polu, możemy podzielić domenę przestrzenną , na skończone objętości lub komórki z centrami komórek oznaczonymi jako . Dla konkretnej komórki możemy zdefiniować średnią wartość objętości w czasie i , jako ${\ Displaystyle \ rho = \ rho \ lewo (x, t \ prawo)}$${\ Displaystyle f = f \ lewo (\ rho \ lewo (x, t \ prawo) \ prawo)}$${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ rho} _ {i} \ lewo (t \ prawo) = \ rho \ lewo (x, t \ prawo)}$${\displaystyle {t=t_{1}}}$${\ Displaystyle {x \ w \ lewo [x_ {i-{\ Frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ Frac {1} {2}}} \ po prawej]}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ lewo (t_ {1} \ prawej) = {\ Frac {1} {x_ {i + {\ Frac {1} {2}}} - x_ { i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}} }}\rho \lewo(x,t_{1}\prawo)\,dx,}$

( 2 )

i w czasie, gdy ${\displaystyle t=t_{2}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ lewo (t_ {2} \ prawej) = {\ Frac {1} {x_ {i + {\ Frac {1} {2}}} - x_ { i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}} }}\rho \lewo(x,t_{2}\prawo)\,dx,}$

( 3 )

gdzie i reprezentują lokalizacje odpowiednio górnej i dolnej powierzchni lub krawędzi komórki. ${\ Displaystyle X_ {i-{\ Frac {1}{2}}}}$${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$${\ Displaystyle i ^ {\ tekst {th}}}$

Całkując równanie ( 1 ) w czasie otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ rho \ po lewej (x, t_ {2} \ po prawej) = \ rho \ po lewej (x, t_ {1} \ po prawej) - \ int _ {t_ {1}} ^ { t_ {2}} f_ {x}\lewo(x,t\prawo)\,dt,}$

( 4 )

gdzie . ${\ Displaystyle f_ {x} = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x}}}$

Aby uzyskać średnią objętość w czasie , całkujemy objętość komórki i dzielimy wynik przez , tj ${\ Displaystyle \ rho \ lewo (x, t \ prawo)}$${\displaystyle t=t_{2}}$${\ Displaystyle \ rho \ lewo (x, t_ {2} \ prawo)}$${\ Displaystyle \ lewo [x_ {i-{\ Frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ Frac {1} {2}}} \ prawej]}$${\ Displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + {\ Frac {1} {2}}}-x_ {i- {\ Frac {1} {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {i} \ lewo (t_ {2} \ prawo) = {\ Frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ int _ {x_ {i-{ \frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _ {t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$

( 5 )

Zakładamy, że dobrze się zachowujemy i że możemy odwrócić kolejność integracji. Pamiętaj też, że przepływ jest normalny do powierzchni jednostkowej komórki. Teraz, ponieważ w jednym wymiarze możemy zastosować twierdzenie o dywergencji tj. i zastąpić całkę objętościową dywergencji wartościami wyznaczonymi na powierzchni komórki (krawędzie i ) skończonej objętości w następujący sposób: ${\displaystyle f\}$${\ Displaystyle f_ {x} \ trójkątny \ nabla \ cdot f}$${\ Displaystyle \ oint _ {v} \ nabla \ cdot fdv = \ oint _ {S} f \ dS}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle X_ {i-{\ Frac {1}{2}}}}$${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ rho }} _ {i} \ po lewej (t_ {2} \ po prawej) = {\ bar {\ rho}} _ {i} \ po lewej (t_ {1} \ po prawej) - { \frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\ int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$

( 6 )

gdzie . ${\ Displaystyle f_ {i \ pm {\ Frac {1} {2}}} = f \ lewo (x_ {i \ pm {\ Frac {1} {2}}}, t \ po prawej)}$

Dlatego można wyprowadzić pół dyskretnych schemat liczbowej powyżej problemu z ośrodków komórkowych indeksowanych jak i z krawędzi komórek topników indeksowane jak , różnicując ( 6 ) w stosunku do czasu, aby uzyskać: ${\displaystyle i}$${\displaystyle ja\pm {\frac {1}{2}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d {\ bar {\ rho}} _ {i}} {dt}} + {\ Frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ lewo [f_ {i + {\ Frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}$

( 7 )

gdzie wartości strumieni brzegowych, , można zrekonstruować przez interpolację lub ekstrapolację średnich komórek. Równanie ( 7 ) jest dokładne dla średnich objętości; tj. podczas jego wyprowadzania nie dokonano żadnych przybliżeń. ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$

Metodę tę można również zastosować do sytuacji 2D , biorąc pod uwagę ściany północną i południową wraz ze ścianami wschodnimi i zachodnimi wokół węzła.

Ogólne prawo konserwatorskie

Możemy również rozważyć ogólny problem prawa konserwatorskiego , reprezentowany przez następujące PDE ,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {u}} {\ częściowy t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {f}} \ lewo ({\ mathbf {u}} \ prawej) = {\ mathbf {0}}.}$

( 8 )

Tutaj reprezentuje wektor stanów i reprezentuje odpowiedni tensor strumienia . Ponownie możemy podzielić domenę przestrzenną na skończone objętości lub komórki. Dla konkretnej komórki , bierzemy całkę objętości przez całkowitą objętość komórki , co daje: ${\displaystyle \mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {f}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

${\ Displaystyle \ int _ {v_ {i}} {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {u}} {\ częściowy t}} \ dv + \ int _ {v_ {i}} \ nabla \ cdot {\ mathbf { f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$

( 9 )

Po scałkowaniu pierwszego członu w celu uzyskania średniej objętości i zastosowaniu twierdzenia o dywergencji do drugiego, daje to

${\ Displaystyle V_ {i} {d {\ mathbf {\ bar {u}}} _ {i}} \ ponad dt} + \ oint _ {S_ {i}} {\ mathbf {f}} \ lewo ( {\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$

( 10 )

gdzie reprezentuje całkowitą powierzchnię komórki i jest wektorem jednostkowym normalnym do powierzchni i skierowanym na zewnątrz. W końcu jesteśmy w stanie przedstawić ogólny wynik równoważny ( 8 ), tj. ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathbf {n}}}$

${\ Displaystyle {{d {\ mathbf {\ bar {u}} } _ {i}} \ nad {dt}} + {{1} \ nad {v_ {i}}} \ oint _ {S_ {i} }{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$

( 11 )

Ponownie, wartości strumieni brzegowych można zrekonstruować przez interpolację lub ekstrapolację średnich komórek. Rzeczywisty schemat numeryczny będzie zależał od geometrii problemu i konstrukcji siatki. Rekonstrukcja MUSCL jest często stosowana w schematach o wysokiej rozdzielczości, w których w rozwiązaniu występują wstrząsy lub nieciągłości.

Schematy o skończonej objętości są konserwatywne, ponieważ średnie komórek zmieniają się pod wpływem strumieni brzegowych. Innymi słowy, strata jednej komórki jest zyskiem innej !

Zobacz też

• Metoda elementów skończonych
• Ogranicznik strumienia
• Schemat Godunowa
• Twierdzenie Godunowa
• Schemat o wysokiej rozdzielczości
• KIVA (oprogramowanie)
• Ogólny model obiegu MIT
• Schemat MUSCL
• Siergiej K. Godunow
• Zmniejszenie całkowitej zmienności
• Metoda objętości skończonej dla przepływu niestacjonarnego

Dalsza lektura

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) Metoda objętości skończonych Handbook of Numerical Analysis, tom. VII 2000, s. 713–1020. Redakcja: PG Ciarlet i JL Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numeryczne obliczenia przepływów wewnętrznych i zewnętrznych, tom 2: Metody obliczeniowe dla przepływów nielepkich i lepkich , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Metody numeryczne dla praw zachowania , ETH Wykłady z serii Matematyki, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Metody objętości skończonych dla problemów hiperbolicznych , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numeryczny transfer ciepła i przepływ płynów , półkula.
• Tannehill, John C. i in., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer , wyd. 2, Taylor and Francis.
• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Zasady obliczeniowej dynamiki płynów , Springer-Verlag.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Metody objętości skończonych autorstwa R. Eymarda, T Gallouëta i R. Herbina , aktualizacja artykułu opublikowanego w Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. „Metoda objętości skończonych (FVM) – wprowadzenie” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2009-10-02. Cytowanie dziennika wymaga |journal=( pomoc ), dostępny na licencji GFDL .
• FiPy: skończony solwer PDE przy użyciu Pythona z NIST.
• CLAWPACK : pakiet oprogramowania przeznaczony do obliczania rozwiązań numerycznych hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych przy użyciu metody propagacji fali